Обложка Опойцев В.И. Нелинейная системостатика
Id: 258469
469 руб. Новинка недели!

Нелинейная системостатика. Изд. 2

URSS. 2020. 248 с. ISBN 978-5-9710-7323-9.

Аннотация

В книге дается общесистемный подход к задачам о равновесии системы, его существовании и единственности, зависимости от внешних воздействий (управлений). Рассматриваются общие вопросы укрупненного описания систем и агрегирования, энтропийные методы и другие термодинамические аналоги. Изложение иллюстрируется многочисленными примерами из области экономики, биологии, техники, управления. Большое внимание уделяется стандартизации математического ...(Подробнее)аппарата системостатики. Классический аппарат существенно адаптирован к специфике решаемых задач, развиваются также новые математические методы, непосредственно ориентированные на задачи статики сложных систем.

Для специалистов по прикладной математике, математической экономике и теории управления.


Оглавление
Предисловие к первому изданию............................. 5
Г л а в а I. Содержательные постановки задач..................... 7
1. Игровые и экономические модели.................... 7
2. Задачи из разных областей......................... 16
3. Предмет системостатики .......................... 26
4. Укрупненные описания, агрегирование и декомпозиция....... 29
Г л а в а II. Геометрические принципы разрешимости уравнений........ 33
1. Основные топологические понятия.................... 33
2. Интуитивно геометрическая картина теории вращения векторных полей........ 38
3. Теоремы о неподвижных точках...................... 47
4. Вспомогательные технические приемы и дополнения......... 56
5. Гомеоморфизмы, накрытия, неявные функции............ 59
6. Неподвижные точки многозначных отображений ........... 64
7. Векторные поля в банаховых пространствах.............. 71
8. Принципы сжатия............................... 73
Комментарии......................................... 82
Глава III. Равновесие и неподвижные точки................... 85
1. Оператор межэлементных связей..................... 85
2. Пространства с конусом........................... 88
3. Положительные решения.......................... 91
4. К-системы................................... 102
5. Лилейные положительные операторы................... 109
6. Примеры и задачи.......,....................... 114
Комментарии и задачи.................................... 121
Г л а в а IV. Гетеротонные системы........................... 123
1. Гомогенные системы ............................. 123
2. Гетеротонные системы............................ 127
3. Единственность равновесия......................... 132
4. Прикладные задачи.............................. 139
Комментарии......................................... 149
Г л а в а V. Реакция систем на внешние воздействия................. 151
1. Линейные неравенства............................ 152
2. Теория Р-систем................................ 155
3. Смещение равновесия............................ 161
4. Теоремы о пересечениях........................... 167
Комментарии и задачи.................................... 169
Г л а в а VI. Системы с параметром........................... 171
1. Градиентные системы............................ 171
2. Динамические характеристики равновесия............... 178
3. Структурная устойчивость......................... 189
4. Прикладные аспекты теории катастроф................. 196
Комментарии и задачи.................................... 200
Глава VII. Термодинамика сложных систем.................... 202
1. Равновесие в системах обмена....................... 202
2. Статистические методы........................... 211
3. Макропараметры и агрегирование..................... 219
4. Проблема обоснования........................... 229
5. Агрегирование линейных систем..................... 238
Комментарии......................................... 242
Обозначения.......................................... 244
Список литературы...................................... 245

Предисловие

Под задачами системостатики мы будем подразумевать то, что обычно понимается под задачами статики в математической экономике и других прикладных дисциплинах. Это изучение равновесия системы, седловых точек, различных гипов решений игр и вообще некоторых выделенных состояний системы, удовлетворяющих тем или иным специфическим требованиям. Предмет исследования здесь обычно составляют вопросы существования и единственности изучаемых состояний, их зависимости от внешних воздействий (управлений) и г.п. Другая составляющая системостатики принципы агрегирования и декомпозиции.

Статический аспект исследования систем часто представляет самостоятельный интерес (например, в межотраслевом балансе) и всегда лежит в основе комплексного изучения системы. Решение вопросов статики — как правило, первый необходимый шаг при постановке любых задач. Не случайно в математической экономике и других прикладных областях вопросам статики уделяется серьезное внимание и принципиальные продвижения (например, появление новых теорем существования) воспринимаются обычно как крупные вехи в развитии научной дисциплины.

Признаки неудовлетворительного положения вещей заключаются в другом. Экономисты изучают экономическую статику, биологи — биологическую и т.д. Тогда как внимательный взгляд легко позволяет обнаружить, что в разных областях по существу решаются задачи единой математической природы, но изолированно друг от друга. Отрицательные последствия подобного разобщения усилий достаточно очевидны. Терминологические барьеры и концентрация внимания на специальных приемах решения вопросов тормозят решение вновь возникающих задач, мешают взаимному обогащению прикладных областей исследования. В результате многие исследования экономических, биологических, социологических и других моделей пестрят доморощенными доказательствами. Пути преодоления трудностей в подобной ситуации стандартны. Необходимо сводить воедино разнородные на первый взгляд вопросы, разрабатывать общие схемы, модели и методы. Резервы канонизации известных задач, наведения переходных мостов, разработки стереотипных схем, "переоткрытия" для нужд системного анализа старых математических дисциплин весьма велики. Однако более важным и перспективным здесь представляется развитие новых математических методов, которые позволили бы значительно расширить сферу приложений и сделать существенный шаг в исследовании сложных систем. В этом направлении за последние 10 — 15 лет была проведена большая работа. Появились общесистемные трактовки задач статики, выделены. и изучены многие классы систем, охватывающие широкий круг моделей из различных областей, развит .новый математический аппарат, специально ориентированный на задачи системостатики. Однако итогом проделанной работы пока остаются разрозненные журнальные статьи.

В данной книге делается попытка представить системостатику как единую научную дисциплину. Излагается новый математический аппарат, развиваются общие точки зрения на задачи различной природы, даются многочисленные приложения. Большая работа проделана по адаптации классического аппарата к специфике решаемых задач.

Первая глава в книге занимает особое положение. Здесь делается попытка продемонстрировать общность задач статики на содержательных моделях из различных областей (экономики, управления, биологии, техники) , что позволяет грубо очертить предмет системостатики.

Следующие три главы посвящены развитию математического аппарата, предназначенного для решения разнообразных задач, связанных сизучением равновесия системы. Основное внимание уделяется вопросам сушествования и единственности равновесия. При этом существо развиваемых методов заключается не просто в широком использовании геометрических принципов неподвижной точки (глава II), а в доведении результатов до выявления общесистемных свойств. На этом пути выделяются гомогенные и гетеротонные системы, К-системы (главы III, IV), в рамки которых укладываются многочисленные содержательные Модели. В то же время эти классы систем оказываются достаточно удобными для теоретического исследования и дают возможность указать серию простых и эффективных критериев существования и единственности равновесия.

Центральные результаты главы V связаны с построением теории Р-систем, которая служит базой для решения качественных задач о зависимости равновесия системыот внешних воздействий (управлений). В целом здесь на общесистемном уровне рассматриваются задачи, которые в математической экономике принято называть задачами сравнительной статики. В главе VI продолжается изучение влияния внешних воздействий на равновесие системы, но ориентация исследований уже иная. Проблема здесь заключается не в том, в каком направлении меняется равновесие под внешним воздействием (что характерно для задач сравнительной статики), а в том, как меняются свойства самого равновесия. В каких случаях, например, устойчивое равновесие может превратиться в неустойчивое и т.д. Естественно, что при этом приходится затрагивать вопросы динамики.

В последней главе рассматриваются вопросы укрупненного описания сложных систем, содержащих большое число элементов. Прослеживаются аналогии с классической термодинамикой и статистической физикой. Рассматриваются разнообразные применения энтропийных методов.

Заметим, что фигурирующие в названиях разделов: межотраслевой баланс, игровые модели, экономические модели равновесия и другие прикладные задачи изучаются не сами по себе, а как иллюстрация развиваемых общесистемных методов. На изложении это сказывается следующим образом. Модели изучаются в некоторых упрощающих предположениях, что дает возможность подчеркнуть основные идеи, не затемняя существа дела второстепенными деталями. Вместе с тем намечаются пути обобщений и показывается, как общесистемная точка зрения часто позволяет углубить классические результаты и получить новые.

Внутри каждой главы принята самостоятельная нумерация параграфов и теорем. Если делается ссылка на теорему из другой главы, то в скобках римскими цифрами указывается номер главы. Знак □ везде далее обозначает конец доказательства или рассуждения.

В.И. Опойцев


Об авторе
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».