Флюгге З. Задачи по квантовой механике:
Пер. с англ. Т.1,2

Содержание

Предисловие редактора перевода

Книга "Задачи по квантовой механике", перевод которой предлагается вниманию советского читателя, написана немецким физиком-теоретиком старшего поколения Зигфридом Флюгге. Он начал работать еще в 30-е годы с Максом Борном, а в настоящее время уделяет большое внимание издательской деятельности, в частности как редактор широко известной многотомной "Физической энциклопедии" (Handbuch der Physik).

Квантовую механику, как и любой другой раздел теоретической физики, невозможно изучить, ограничиваясь только рассмотрением теоретических положений. Поэтому нет ни одного курса по квантовой механике как советских, так и иностранных авторов, в котором с помощью волновых уравнений не рассматривались хотя бы основные квантовые задачи: гармонический осциллятор, ротатор, водородоподобный атом, эффект Зеемана, учет релятивистских и спиновых эффектов, атом гелия, простейшие молекулы и т.д. Более того, на базе решения этих конкретных задач и сравнения теоретических выводов с экспериментальными данными возникла сама квантовая механика; вначале она была нерелятивистской (матричная механика Гейзенберга, волновое уравнение Шредингера), а затем пришлось построить такое волновое уравнение, которое объясняло бы не только спиновые (уравнение Паули), но и релятивистские эффекты (уравнение Дирака). К сожалению, далеко не все задачи решаются точно с помощью волновых уравнений Шредингера или Дирака и т.д. Поэтому необходимо было создать еще и приближенные методы, например метод Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ), теорию возмущений и т.д. С помощью волновых уравнений квантовой механики находятся, как правило, так называемые стационарные состояния (без учета излучения).

Для последовательного разрешения квантовой проблемы электромагнитного излучения пришлось развить теорию вторичного квантования и применить ее к решению конкретных вопросов. В частности, на основе метода возмущений была развита квантовая теория спонтанного и вынужденного излучений, которая вначале была построена Эйнштейном с помощью принципа соответствия полуклассической боровской теории.

Чтобы изучить, а главное овладеть методами квантовой механики, явно недостаточно ограничиться волновыми уравнениями и решением с их помощью некоторых основных задач. Поэтому не удивительно, что в учебном плане университетского курса квантовой механики наряду с лекциями предусмотрены еще практические занятия, где студентов учат решать с помощью квантовой механики самые разнообразные задачи.

Если в литературе имеется достаточное количество учебников по квантовой теории, написанных советскими [1–6] и иностранными [7–10] авторами, то задачников по квантовой механике весьма мало. Один из первых задачников был написан Зигфридом Флюгге на немецком языке еще в 1947 г. [11]. Это пособие стало классическим задачником, которым пользовались не только иностранные, но и советские специалисты, несмотря на то, что он не был переведен на русский язык. В советской литературе имеется лишь несколько сборников задач по курсу квантовой механики, наиболее известными из которых являются задачники [12, 13]. К сожалению, они относятся к 1956–1957 гг. и несколько устарели, не говоря о том, что в них рассматриваются, как правило, только нерелятивистские задачи. Поэтому не удивительно, что появление в 1971 г. задачника по квантовой механике Флюгге всячески приветствовалось. Книга Флюгге – по существу заново переработанное и дополненное издание его задачника 1947 г. [11]. Автор вынужден был разбить новое издание на два тома, поскольку 219 задач с подробными решениями и комментариями оказалось неудобно поместить в один том. В книге Флюгге 1971 г. собрано не только значительно больше задач, чем в издании 1947 г., но, что не менее важно, помещены задачи из новых разделов квантовой механики (например, релятивистской квантовой механики и теории излучения), которые фактически отсутствовали в изданных до настоящего времени задачниках.

Глава I посвящена основным принципам квантовой механики, включая вопросы, связанные с интерпретацией математического аппарата. Здесь же рассмотрены связь между шредингеровским и гейзенберговским представлениями и переход к импульсному представлению.

Наибольший интерес в первом томе представляет гл.II, в которой собрано большое число задач, связанных с движением бесспиновой частицы в полях различного вида. В этой главе наряду с задачами, помещенными во многие пособия (прямоугольная потенциальная яма, гармонический и ангармонический осциллятор, момент количества движения в сферических координатах, проблема Кеплера и др.), имеется довольно много задач, связанных с использованием приближения ВКБ. Это вполне естественно ввиду возрастающей роли приближения ВКБ при изучении многих проблем квантовой механики. В конце главы разобраны задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле.

Весьма интересна, как нам кажется, серия задач этой главы, посвященная упругому рассеянию на сферически симметричном потенциале. Автор использовал здесь результаты ряда оригинальных научных статей, сравнительно недавно появившиеся в научной периодике и не вошедшие еще в учебную литературу. Мы имеем в виду прежде всего расчет фаз рассеяния для парциальных волн методом последовательных приближений, уравнение Калоджеро, полюсы Редже, вариационный принцип Швингера и т.д.

Второй том начинается с гл.III, посвященной движению нерелятивистских частиц со спином 1/2. Вся глава разбита на две части: в части А рассматриваются одночастичные задачи, в части Б – двух- и трехчастичные задачи.

Глава IV также разбита на две части, включающие соответственно задачи со сравнительно небольшим (часть А) и с очень большим числом частиц (часть Б). В части А рассматриваются задачи о возбужденном состоянии атома гелия, об основном состоянии лития с обменными поправками и т.д. В части Б представлены задачи, при решении которых используются методы квантовой статистики (электронный газ в металле, модель атома Томаса–Ферми и т.д.).

Глава V посвящена в основном нестационарным задачам, включая дираковскую теорию возмущения.

В гл.VI собраны задачи, связанные с релятивистским уравнением Дирака. Здесь весьма подробно разбираются проблема Кеплера с учетом релятивистских и спиновых эффектов, теория дираковских спиноров, переход к нерелятивистскому уравнению Паули и т.д.

В последней, гл.VII излагаются элементы теории вторичного квантования как нерелятивистского уравнения Шредингера, так и уравнения Максвелла–Лоренца. На основе вторичного квантования разбираются задачи, касающиеся вероятности излучения, интенсивности линий лаймановской серии в атоме водорода, эффекта Комптона и тормозного излучения.

Для удобства читателя в конце книги помещено математическое приложение справочного характера. В нем в компактном виде изложены вопросы, связанные с применением различных систем координат: сферической, параболической, цилиндрической, эллипсоидальной. Здесь же даны определения и приведены основные формулы для ряда специальных функций, наиболее часто встречающихся в квантовой механике (гипергеометрическая функция, Г-функция, функции Бесселя, Эйри, Лежандра и т.д.).

Подробный предметный указатель, который помещен во втором томе, позволяет быстро находить номера задач, интересующих читателя. Это особенно важно, поскольку физически родственные задачи по тем или иным методическим соображениям могут быть помещены в различные разделы.

В заключение отметим некоторые особенности книги Флюгге. Ее нельзя рассматривать как стандартный задачник, в котором лишь формулируется та или иная задача, а затем дается ответ или приводятся указания к ее решению. В книге во многих задачах развиваются соответствующие теоретические положения квантовой механики, причем сами задачи снабжены весьма подробными решениями, а результаты проиллюстрированы числовыми примерами и графиками, что несомненно облегчает их понимание. Теория, развиваемая при решении задач, практически охватывает курс квантовой механики (примерно в объеме университетской программы), включая ее принципиальные законы. Поэтому, внимательно читая книгу Флюгге, можно не только изучить квантовую механику, но и научиться применять ее к конкретным задачам. Потребность в руководствах такого рода в последние годы стала особенно ощутимой, поскольку квантовая механика находит применение во все более широких областях физики, а контингент лиц, изучающих ее, быстро возрастает. Поэтому мы надеемся, что выпускаемая на русском языке книга Флюгге будет полезна не только студентам различных вузов, изучающим теоретическую физику, а также преподавателям, ведущим занятия по квантовой механике, но и широкому кругу физиковэкспериментаторов, не обладающих достаточным опытом при выполнении конкретных квантовомеханических расчетов.

Мы сочли возможным внести в текст некоторых задач небольшие изменения с целью устранить замеченные в процессе перевода неточности и опечатки. Кроме того, там, где автор цитирует малоизвестные у нас монографии, пришлось дать дополнительные ссылки на доступные советскому читателю книги, в которых разбираются соответствующие вопросы.

Конечно, книгу Флюгге можно было бы дополнить более сложными задачами, связанными, например, с ролью симметрии в квантовой механике, или задачами, решение которых опирается на теорию абстрактного гильбертова пространства. Однако это значительно увеличило бы объем, тем более что многие близкие вопросы изложены в специальной литературе, носящей характер задачников (см., например, [17]). Во всяком случае, еще раз повторяем, что книга Флюгге будет полезна всем физикам, которые не только хотят изучить принципиальные вопросы квантовой механики, но и желают научиться применять их к решению конкретных задач.

Литература

1. Блохинцев Д.Я. Основы квантовой механики, изд-во "Высшая школа", 1963.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, Физматгиз, 1963.
3. Соколов А. А., Лоскутов Ю. Л., Тернов И. М. Квантовая механика, изд-во "Просвещение", 1965.
4.Соколов А. А., Тернов И. М. Квантовая механика и атомная физика, изд-во "Просвещение", 1970.
5. Матвеев А.Я. Квантовая механика и строение атома, изд-во "Высшая школа", 1965.
6. Давыдов А. С. Квантовая механика, изд. 2-е, перераб., изд-во "Наука", 1973.
7. Ферми Э. Квантовая механика, изд-во "Мир", 1968.
8. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры, т. 1 и 2, Гостехиздат, 1956.
9. Шифф Л. Квантовая механика, ИЛ, 1959.
10. Морс Ф., Фешбах Л. Методы теоретической физики, т. 1 и 2, ИЛ, 1958, 1960.
11. Flugge S. Rechenmethoden der Quantentheorie dargestellt in Aufgaben und Losungen, Springer, Berlin, 1947.
12. Гольдман И. Я., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой механике, Гостехиздат, 1957.
13. Коган В. Я., Галицкий В. М. Сборник задач по квантовой механике, Гостехиздат, 1956.
14. Иродов И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике, Атомиздат, 1971.
15. Скачков С. В. и др. Сборник задач по ядерной физике, Физматгиз, 1963.
16. Фейнмановские лекции по физике (Задачи и упражнения с ответами и решениями), 4-е изд. М: УРСС, 2004.
17. Халмош Я. Гильбертово пространство в задачах, изд-во "Мир", 1970.

Предисловие автора

Впервые эта книга под названием "Rechenmethoden der Quantentheorie" была издана в 1947 г. в Германии. Она была предназначена студентам, только еще приступающим к изучению квантовой механики, и тем специалистам-экспериментаторам, которые ранее никогда не пользовались ею в качестве рабочего аппарата. Книга имела цель помочь тем и другим научиться применять общую теорию к практическим задачам атомной физики. С тех давних пор было написано много прекрасных книг, служащих введением в общую теорию и необходимых для более глубокого понимания предмета. Однако нам кажется, что при этом чисто практическая сторона дела в какой-то мере была упущена из виду, если, конечно, не говорить о тех многочисленных монографиях, где со всеми подробностями освещаются отдельные специальные вопросы. Иными словами, мы до сих пор все еще, по-видимому, не имеем всестороннего практического руководства по квантовой механике, и такое пособие могло бы оказаться полезным.

Надеясь заполнить указанный пробел, автор пошел навстречу желанию издателей, предложивших модернизировать старое немецкое издание и написать новый вариант книги на английском языке с тем, чтобы сделать ее более доступной широким кругам студенческой и научной общественности.

С самого начала не могло быть никаких сомнений в том, что объем книги должен значительно возрасти. Нужно было добавить новые приближенные методы и другие новейшие достижения, в особенности относящиеся к проблеме рассеяния. Кроме того, нам казалось необходимым включить в книгу релятивистскую квантовую механику и хотя бы бегло затронуть теорию излучений, как пример квантования волновых полей. Наконец, сам подбор задач, бывший ранее в известной мере случайным, нуждался теперь в тщательном пересмотре.

В итоге число задач по сравнению с последним немецким изданием возросло почти вдвое. Ни одна из них не является простым переводом первоначальной задачи, и примерно лишь 50 задач возникло в результате переработки первоначального текста. Таким образом, подавляющее большинство задач публикуется здесь впервые. Тем не менее общий характер книги остался прежним, но теперь тенденция иметь в конце каждой задачи пригодные для обсуждения буквенные результаты и числовые значения, как нам кажется, выражена отчетливее.

Мы не стали исключать более элементарные задачи, такие, как задача о частице в прямоугольной яме, но несколько сократили их объем. Общее введение к немецкому изданию, что-то около 20 страниц, посвященных основным уравнениям и их интерпретации, в этом издании опущено. Любой студент, пользующийся задачником, достаточно знаком с предметом, поэтому такой шаг вполне оправдан. Однако нам казалось, что читателям принесет пользу математическое приложение, где собраны и частично выведены формулы, относящиеся к специальным функциям, которые широко используются на протяжении всей книги.

Не без колебаний согласился автор с практическими доводами издателей, пожелавших иметь настоящее издание книги в виде двух отдельных томов, надеясь, что этот шаг не нанесет серьезного ущерба ее внутренней структуре и единству.

Об авторе

Известный немецкий физик-теоретик. Родился в Дрездене. Учился в Геттингенском университете, где успешно защитил докторскую диссертацию под руководством будущего Нобелевского лауреата Макса Борна. Работал во Франкфурте и Лейпциге, был сотрудником великого немецкого физика, Нобелевского лауреата Вернера Гейзенберга. С 1937 г. работал в Институте физической химии и электрохимии кайзера Вильгельма (директор института - еще один Нобелевский лауреат Отто Ган). Во время и после Второй мировой войны преподавал физику и читал лекции по истории науки в университетах Берлина, Кенигсберга, Марбурга, Фрайбурга. Кроме того, З. Флюгге занимался издательской деятельностью, в том числе как редактор получившей широкую известность многотомной "Физической энциклопедии" (1956-1984).

Зигфрид Флюгге первым среди немецких физиков поставил вопрос о практическом использовании атомной энергии. В июне 1939 г. в журнале "Естествознание" была опубликована его знаменитая статья "Можно ли технически использовать энергию атомных ядер?", в которой рассчитывалась величина энергии, высвобождаемой при делении ядра. Там же было описано, что именно необходимо, по представлениям того времени, для создания "урановой машины", вырабатывающей энергию. Написанный З. Флюгге задачник по квантовой механике (1947), предлагаемый читателям, стал классическим трудом, которым советские специалисты пользовались даже тогда, когда он еще не был переведен на русский язык.