Обложка Исаев А.П., Рубаков В.А. Теория групп и симметрий. Книга 2: Представления групп Ли и алгебр Ли. Приложения
Id: 255843
1269 руб.

Теория групп и симметрий.
Книга 2: Представления групп Ли и алгебр Ли. Приложения Кн.2

URSS. 2021. 704 с. ISBN 978-5-396-01040-6.
  • Твердый переплет

Аннотация

Излагаются основы теории представлений групп Ли и алгебр Ли. Дана классификация конечномерных комплексных представлений простых алгебр Ли на основе теории весов. Подробно рассматривается теория конечномерных представлений групп и алгебр Ли классических серий. Обсуждаются спинорные представления ортогональных алгебр Ли и спинорных групп Ли.

Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов, специализирующихся в области теоретической и математической физики.


Содержание
Предисловие7
Глава 1. Обозначения Дирака9
1.1. Бра- и кет-вектора. Координатное и импульсное представление9
1.2. Представление Фока. Голоморфное и антиголоморфное представления15
1.3. Алгебра Клиффорда и алгебра свободных фермионов23
1.3.1. Алгебра Клиффорда24
1.3.2. Представление Фока для алгебры свободных фермионов29
1.3.3. Алгебра Грассмана33
Глава 2. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и s(2,C) и групп Ли SU(2) и SL(2,C)41
2.1. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и s(2,C)41
2.2. Дифференциальная реализация алгебры Ли s(2,C) и представления со старшим весом50
2.2.1. Реализация алгебры Ли s(2,C) с помощью дифференциальных операторов50
2.2.2. Построение представлений со старшим весом для дифференциальных реализаций s(2,C)56
2.2.3. Когерентные состояния для алгебры Ли s(2,C)61
2.3. Конечномерные представления групп SU(2) и SL(2,C)68
2.3.1. Параметризации группы SU(2)68
2.3.2. Конечномерные представления групп SU(2), SL(2,C) и SO(3). Тензорные представления. Функции Вигнера73
2.3.3. Сферические функции на S2 =SU(2)/U(1). Операторы Лапласа на SU(2) и SU(2)/U(1)84
2.4. Тензорное произведение представлений группы SU(2) и ряд Клебша—Гордана94
2.4.1. Разложение Клебша—Гордана94
2.4.2. Выделение неприводимых представлений со старшим весом в прямом произведении представлений99
2.4.3. Спиновая цепочка Гейзенберга110
2.4.4. Метод вычисления коэффициентов Клебша—Гордана115
2.4.5. Свойства коэффициентов Клебша—Гордана и 3-j символов122
2.5. Тензорные операторы и 3n-j символы127
2.5.1. Тензорные операторы и теорема Вигнера—Эккарта127
2.5.2. Коэффициенты Рака и 3n-j символы132
2.5.3. 6-j символы и ассоциативность произведения представлений141
2.5.4. Вычисление 6-j символов. Метод Швингера155
Глава 3. Представления простых алгебр Ли. Теория весов167
3.1. Корневые системы простых алгебр Ли167
3.1.1. Корневые системы алгебр Ли s(n,C), so(n,C) и sp(2r,C)167
3.1.2. Корневые системы исключительных алгебр Ли176
3.1.3. Группа Вейля. Дуальные корневые системы182
3.2. Представления и веса191
3.3. Решетки весов203
3.4. Классификация неприводимых конечномерных представлений210
3.4.1. Представления со старшим весом210
3.4.2. Фундаментальные веса и классификация представлений алгебр Ли s(n,C), so(n,C) и sp(2r,C)221
3.4.3. Квадратичный оператор Казимира244
3.5. Формула Вейля для характеров представлений компактных простых групп Ли248
3.5.1. Знаменатель Вейля и формула Вейля для характеров248
3.5.2. Приложения. Явные формулы для характеров и размерностей представлений групп SU(r+1), SO(n) и USp(2r)262
Глава 4. Конечномерные представления алгебр s(N,C)и su(N) и групп SL(N,C) и SU(N)273
4.1. Предварительные замечания274
4.2. Действие группы Sr в пространстве тензорного произведения определяющих представлений278
4.3. Представления группы перестановок I. Симметризаторы Юнга288
4.3.1. Таблицы Юнга. Конструкция симметризаторов Юнга288
4.3.2. Симметризаторы Юнга и идемпотенты. Неприводимые представления группы Sr и их размерности300
4.4. Конечномерные неприводимые представления групп SU и SL313
4.4.1. Конечномерные неприводимые представления SL(N,C) и SU(N) в пространствах симметризованных тензоров313
4.4.2. Размерности неприводимых представлений групп SL(N,C) и SU(N)322
4.4.3. Ко-определяющее и присоединенное представления групп SL(N,C) и SU(N)331
4.4.4. Кварки, SU(3)-симметрия и ее нарушение334
4.5. Представления группы перестановок II. Теория Юнга—Фробениуса356
4.5.1. Идемпотенты и неприводимые представления ассоциативных алгебр. Разложения Пирса358
4.5.2. Взаимная ортогональность и полнота симметризаторов Юнга375
4.5.3. Дуальность Шура—Вейля387
4.6. Представления группы перестановок III. Подход Вершика—Окунькова391
4.6.1. Элементы Юциса—Мерфи и сплетающие операторы в алгебре C[Sn]391
4.6.2. Идемпотенты и спектр операторов Юциса—Мерфи397
4.6.3. Раскрашенный граф Юнга и правило ветвления представлений414
4.6.4. Граф Юнга и индуктивное построение идемпотентов e421
4.6.5. Проекционные операторы и характеры для неприводимых представлений U(N). Симметрические функции428
4.7. Заключительные замечания. Базис Гельфанда—Цетлина441
Глава 5. Конечномерные представления групп SO, Sp и алгебр Ли so, sp447
5.1. Тензорные представления групп O(N,C), SO(N,C) и их подгрупп O(p,q), SO(p,q)447
5.1.1. Псевдоортогональная группа O(p,q) и алгебра Ли so(p,q)448
5.1.2. Тензоры. Тензорные представления групп O(p,q)452
5.1.3. Выделение неприводимых представлений групп O(p,q) и SO(p,q) из представления Tr456
5.1.4. Неприводимые тензорные представления ортогональных групп. Осциллирующие таблицы Юнга469
5.2. Алгебра Брауэра Brn и ее представления476
5.2.1. Алгебра Брауэра Brn. Элементы Юциса—Мерфи для алгебры Brn476
5.2.2. Сплетающие элементы и идемпотенты в алгебре Brn. Спектр операторов Юциса—Мерфи484
5.2.3. Осциллирующие таблицы Юнга и их вектора содержаний489
5.2.4. Осциллирующий граф Юнга для алгебры Brn491
5.2.5. Примитивные идемпотенты для алгебры Брауэра и инвариантные проекторы для представлений ортогональных групп495
5.3. Тензорные представления группы Sp(2r,C) и ее подгрупп Sp(2r,R), USp(2r), Sp(p,r-p)500
5.4. Спинорные представления алгебр Ли so(N,C)508
5.4.1. Спинорные представления алгебр Ли so(2r,C)509
5.4.2. Спинорные представления алгебр Ли so(2r+1,C)514
Глава 6. Группы Spin(p,q) и их конечномерные представления519
6.1. Алгебры Клиффорда и их представления519
6.1.1. Вещественные алгебры Клиффорда C(p,q)520
6.1.2. Матричные представления комплексных алгебр Клиффорда CN и их вещественных форм C(p,q)526
6.1.3. Вейлевские представления алгебр Клиффорда CN и C(p,q)540
6.2. Спинорные группы Pin(p,q) и Spin(p,q)546
6.2.1. Определения спинорных групп Pin(p,q) и Spin(p,q)546
6.2.2. Представления алгебр Клиффорда, алгебр spin(p,q) и групп Spin(p,q)562
6.3. Матрицы сопряжения567
6.3.1. Матрицы сопряжения B,C, D для представлений алгебры C(p,q) и свойства этих матриц567
6.3.2. Матрицы сопряжения B, C, D и структура групп Spin(p,q). Группа Spin(8)583
6.4. Дираковские, вейлевские и майорановские спиноры в пространствах Rp,q595
6.4.1. Спиноры в пространствах Rp,q и тензорные произведения спиноров595
6.4.2. Зарядовое сопряжение спиноров в пространствах Rp,q603
6.4.3. Алгебра C(1,N-1) и спинорная группа Spin(1,N-1). Спиноры в пространстве Минковского R1,N-1610
6.4.4. Тождества Фирца для многомерных спиноров616
Глава 7. Решения некоторых задач627
7.1. Задача 1.3.11627
7.2. Задача 1.3.12628
7.3. Задача 2.2.15629
7.4. Задача 2.3.20631
7.5. Задача 2.3.22631
7.6. Задача 2.3.23632
7.7. Задача 2.3.27634
7.8. Задача 2.5.48638
7.9. Задача 2.5.59640
7.10. Задача 3.3.7641
7.11. Задача 3.4.13646
7.12. Задачи 4.3.6, 4.3.7647
7.13. Задача 4.3.14650
7.14. Задача 4.3.15653
7.15. Задача 4.5.40654
7.16. Задача 4.6.52655
7.17. Задача 4.6.54656
7.18. Задача 4.7.58658
7.19. Задача 5.1.3661
7.20. Задача 5.1.5664
7.21. Задача 5.3.17667
7.22. Задача 6.2.14669
7.23. Задача 6.2.16670
7.24. Задача 6.3.26671
7.25. Задача 6.3.27673
7.26. Задача 6.3.31673
7.27. Задача 6.4.35674
7.28. Задача 6.4.45675
Монографии и обзоры общего характера678
Литература681
Предметный указатель686

Об авторах
Исаев Алексей Петрович
Заместитель директора Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна), главный научный сотрудник физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, профессор. Физик-теоретик, специалист в области квантовой теории поля, теории симметрий, теории релятивистских струн и физики элементарных частиц, автор более 100 научных работ. Удостоен первой премии ОИЯИ за циклы теоретических работ в 1997 и 2019 годах.
Рубаков Валерий Анатольевич
Главный научный сотрудник Института ядерных исследований РАН, заведующий кафедрой физики частиц и космологии физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, академик Российской академии наук. Физик-теоретик, специалист в области квантовой теории поля, физики элементарных частиц, космологии, гравитации. Лауреат российских и международных научных премий, среди которых золотая медаль с премией для молодых ученых АН СССР (1984), премия им. А. А. Фридмана РАН (1999), международная премия им. И. Я. Померанчука (2003), международная премия им. М. А. Маркова Института ядерных исследований РАН (2005), премия им. Б. М. Понтекорво ОИЯИ (2008), премия им. Й. Ханса Йенсена Гейдельбергского университета (2009), премия им. Юлиуса Весса Технологического института Карлсруэ (2010), Ломоносовская премия 1-й степени (2012), премия им. Н. Н. Боголюбова ОИЯИ (2015), Демидовская премия (2016), Гамбургская премия по теоретической физике (2020).

Страницы (пролистать)