| Предисловие | 7
|
| Глава 1. Обозначения Дирака | 9
|
| 1.1. Бра- и кет-вектора. Координатное и импульсное представление | 9
|
| 1.2. Представление Фока. Голоморфное и антиголоморфное представления | 15
|
| 1.3. Алгебра Клиффорда и алгебра свободных фермионов | 23
|
| 1.3.1. Алгебра Клиффорда | 24
|
| 1.3.2. Представление Фока для алгебры свободных фермионов | 29
|
| 1.3.3. Алгебра Грассмана | 33
|
| Глава 2. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и s(2,C) и групп Ли SU(2) и SL(2,C) | 41
|
| 2.1. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и s(2,C) | 41
|
| 2.2. Дифференциальная реализация алгебры Ли s(2,C) и представления со старшим весом | 50
|
| 2.2.1. Реализация алгебры Ли s(2,C) с помощью дифференциальных операторов | 50
|
| 2.2.2. Построение представлений со старшим весом для дифференциальных реализаций s(2,C) | 56
|
| 2.2.3. Когерентные состояния для алгебры Ли s(2,C) | 61
|
| 2.3. Конечномерные представления групп SU(2) и SL(2,C) | 68
|
| 2.3.1. Параметризации группы SU(2) | 68
|
| 2.3.2. Конечномерные представления групп SU(2), SL(2,C) и SO(3). Тензорные представления. Функции Вигнера | 73
|
| 2.3.3. Сферические функции на S2 =SU(2)/U(1). Операторы Лапласа на SU(2) и SU(2)/U(1) | 84
|
| 2.4. Тензорное произведение представлений группы SU(2) и ряд Клебша—Гордана | 94
|
| 2.4.1. Разложение Клебша—Гордана | 94
|
| 2.4.2. Выделение неприводимых представлений со старшим весом в прямом произведении представлений | 99
|
| 2.4.3. Спиновая цепочка Гейзенберга | 110
|
| 2.4.4. Метод вычисления коэффициентов Клебша—Гордана | 115
|
| 2.4.5. Свойства коэффициентов Клебша—Гордана и 3-j символов | 122
|
| 2.5. Тензорные операторы и 3n-j символы | 127
|
| 2.5.1. Тензорные операторы и теорема Вигнера—Эккарта | 127
|
| 2.5.2. Коэффициенты Рака и 3n-j символы | 132
|
| 2.5.3. 6-j символы и ассоциативность произведения представлений | 141
|
| 2.5.4. Вычисление 6-j символов. Метод Швингера | 155
|
| Глава 3. Представления простых алгебр Ли. Теория весов | 167
|
| 3.1. Корневые системы простых алгебр Ли | 167
|
| 3.1.1. Корневые системы алгебр Ли s(n,C), so(n,C) и sp(2r,C) | 167
|
| 3.1.2. Корневые системы исключительных алгебр Ли | 176
|
| 3.1.3. Группа Вейля. Дуальные корневые системы | 182
|
| 3.2. Представления и веса | 191
|
| 3.3. Решетки весов | 203
|
| 3.4. Классификация неприводимых конечномерных представлений | 210
|
| 3.4.1. Представления со старшим весом | 210
|
| 3.4.2. Фундаментальные веса и классификация представлений алгебр Ли s(n,C), so(n,C) и sp(2r,C) | 221
|
| 3.4.3. Квадратичный оператор Казимира | 244
|
| 3.5. Формула Вейля для характеров представлений компактных простых групп Ли | 248
|
| 3.5.1. Знаменатель Вейля и формула Вейля для характеров | 248
|
| 3.5.2. Приложения. Явные формулы для характеров и размерностей представлений групп SU(r+1), SO(n) и USp(2r) | 262
|
| Глава 4. Конечномерные представления алгебр s(N,C)и su(N) и групп SL(N,C) и SU(N) | 273
|
| 4.1. Предварительные замечания | 274
|
| 4.2. Действие группы Sr в пространстве тензорного произведения определяющих представлений | 278
|
| 4.3. Представления группы перестановок I. Симметризаторы Юнга | 288
|
| 4.3.1. Таблицы Юнга. Конструкция симметризаторов Юнга | 288
|
| 4.3.2. Симметризаторы Юнга и идемпотенты. Неприводимые представления группы Sr и их размерности | 300
|
| 4.4. Конечномерные неприводимые представления групп SU и SL | 313
|
| 4.4.1. Конечномерные неприводимые представления SL(N,C) и SU(N) в пространствах симметризованных тензоров | 313
|
| 4.4.2. Размерности неприводимых представлений групп SL(N,C) и SU(N) | 322
|
| 4.4.3. Ко-определяющее и присоединенное представления групп SL(N,C) и SU(N) | 331
|
| 4.4.4. Кварки, SU(3)-симметрия и ее нарушение | 334
|
| 4.5. Представления группы перестановок II. Теория Юнга—Фробениуса | 356
|
| 4.5.1. Идемпотенты и неприводимые представления ассоциативных алгебр. Разложения Пирса | 358
|
| 4.5.2. Взаимная ортогональность и полнота симметризаторов Юнга | 375
|
| 4.5.3. Дуальность Шура—Вейля | 387
|
| 4.6. Представления группы перестановок III. Подход Вершика—Окунькова | 391
|
| 4.6.1. Элементы Юциса—Мерфи и сплетающие операторы в алгебре C[Sn] | 391
|
| 4.6.2. Идемпотенты и спектр операторов Юциса—Мерфи | 397
|
| 4.6.3. Раскрашенный граф Юнга и правило ветвления представлений | 414
|
| 4.6.4. Граф Юнга и индуктивное построение идемпотентов e | 421
|
| 4.6.5. Проекционные операторы и характеры для неприводимых представлений U(N). Симметрические функции | 428
|
| 4.7. Заключительные замечания. Базис Гельфанда—Цетлина | 441
|
| Глава 5. Конечномерные представления групп SO, Sp и алгебр Ли so, sp | 447
|
| 5.1. Тензорные представления групп O(N,C), SO(N,C) и их подгрупп O(p,q), SO(p,q) | 447
|
| 5.1.1. Псевдоортогональная группа O(p,q) и алгебра Ли so(p,q) | 448
|
| 5.1.2. Тензоры. Тензорные представления групп O(p,q) | 452
|
| 5.1.3. Выделение неприводимых представлений групп O(p,q) и SO(p,q) из представления Tr | 456
|
| 5.1.4. Неприводимые тензорные представления ортогональных групп. Осциллирующие таблицы Юнга | 469
|
| 5.2. Алгебра Брауэра Brn и ее представления | 476
|
| 5.2.1. Алгебра Брауэра Brn. Элементы Юциса—Мерфи для алгебры Brn | 476
|
| 5.2.2. Сплетающие элементы и идемпотенты в алгебре Brn. Спектр операторов Юциса—Мерфи | 484
|
| 5.2.3. Осциллирующие таблицы Юнга и их вектора содержаний | 489
|
| 5.2.4. Осциллирующий граф Юнга для алгебры Brn | 491
|
| 5.2.5. Примитивные идемпотенты для алгебры Брауэра и инвариантные проекторы для представлений ортогональных групп | 495
|
| 5.3. Тензорные представления группы Sp(2r,C) и ее подгрупп Sp(2r,R), USp(2r), Sp(p,r-p) | 500
|
| 5.4. Спинорные представления алгебр Ли so(N,C) | 508
|
| 5.4.1. Спинорные представления алгебр Ли so(2r,C) | 509
|
| 5.4.2. Спинорные представления алгебр Ли so(2r+1,C) | 514
|
| Глава 6. Группы Spin(p,q) и их конечномерные представления | 519
|
| 6.1. Алгебры Клиффорда и их представления | 519
|
| 6.1.1. Вещественные алгебры Клиффорда C(p,q) | 520
|
| 6.1.2. Матричные представления комплексных алгебр Клиффорда CN и их вещественных форм C(p,q) | 526
|
| 6.1.3. Вейлевские представления алгебр Клиффорда CN и C(p,q) | 540
|
| 6.2. Спинорные группы Pin(p,q) и Spin(p,q) | 546
|
| 6.2.1. Определения спинорных групп Pin(p,q) и Spin(p,q) | 546
|
| 6.2.2. Представления алгебр Клиффорда, алгебр spin(p,q) и групп Spin(p,q) | 562
|
| 6.3. Матрицы сопряжения | 567
|
| 6.3.1. Матрицы сопряжения B,C, D для представлений алгебры C(p,q) и свойства этих матриц | 567
|
| 6.3.2. Матрицы сопряжения B, C, D и структура групп Spin(p,q). Группа Spin(8) | 583
|
| 6.4. Дираковские, вейлевские и майорановские спиноры в пространствах Rp,q | 595
|
| 6.4.1. Спиноры в пространствах Rp,q и тензорные произведения спиноров | 595
|
| 6.4.2. Зарядовое сопряжение спиноров в пространствах Rp,q | 603
|
| 6.4.3. Алгебра C(1,N-1) и спинорная группа Spin(1,N-1). Спиноры в пространстве Минковского R1,N-1 | 610
|
| 6.4.4. Тождества Фирца для многомерных спиноров | 616
|
| Глава 7. Решения некоторых задач | 627
|
| 7.1. Задача 1.3.11 | 627
|
| 7.2. Задача 1.3.12 | 628
|
| 7.3. Задача 2.2.15 | 629
|
| 7.4. Задача 2.3.20 | 631
|
| 7.5. Задача 2.3.22 | 631
|
| 7.6. Задача 2.3.23 | 632
|
| 7.7. Задача 2.3.27 | 634
|
| 7.8. Задача 2.5.48 | 638
|
| 7.9. Задача 2.5.59 | 640
|
| 7.10. Задача 3.3.7 | 641
|
| 7.11. Задача 3.4.13 | 646
|
| 7.12. Задачи 4.3.6, 4.3.7 | 647
|
| 7.13. Задача 4.3.14 | 650
|
| 7.14. Задача 4.3.15 | 653
|
| 7.15. Задача 4.5.40 | 654
|
| 7.16. Задача 4.6.52 | 655
|
| 7.17. Задача 4.6.54 | 656
|
| 7.18. Задача 4.7.58 | 658
|
| 7.19. Задача 5.1.3 | 661
|
| 7.20. Задача 5.1.5 | 664
|
| 7.21. Задача 5.3.17 | 667
|
| 7.22. Задача 6.2.14 | 669
|
| 7.23. Задача 6.2.16 | 670
|
| 7.24. Задача 6.3.26 | 671
|
| 7.25. Задача 6.3.27 | 673
|
| 7.26. Задача 6.3.31 | 673
|
| 7.27. Задача 6.4.35 | 674
|
| 7.28. Задача 6.4.45 | 675
|
| Монографии и обзоры общего характера | 678
|
| Литература | 681
|
| Предметный указатель | 686
|
Исаев Алексей Петрович 
Рубаков Валерий Анатольевич 
