Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:
Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.

Вариационное исчисление: Задачи и примеры с подробными решениями URSS. 2020. 168 с. ISBN 978-5-397-07718-7.

Серия: Вся высшая математика в задачах

Типографская бумага

Твердый переплет

Аннотация

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам классического вариационного исчисления.

В начале каждого раздела приводится сводка основных теоретических положений, определений и формул, а также дается подробное решение свыше 100 примеров.

В книге содержится около 230 задач для самостоятельного решения. Все они снабжены ответами или указаниями к решению.

Пособие рассчитано на студентов дневных и вечерних... (Подробнее)

Оглавление

Предварительные замечания
1	Экстремум функций многих переменных
	1.	Безусловный экстремум
		1.	Достаточные условия строгого экстремума
		2.	Метод наискорейшего (градиентного) спуска
	2.	Условный экстремум
		1.	Определение
		2.	Метод множителей Лагранжа
2	Экстремум функционалов
	3.	Функционал. Вариация функционала и ее свойства
		1.	Определение функционала. Близость кривых
		2.	Непрерывность функционала
		3.	Вариация функционала
		4.	Второе определение вариации функционала
		5.	Вторая вариация функционала
		6.	Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума
	4.	Простейшая задача вариационного исчисления
		1.	Уравнение Эйлера
		2.	Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
		3.	Вариационные задачи в параметрической форме
	5.	Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
		1.	Функционалы, зависящие от производных высших порядков
		2.	Функционалы, зависящие от m функций
		3.	Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных
	6.	Инвариантность уравнения Эйлера
	7.	Поле экстремалей
		1.	Семейство однопараметрических кривых
		2.	Достаточное условие Якоби возможности включения экстремали в центральном поле экстремалей
		Аналитическая форма условия Якоби
		3.	Достаточные условия Лежандра
	8.	Достаточные условия экстремума функционала
		1.	Достаточные условия Вейерштрасса
		Достаточные условия слабого экстремума
		Достаточные условия сильного экстремума
		2.	Достаточные условия Лежандра
		3.	Фигуратриса
		4.	Достаточное условие минимума
	9.	Условный экстремум
		1.	Изопериметрическая задача
		2.	Задача Лагранжа при наличии связей
		3.	Геодезические линии
	10.	Вариационные задачи с подвижными границами
		1.	Простейшая задача с подвижными границами
		2.	Задача с подвижными границами
		3.	Геодезическое расстояние
	11.	Разрывные задачи. Односторонние вариации
		1.	Разрывные задачи первого рода
		2.	Разрывные задачи второго рода
		3.	Односторонние вариации
	12.	Теория Гамильтона–Якоби. Вариационные принципы механики
		1.	Каноническая (гамильтонова) форма уравнений Эйлера
		2.	Уравнение Гамильтона–Якоби. Теорема Якоби
		3.	Вариационные принципы механики
3	Прямые методы вариационного исчисления
	13.	Конечно-разностный метод Эйлера
	14.	Метод Ритца. Метод Канторовича
		1.	Метод Ритца
		2.	Метод Канторовича
	15.	Вариационные методы нахождения собственных значений и собственных функций
		1.	Задача Штурма–Лиувилля
		2.	Принцип Релея
Ответы и указания

Об авторах

Краснов Михаил Леонтьевич

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института (МЭИ). Был членом Редакционного совета МЭИ, работал в Совете по математическому образованию при Министерстве высшего образования СССР.

В область научных интересов М. Л. Краснова входили дифференциальные уравнения. Им были написаны научные статьи, посвященные уравнениям в частных производных и некоторым прикладным задачам. Вместе с А. И. Киселевым и Г. И. Макаренко он придумал и осуществил простую и в то же время гениальную идею — учить будущих инженеров сложным разделам высшей математики на рассмотрении подробных решений тщательно подобранных типовых примеров при минимальном изложении теории. В результате более чем тридцатилетней совместной работы ими были написаны ставшие классическими учебные пособия ("Векторный анализ", "Вариационное исчисление" и другие). Все эти книги многократно выходили в издательстве URSS, а также были переведены и изданы на испанском, португальском, английском, французском, японском, польском и других языках.

Макаренко Григорий Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1960 гг. работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института. В 1960–1978 гг. — старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне. В 1978–1989 гг. — профессор кафедры математики Московского государственного института путей сообщения. Область научных интересов: дифференциальные уравнения.

Киселев Александр Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР. В 1962–1996 гг. — доцент кафедры высшей математики Московского энергетического института. Область научных интересов: теория функций.

Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ: Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.

Аннотация

Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:
Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.