Предисловие 7
Часть I. Общие понятия нелинейной теории колебаний 9
Лекция 1. О предмете теории колебаний 11
Лекция 2. Нелинейные элементы и нелинейные характеристики 27
Лекция 3. Фундаментальные эффекты,к которым приводит нелинейность 41
3.1. Неизохронность 41
3.2. Ангармоничность колебаний и генерация гармоник 47
3.3. Комбинационные составляющие 53
3.4. Автоколебания 55
3.5. Бифуркации, мультистабильность и гистерезис 57
3.6. Динамический хаос 65
Часть II. Нелинейный осциллятор 69
Лекция 4. Нелинейный осциллятор как обобщеннаямодель теории колебаний 71
4.1. Механический осциллятор: частица в потенциальной яме 71
4.2. Фазовая плоскость 74
4.3. Период колебаний нелинейного осциллятора 75
4.4. Динамическая система общего вида на фазовой плоскости. Особые точки и их классификация 77
4.5. Численное решение дифференциальных уравнений 83
Лекция 5. Нелинейный осциллятор: фазовый портрет 87
5.1. Построение фазового портрета консервативного нелинейного осциллятора 87
5.2. Нелинейный осциллятор с диссипацией 95
Лекция 6. Нелинейный осциллятор: конкретные примеры 100
6.1. Маятник 100
6.2. Частица в лунке 103
6.3. Колебательный контур с нелинейной емкостью 109
6.4. Колебательный контур с нелинейной индуктивностью 111
Лекция 7. Осциллятор с нелинейностью синуса:аналитический подход к нелинейной задаче 113
7.1. Контакт Джозефсона 114
7.2. Задача о самоиндуцированной прозрачности 115
7.3. Аналогия Кирхгофа 117
7.4. Фазовая плоскость маятника 118
7.5. Колебательные движения 119
7.6. Движение по сепаратрисе 125
7.7. Ротационное движение 127
7.8. Спектр колебаний маятника 128
Лекция 8. Универсальные модели консервативных колебаний вблизи минимума гладкого потенциала:сцилляторы с квадратичной и кубической нелинейностью 133
8.1. Приведение уравнений к безразмерному виду 135
8.2. Осциллятор с квадратичной нелинейностью 138
8.3. Осциллятор с кубической нелинейностью (осциллятор Дуффинга) 144
8.4. Осциллятор с кубической нелинейностью — потенциал с двумя ямами 149
Лекция 9. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний 154
9.1. Разложение в ряд по параметру нелинейности. Осциллятор с квадратичной нелинейностью 154
9.2. Разложение по степеням параметра нелинейности. Осциллятор Дуффинга 158
9.3. Метод Линштедта—Пуанкаре 160
9.4. Метод многих масштабов 165
9.5. Метод Ван дер Поля 169
9.6. Метод Крылова—Боголюбова 174
Лекция 10. Осциллятор с сильной диссипацией. Быстрые и медленные движения 177
10.1. Фазовая плоскость осциллятора с сильной диссипацией 178
10.2. Приближенное решение методом разделения быстрых и медленных движений 179
Часть III. Автоколебания 185
Лекция 11. Примеры автоколебательных систем 187
11.1. Основные определения и понятия 187
11.2. Обобщенная схема радиотехнического генератора. Уравнение Ван дер Поля 189
11.3. Автогенератор на активном элементе с отрицательной дифференциальной проводимостью 194
11.4. Ламповый генератор Ван дер Поля 195
11.5. Химические колебания. Брюсселятор 198
Лекция 12. Уравнения Ван дер Поля и Рэлея. Бифуркация Андронова—Хопфа 202
12.1. Квазигармонические автоколебания. Бифуркация Андронова—Хопфа 202
12.2. Релаксационные автоколебания 209
12.3. Автоколебательная система с жестким возбуждением 211
Лекция 13. Метод точечных отображений 217
13.1. Понятие о точечных отображениях 217
13.2. Точечное отображение для генератора Ван дер Поля. Случай квазигармонических автоколебаний 223
13.3. Ламповый генератор со ступенчатой характеристикой 226
13.4. Системы под импульсным периодическим воздействием 231
Часть IV. Неавтономные системы 235
Лекция 14. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора 237
14.1. О моделях неавтономных систем, фазовом пространстве и стробоскопическом отображении 237
14.2. Нелинейный резонанс 243
14.3. Нелинейный резонанс в осцилляторе с диссипацией. Укороченные уравнения и резонансные кривые 246
14.4. Бифуркации при нелинейном резонансе 251
14.5. Нелинейный резонанс в численном эксперименте 258
Лекция 15. Сложная динамика и хаос при вынужденных колебаниях нелинейного осциллятора 265
15.1. Резонансы на гармониках и субгармониках 265
15.2. Резонансы на фазовом портрете в сечении Пуанкаре 267
15.3. Перекрытие резонансов и хаос в простых системах (модели стохастического ускорения Ферми) 274
15.4. Стандартное отображение 279
15.5. Хаос при вынужденных колебаниях диссипативного нелинейного осциллятора 282
Лекция 16. Параметрические колебания нелинейных систем 287
16.1. Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной системе 287
16.2. Нелинейный осциллятор с параметрическим возбуждением 291
Лекция 17. Параметрические генераторы электромагнитных колебаний 299
17.1. Pасстроечный механизм ограничения неустойчивости 303
17.2. Диссипативный механизм ограничения неустойчивости 307
17.3. Двухконтурный параметрический генератор.
Соотношения Мэнли—Роу 311
17.4. Резонансное взаимодействие связанных слабонелинейных осцилляторов 317
17.5. Оптические параметрические усилители и генераторы 321
Лекция 18. Автоколебательная система под внешним периодическим воздействием: cинхронизация 323
18.1. Осциллятор Ван дер Поля под периодическим внешним воздействием. Исходная модель и укороченное уравнение для медленной амплитуды 326
18.2. Приближение малых амплитуд воздействия и уравнение для фазы 328
18.3. Квазипериодическая динамика: режим биений 331
18.4. Бифуркации, сопровождающие возникновение синхронизации, на фазовой плоскости укороченного уравнения 335
18.5. Синхронизация осциллятора Ван дер Поля численный эксперимент 339
Список литературы 346
Предлагаемая читателю книга посвящена изложению на современ-ном уровне фундаментальных концепций нелинейной теории колеба-ний.
Первоначально базой для этой науки, основы которой были за-ложены в первой половине XX века, служили в основном механика, теория электричества, радиотехника. В последние годы она приобрела, по существу, новое лицо. Развитие таких дисциплин, как квантовая электроника, физика плазмы, физика твердого тела, астрофизика, физика атмосферы и океана, химическая кинетика, биофизика, существенно расширили область применения теории колебаний. Кардинальные изменения связаны также с появлением и широким распространением компьютеров, позволивших ставить и решать такие задачи, которые ранее были недоступными. Можно отметить далее, что центр интереса на новом этапе развития теории нелинейных колебаний сместился в сторону систем, способных демонстрировать сложное, в том числе хаотическое поведение.
Все сказанное с очевидностью требует переосмысления содер-жательной части учебного курса теории колебаний. Какие-то из разра-ботанных ранее приемов аналитического и графического исследования можно признать устаревшими и не излагать, по крайней мере, при начальном знакомстве с предметом. Другие должны быть сохранены, как существенная составная часть рабочего инструментария исследователя, «нелинейного мышления» и «колебательной интуиции». Существенный момент состоит в том, что владение предметом должно быть активным, базироваться не только на изучении теоретического материала, но и на решении задач.
Предлагаемая книга рассчитана на студентов и аспирантов широкого круга физико-математических и физико-технических специальностей вузов, а также на специалистов-исследователей, хотя в первую очередь она адресуется радиофизикам . Ее содержание примерно соответствует лекционному курсу «Нелинейные колебания», который в течение ряда лет читается авторами для студентов 2-го года обучения на факультете нелинейных процессов Саратовского национального исследовательского государственного университета. Данный курс является логическим продолжением кур-сов по линейной теории колебаний и волн и предшествует курсам по теории нелинейных волн, теории катастроф и бифуркаций, динамическому хаосу. Поэтому предполагается знакомство читателя с основами линейной теории колебаний, а также наличие у него необходимой математической подготовки. Тем не менее, авторы старались, чтобы изложение носило «замкнутый» характер и книгой можно было пользоваться независимо.
При написании книги использовались материалы исследова-ний, в том числе алгоритмы и программы, разработанные в лаборато-рии теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН и на факультете нелинейных процессов СГУ в ходе выполнения проектов, поддержанных грантами РФФИ (93-02-16619, 95-02-05818, 96-15-96921, 97-02-16414, 00-02-17509), Минобразования РФ (97-0-8.3-88), АФГИР (REC-006), ФЦП «Интеграция» (А0057).
Мы выражаем глубокую благодарность члену–корреспонденту РАН Д.И. Трубецкову, профессорам В.С. Анищенко, Б.П. Безручко, А.С. Пиковскому, всем коллегам, в том числе аспирантам и студентам факультета нелинейных процессов СГУ, общение с которыми способствовало формированию наших представлений о нелинейных колебаниях.
Кузнецов Александр Петрович
Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН. Область научных интересов — нелинейная динамика. Автор более 150 научных статей и 15 монографий и учебных пособий. Автор большого числа оригинальных задач по физике, теории катастроф, теории динамических систем, теории динамического хаоса.
Кузнецов Сергей Петрович
Доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, где руководит лабораторией теоретической нелинейной динамики. Окончил Саратовский государственный университет. Защитил диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1977) и доктора наук (1987) по специальности «радиофизика». Опубликовал свыше 200 научных статей по нелинейной динамике, радиофизике и электронике.
Рыскин Никита Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, заведующий кафедрой динамических систем СГУ на базе СФ ИРЭ РАН. Окончил Саратовский государственный университет (1991). Защитил кандидатскую (1996) и докторскую (2005) диссертации. Область научных интересов — нелинейная динамика распределенных систем, нелинейные волны и солитоны, вакуумная СВЧ электроника и микроэлектроника. Автор более 150 научных статей по указанным направлениям.
