Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей Изд. стереотип. (7, испр.)

Содержание

Предисловие

Инженер или будущий инженер изучают математику для того, в первую очередь, чтобы уметь ее применять. Однако применение математики основано на понятии математической модели, которому в общем втузовском курсе математики обычно почти не уделяют внимания. Построение и исследование математических моделей важны для почти всех специальных дисциплин и используют знания из них, поэтому ряд конкретных математических моделей подробно рассматривается в соответствующих курсах. Но имеются и общие соображения, которые могут оказаться небесполезными.

В этой небольшой книге мы приведем и проиллюстрируем некоторые общие положения, связанные с понятием математической модели. Соответствующие примеры также имеют общий характер; они элементарны и взяты, в основном, из физики, динамики и т.п. Методологической основой текста является книга [6], к которой мы отсылаем интересующегося читателя за дальнейшими обсуждениями; оттуда же взяты и некоторые конкретные соображения и примеры.

Люди начали пользоваться математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной науки – достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. И.Кеплер и особенно И.Ньютон, применив математику к задачам естествознания и практики, заложили основы современного представления о математических моделях. В дальнейшем развитии науки и техники область применения математических моделей все более расширялась, модели становились разнообразнее. Значительное усложнение математических моделей, потребность в существенном ускорении решения прикладных математических задач привели к необходимости появления принципиально новых вычислительных средств, и ЭВМ, проникшие сейчас в самые разнообразные области деятельности, были впервые созданы именно для "обслуживания" математических моделей. И сейчас роль ЭВМ при изучении и применении математики столь велика, что термин математическое моделирование часто применяется по отношению к области прикладной математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ.

Попытка сколько-нибудь подробно осветить все вопросы, связанные с понятием математической модели, привела бы к чрезмерному разбуханию книги. Поэтому я решил ограничить себя и рассмотреть только наиболее технически (не методически!) простые, но порой весьма существенные вопросы, связанные с самим написанием уравнений, их упрощением, выбором решения и т.п. Многолетняя практика преподавания во втузах, многочисленные контакты с инженерами показали мне, что эти вопросы, несмотря на их кажущуюся простоту, порой вызывают большие затруднения и нигде систематически не излагаются. Несмотря на указанное ограничение, в книге все время имеются в виду возможность, а зачастую и необходимость обращения к ЭВМ при применении математических моделей и обсуждаются некоторые возникающие при этом проблемы.

Наше изложение имеет характер неформального повествования. Думается, что это неизбежно, так как значительная часть излагаемого материала в принципе не допускает формализации. В связи с этим в книге всюду приводятся, как правило, лишь основные, неформальные соображения и схемы доказательств; более точные формулировки и полные доказательства читатель при необходимости может найти в математической литературе.

Книга предназначена, в основном, для студентов старших курсов и аспирантов втузов, а также для инженеров, сталкивающихся в своей деятельности с применением математики. Поэтому изложение опирается, как правило, на знание обычного втузовского курса математики. Некоторые математические вопросы, сейчас часто встречающиеся при построении математических моделей инженерных систем и порой недостаточно представленные во втузовских курсах математики, освещены в Добавлении к книге.

В заключение отмечу, что различные общие и особенно конкретные вопросы, связанные с понятием математической модели, можно найти во многих книгах, среди которых, не претендуя на полноту, укажу на [1, 8, 9, 11, 13, 15–17, 19, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 33, 35–40].

Выражаю благодарность А.М.Ильину, В.Б.Колмановскому и М.А.Красносельскому за полезные замечания.

Об авторе

Мышкис Анатолий Дмитриевич

Известный отечественный математик. Окон­чил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный ра­ботник высшей школы. Заслуженный соросовский профессор. Дей­ствительный член Академии нелинейных наук. Область научных интересов: дифференциальные уравнения (обыкновенные и с част­ными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. А. Д. Мышкис был официальным руководителем 36 защи­щенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. Был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций. Является автором и соавтором 17 книг, выдержавших более 40 изданий на 10 языках, 332 научных статей, 2 авторских свидетельств, 6 официально зарегистрированных рукописей, 67 методических публикаций, 304 информационных заметок, 13 статей в газетах и журнале; был редактором и переводчиком 16 книг.