Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа Изд. стереотип.

URSS. 2019. 224 с. ISBN 978-5-9710-6488-6.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (теория чисел)

Типографская бумага

Мягкая обложка

Аннотация

Теория трансцендентных чисел сформировалась как теория, имеющая свои специфические методы и достаточное количество уже решенных проблем, только в XX веке. Целью настоящей монографии, написанной известным отечественным математиком А.О.Гельфондом (1906–1968), является не только показать современное состояние теории трансцендентных чисел и изложить основные методы этой теории, но и дать представление об историческом ходе развития ее методов и о тех... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие
Глава I.	Приближение алгебраических иррациональностей
	§ 1.	Введение
	§ 2.	Вспомогательные леммы
	§ 3.	Основные теоремы
	§ 4.	Приложения основных теорем
Глава II.	Трансцендентность значений аналитических функций, ряды Тейлора которых имеют алгебраические коэффициенты
	§ 1.	Введение. Теоремы Эрмита и Линдемана
	§ 2.	Дальнейшее развитие идей Эрмита и Линдемана
	§ 3.	Вспомогательные предложения и определения
	§ 4.	Общая теорема об алгебраической независимости значений E-функций и следствия из нее
	§ 5.	Вопросы трансцендентности и алгебраической независимости в рациональном поле чисел, заданных бесконечными рядами или являющихся корнями алгебраических или трансцендентных уравнений
Глава III.	Арифметические свойства множества значений аналитической функции при аргументе, пробегающем точки алгебраического поля, и проблемы трансцендентности
	§ 1.	Целочисленность аналитических функций
	§ 2.	Проблема Эйлера–Гильберта
	§ 3.	Вопросы меры трансцендентности и дальнейшее развитие метода
	§ 4.	Формулировки основных теорем и вспомогательные предложения
	§ 5.	Доказательство основных теорем
Литература

Предисловие

Теория трансцендентных чисел сформировалась как теория, имеющая свои специфические методы и достаточное количество уже решенных проблем, только в XX веке. Отдельные постановки проблем этой теории существовали давно, и первая из них, насколько нам известно, принадлежит Л.Эйлеру. Проблема приближения алгебраических чисел рациональными дробями или, более общо, алгебраическими же числами также может быть отнесена к теории трансцендентных чисел, несмотря на то, что изучение приближения алгебраических чисел рациональными дробями стимулировалось проблемами теории диофантовых уравнений. Целью настоящей монографии является не только показать современное состояние теории трансцендентных чисел и изложить основные методы этой теории, но и дать представление об историческом ходе развития ее методов и о тех связях, которые существуют между этой теорией и другими проблемами теории чисел.

Так как доказательства основных теорем в теории трансцендентных чисел достаточно громоздки и опираются на большое количество вспомогательных предложений, то каждое такое доказательство предваряется кратким изложением его схемы, что должно, но нашему мнению, облегчить понимание основных черт соответствующего метода.

В монографию включены полностью мои статьи "Аппроксимация алгебраических иррациональностей и их логарифмов", "Об алгебраической независимости трансцендентных чисел некоторых классов" и использована статья "Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел".

Метод К.Зигеля в монографии изложен в том виде, в каком он дан К.Зигелем в книге "Трансцендентные числа", Принстон, 1949 г.

А.Гельфонд

Об авторе

Гельфонд Александр Осипович

Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В. В. Степанов и А. Я. Хинчин. С 1931 г. — профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, а с 1938 г. — заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.

Основные научные интересы А. О. Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А. О. Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А. О. Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.