Норден А.П.

Теория поверхностей. Изд. 2

Предисловие к первому изданию..................... б Глава I. Элементы теории кривых................ 7 1. Кривая линия и се уравнение.................. 7 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость........ 9 3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой . 11 4. Лемм» об ортонормзльноЯ тройке и формулы Серре — Френе . . 13 5. Винтовая линия н окружность.................. 14 Глава II. Элементы тензорной алгебры.............. 17 6. Аффинная система координат на плоскости........... 17 7. Скалярное произведение н ковариантные координаты....... 19 | 8. Косое произведение и дополнительный вектор.......... 21 9. Понятие тензора........................ 23 | 10. Основные действия тензорной алгебры............. 26 И. Симметричный тензор второй валентности............ 33 12. Свертывание тензоров...................... 37 Глава III. Поверхность н ее касательная плоскость....... 40 13. Поверхность и ее параметризация................ 40 14. Касательная прямая н касательная плоскость поверхности .... 44 15. Огибающая семейства поверхностей............... 46 16. Развертывающиеся поверхности................. 50 17. Развертывающиеся поверхности, связанные с пространственной кривой............................. 53 Глава IV. Первая квадратичная форма поверхности....... 58 18. Местная система координат н метрический тензор поверхности 58 19. Линейный -элемент и наложимость поверхностей......... 60 20. Угол между линиями на поверхности и конформное отображение 62 21, Семейство линий на поверхности. Ортогональные траектории и сети.............................. 64 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие .... 07 Глава V. Вторая квадратичная форма поверхности....... 70 S 23. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма....... 70 | 24. Теорема Менье......................... 72 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты...... 75 26. Классификация точек поверхности................ 76 27. Сопряженные направления и сети................ 82 28. Асимптотические линии ..................... 85 29. Линии кривизны......................... 87 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава VI. Поверхность вращения и ее обобщения........ 90 30. Поверхность вращения и ее изгибание.............. 90 31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения........ 92 32. Частные виды поверхности вращения.............. 94 33. Винтовые поверхности...................... 97 34. Резные поверхности....................... 99 35. Каналовые поверхности..................... 100 Глава VII. Линейчатые поверхности и прямолинейные конгру- энция ............................. 102 36. Линейный элемент и касательная плоскость линейчатой поверх- ностн.............................. 102 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые......... 103 % 38. Присоединенные точки и точки стрикцнн............. 105 39. Параметр распределения.................... 106 40. Асимптотические линии линейчатой поверхности......... 107 41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные квадратичные формы 109 42. Развертывающиеся и фокальные поверхности конгруэнции. ... 111 43. Нормальная конгруэнция.................... 113 Глава VIII. Векторные и тензорные поли на поверхности .... 114 44. Скалярное поле......................... 114 | 45. Ротация векторного поля.................... 115 46. Дивергенция векторного поля.................. 118 47. Лапласово пиле, гармонические функции и изотермические коор- динаты ............................. 119 48. Деривационные формулы Гаусса................ 123 49. Параллельное перенесение векторов............... 125 50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование......... 128 51. Ковариантная производная.................... 132 52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля..... 135 Глава IX. Геодезнческаи кривизна и геодезические линии ... 141 53. Геодезическая кривизна..................... 141 54. Геодезические линии...................... 143 55. Геодезическое поле....................... 145 56. Геодезически-изотермическое поле................ 148 57. Геодезически-биссекторное поле................. 149 58. Поверхность Лнувилля..................... 150 59. Геодезические линии поверхности вращения........... 154 60, Конгруэнция касательных к линиям геодезического поля..... 154 9 61. Поверхности Вейнгартена.................... 156 Глава X. Элементы теории сетей................. 159 62. Присоединенная точка векторного поля............. 159 63. Присоединенная прямая и чебышеиский вектор сети....... 161 64. Кодаццксиы сети........................ 163 65. Ортогональные сети....................... 164 | 66. Геодезические сети....................... 165 67. Чебышевская сеть....................... 166 Ь 68. Поверхность переноса..............•....... 168 69. Сети равных путей....................... 169 70. Изотропные направлении и изотропная сеть........... 171 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава XI. Отображение поверхностей............... 173 71. Общие свойства дифференцируемых соответствий........ 173 72. Конформное соответствие поверхностей............. 176 73. Конформное соответствие плоскостей.............. 179 74. Инверсия............................ 182 75, Стереографическая проекции.................. 186 76. Геодезическое соответствие................... 188 77. Сферическое отображение.................... 193 Глава XII. Полная кривизна как нннариаит внутренней геоме- трнн поверхности....................... 200 78. Теорема Гаусса......................... 200 79. Теорема Гаусса — Бонне.................... 204 80. Теорема Гаусся — Бонне для многосвизных областей и замкнутых поверхностей.......................... 206 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования..... . 209 82. Теорема Псгерсона....................... 211 83. Уравнение изгибания...................... 215 | 84. Полная кривизна поверхности вращения............. 217 Глава XIII. Поверхности постоянной кривизны.......... 219 85. Геодезически-изотермические поля на поверхности постоянной кривизны............................ 219 86. Линейный элемент поверхностен постоянной кривизны и нх нало- жимость ............................ 220 87. Геодезические линии и геодезические пучки на псевдосфере . . . 222 88. Внутренняя геометрия псевдосферы............... 229 89. Геодезические линии поверхностей постоянной кривизны..... 231 Глава XIV. Минимальные поверхности.............. 234 90. Поверхность наименьшей площади................ 234 91. Присоединенная поверхность.................. 235 | 92. Формулы Шварца................ . . . . 236 93, Сфернчсскс-е отображение и изгибание минимальных поверхностей 2А7 94. Формулы Вейерштрасса..................... 239 Глана XV. Триортогональные системы поверхностей....... 242 8 95- Криволинейные координаты в пространстве........... 242 96. Триоргогоиальная система поверхностей............. 245 | 97. Условия Лиме.......................... 248 98. Софокусные поверхности второго порядка............ 249 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго порядка............................ 252 Литература........................... 255 Алфавитный указатель.................... 256 У к а з а т е л ь обозначении................... 260