URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Клини С. Математическая логика: Пер. с англ.
Id: 24724
 
599 руб.

Математическая логика: Пер. с англ. Изд.2, стереот.

URSS. 2005. 480 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-01011-X. Букинист. Состояние: 5-. Блок текста: 5-. Обложка: 4+.

 Аннотация

Имя одного из крупнейших специалистов в области математической логики С. К. Клини знакомо читателю по русскому переводу его фундаментального труда "Введение в метаматематику" (Изд. 2. М.: УРСС, 2005), ставшего настольной книгой для всех, кто занимается математической логикой, рекурсивными функциями и основаниями математики. Настоящая книга представляет собой существенно усовершенствованный, расширенный и приближенный к нуждам университетского преподавания вариант "чисто логической" части этой всемирно известной монографии. Тщательно продуманные иллюстративные упражнения помогают читателю усвоить излагаемый материал.

Книга может быть использована как учебное пособие по курсу математической логики в университетах и пединститутах; таким образом, она адресована прежде всего преподавателям, аспирантам и студентам; может привлечь также внимание всех занимающихся или интересующихся математической логикой.


 Оглавление

Предисловие к русскому изданию
Предисловие

Часть I. Элементарная математическая логика

Глава I. Исчисление высказываний
 § 1.Лингвистические соображения; формулы
 § 2.Теория моделей; таблицы истинности, общезначимость
 § 3.Теория моделей; правило подстановки, совокупность общезначимых формул
 § 4.Теория моделей; импликация и эквивалентность
 § 5.Теория моделей; цепи эквивалентностей
 § 6.Теория моделей; двойственность
 § 7.Теория моделей; отношение следования
 § 8.Теория моделей; сокращенные таблицы истинности
 § 9.Теория доказательств; доказуемость и выводимость
 § 10.Теория доказательств; теорема о дедукции
 § 11.Теория доказательств; непротиворечивость, правила введения и удаления
 § 12.Теория доказательств; полнота
 § 13.Теория доказательств; употребление выводимых правил
 *§ 14.Применения к естественному языку; анализ рассуждений
 *§ 15.Применения к естественному языку; неполные рассуждения
Глава II. Исчисление предикатов
 § 16.Лингвистические соображения; формулы, свободные и связанные вхождения переменных
 § 17.Теория моделей; предметные области, общезначимость
 § 18.Теория моделей; основные результаты об общезначимости
 *§ 19.Теория моделей; дальнейшие результаты об общезначимости
 § 20.Теория моделей; следование
 § 21.Теория доказательств; доказуемость и выводимость
 § 22.Теория доказательств; теорема о дедукции
 § 23.Теория доказательств; непротиворечивость, правила введения и удаления
 § 24.Теория доказательств; замена, цепи эквивалентностей
 § 25.Теория доказательств; изменения кванторов, предваренная форма
 § 26.Применения к естественному языку; множества, аристотелевские категорические силлогизмы
 § 27.Применения к естественному языку; еще о переводе слов символами
Глава III. Исчисление предикатов с равенством
 *§ 28.Функции, термы
 *§ 29.Равенство
 *§ 30.Равенство как эквивалентность; экстенсиональность
 *§ 31.Описательные определения

Часть II. Математическая логика и основания математики

Глава IV. Основания математики
 § 32.Счетные множества
 § 33.Канторовский диагональный метод
 § 34.Абстрактные множества
 § 35.Парадоксы
 § 36.Математика аксиоматическая и математика интуитивная
 § 37.Формальные системы, метаматематика
 § 38.Формальная арифметика
 *§ 39.Некоторые другие формальные системы
Глава V. Вычислимость и разрешимость
 § 40.Разрешающие и вычислительные процедуры
 § 41.Машина Тьюринга, тезис Черча
 § 42.Теорема Черча (в терминах машин Тьюринга)
 § 43.Применения к формальной арифметике; неразрешимость (теорема Черча) и неполнота (теорема Геделя)
 § 44.Применения к формальной арифметике; доказательства непротиворечивости (вторая теорема Геделя)
 § 45.Применения к исчислению предикатов (Черч, Тьюринг)
 *§ 46.Степени неразрешимости (Пост), иерархии (Клини, Мостовский)
 *§ 47.Теоремы о неразрешимости и неполноте, использующие лишь простую непротиворечивость (Россер)
Глава VI. Исчисление предикатов (дополнительные разделы)
 § 48.Теорема Геделя о полноте; введение
 § 49.Теорема Геделя о полноте; основной результат
 § 50.Теорема Геделя о полноте для формальных систем генценовского типа; теорема Левенгейма -- Скулема
 § 51.Теорема Геделя о полноте для формальных систем гильбертовского типа
 § 52.Теорема Геделя о полноте и теорема Левенгейма-Скулема для исчисления предикатов с равенством
 § 53.Парадокс Скулема и нестандартные модели арифметики
 § 54.Теорема Генцена
 § 55.Перестановочность; теорема Эрбрана
 § 56.Интерполяционная теорема Крейга
 § 57.Теорема Бета об определимости; теорема Робинсона о непротиворечивости
Приложения. Г.Е.Минц
 Приложение 1. Нормализация доказательств
 Приложение 2. Функциональная форма. Теорема Эрбрана для непредваренных формул
Список литературы
Список теорем и лемм
Список постулатов
Символы и обозначения Авторский и предметный указатель

 Предисловие к русскому изданию

Имя автора этой книги не нуждается в рекомендации. На его "Введении в метаматематику" выросло не одно поколение специалистов по математической логике и основаниям математики. Отличия настоящей книги от классического "Введения" достаточно ясны из авторского предисловия. В двух словах они сводятся к тому, что перед нами теперь не руководство, претендующее (и не без оснований) на полноту освещения обширного комплекса проблем, а университетский учебник. С другой стороны, в этот учебник, несмотря на его скромный объем, попали многие вопросы, не нашедшие места в большой книге Клини (например, иерархия степеней неразрешимости, интерполяционная теорема, теоремы Бета и Робинсона).

Существенно и то, что характерный для "большого Клини" финитный, метаматематический, теоретико-доказательственный подход здесь часто заменяется теоретико-множественным, модельным. Как и во "Введении в метаматематику", автор тщательно различает конструктивные и неконструктивные доказательства. И все-таки трудно отделаться от ощущения, что в этой книге он охотно отдает предпочтение вторым. Считая излишним загромождать подобное издание ссылками и комментариями, мы предпочитали следовать автору, отсылая читателя в нужных случаях за разъяснениями к "Введению в метаматематику".

Исключение сделано лишь для теорем Генцена и Эрбрана. По разным причинам представляется желательным иметь метаматематические доказательства этих теорем, играющих вместе со своими обобщениями столь важную роль в современной теории доказательств. Этим доказательствам посвящены небольшие добавления редактора перевода.

При переводе мы, как правило, следовали при выборе терминологии русскому изданию "Введения в метаматематику", ставшему в известном смысле уже классическим. (В частности, мы сохранили закрепившееся написание фамилии автора, хотя сам он произносит ее "Клейни".) Для большей гибкости стиля и максимального согласования с появившейся с тех пор литературой мы позволили себе, впрочем, в некоторых случаях вводить равноправные синонимы ("схема аксиом" и "аксиомная схема", "таблица истинности" и "истинностная таблица" и т.п.).

Мы выражаем искреннюю признательность автору, любезно приславшему список опечаток и исправлений к английскому изданию (французский перевод, изданный в 1970 г., оказался практически калькой с английского и дополнительных изменений не вызвал), а также Р.И.Пименову и В.А.Лившицу за помощь при переводе.

Ю.А.Гастев, Г.Е.Минц

 Предисловие

Посвящается Нэнси

После выхода в свет моего "Введения в метаматематику" (1952), предназначенного для студентов старших курсов, я не собирался писать другую книгу. Но в силу различных обстоятельств мне пришлось размышлять о необходимости краткого изложения отдельных разделов "Введения", рассчитанного на более широкую аудиторию или на менее подготовленных читателей. Эти размышления привели меня к новым вариантам изложения, и благоприятный прием, который они встретили, в конечном счете и склонил меня к тому, чтобы подготовить теперешнюю книгу, рассчитанную на начинающих.

Во "Введении в метаматематику" (в дальнейшем цитируется как [ВМ]) изложение математической логики как таковой начиналось лишь с пятой главы (на основе некоторых определений, данных в гл.IV). Подготовленные студенты могут пройти вводный материал первых глав [ВМ] достаточно быстро. Но для менее подготовленных студентов или в условиях, когда на курс отведено меньше времени, трата времени на столь подробное введение является ненужной роскошью. И теперь я пришел к убеждению, что как с педагогической, так и с научной точек зрения более разумно с самого начала приступать непосредственно к изучению логики, даже если и не все мотивы и не все критерии выбора того или иного способа изложения выявлены заблаговременно. А соответствующее "введение" можно сделать и позже.

Исходя из этих соображений, я отвел часть 1 (гл.I--III) настоящей книги достаточно подробному, хотя и элементарному рассмотрению математической логики (узкому исчислению предикатов), что по существу соответствует материалу гл.V--VII и § 73 [ВМ]. Изложение здесь не исчерпывается каким-либо одним вариантом формулировки логической теории и приобретением должных навыков в этом направлении, что можно было бы сделать даже и на более элементарном уровне. Для работ современных логиков характерно весьма гибкое изложение материала, использующее различные формулировки одних и тех же идей, с переходами от одной формулировки к другой, более соответствующей конкретным целям данного момента. В соответствии со сказанным читатель в части I книги встретится сначала с более полным, нежели в [ВМ], изложением теории моделей (основанном на истинностных таблицах), затем с гильбертовской теорией доказательств (основанной на системах постулатов с правилом modus ponens) и, наконец, с теорией доказательств, пользующейся и производными правилами вывода. Эти производные правила по существу очень близки к правилам, принятым в генценовских системах натурального вывода, которыми я пользуюсь при преподавании логики начиная с 1936 г. (В гл.VI вводится четвертая формулировка логики в виде генценовских секвенциальных систем.)

Вторая часть книги задумана как дополнение к первой (в предположении, что та усвоена достаточно основательно) и как введение в некоторые новые идеи и более глубокие результаты логических исследований нашего времени. В части II изложение носит менее элементарный характер, чем в части I. В зависимости от времени, отводимого на курс, и степени подготовки аудитории часть II можно проходить в обзорном порядке или же более подробно. Я никогда не считал, что среднему студенту полезно пропускать весь трудный материал, полностью овладеть которым могут лишь самые сильные студенты. Все же мой опыт преподавания показывает, что если опускать более специальные параграфы, отмеченные звездочками, то в течение одного семестра удается пройти часть материала гл.VI.

Если говорить о содержании части II более конкретно, то гл.IV служит запоздалым "введением" (сокращенным вариантом гл.I--III [ВМ]) и содержит также введение и в общий очерк формальной арифметики (гл.IV и VIII [ВМ]). Глава V содержит обзор знаменитых результатов Геделя, Черча и др., касающихся неполноты и неразрешимости; изложение ведется в терминах машин Тьюринга, зачастую без подробных доказательств. (Обзор этот касается основных результатов § 42 и части III [BM], но не касается подробностей развитой там теории.) Эти главы посвящены не столько чистой логике, сколько основаниям математики.

В гл.VI основное внимание вновь уделяется логике. Теорема Геделя о полноте и теорема Генцена (а также теоремы Левенгейма, Скулема, Эрбрана, Генкина, Бета, Крейга и А.Робинсона) доказываются здесь с помощью методов, получивших распространение лишь начиная с 1955 г. Имеются более компактные доказательства теоремы Геделя о полноте. Избранный здесь способ изложения основ предмета удобен, по-видимому, тем, что почти с самого начала ясно общее направление движения, а кроме того, можно надеяться, что, проявив достаточно терпения при рассмотрении деталей, мы в конце концов достигнем цели. Кроме того, такой подход позволяет быстро (хотя и неконструктивно) доказать теорему Генцена. (Глава эта соответствует части IV [ВМ], но сильно отличается от нее по общему подходу и отбору результатов.)

Прохождение всего материала гл.VI в. течение одного семестра может быть облегчено за счет того, что гл.IV и V полностью исключаются из курса, который, таким образом, минуя вопросы оснований математики, полностью сосредоточивается на проблемах логики. (Из материала гл.IV и V лишь очень немногое используется, затем в гл.VI, так что, опуская эти две главы, мы пожертвуем очень немногим из содержания последней главы.)

В книге довольно много упражнений, но они не покрывают всех рассматриваемых в ней вопросов (особенно это относится к части II).

Книга не предназначена быть пособием для решения задач. При ее чтении следует отказаться от психологии первокурсника, полагающего, что учебник только для того и нужен, чтобы помогать в решении упражнений. Для настоящего понимания духа предмета особенно важно овладение определениями.

Благодарю Х.Уильяма Оливера и Эдварда Полса за предоставление мне записей моих лекций, которые читались в летних школах, организованных Национальным научным фондом, в Уильямстауне в 1956 г. и в Брунсвике в 1961 г. Лекции и конспекты в 1961 г. были переработаны, а в настоящей книге подверглись дальнейшей переработке и изложены значительно более подробно. При переработке были использованы предложения X. Джерома Кислера, Георга Крайзеля и Джулиуса Р.Вайнберга. Кислер на основе своего опыта преподавания по рукописи книги предложил дальнейшие усовершенствования, а также добавил в нее восемь упражнений. Вайнберг, Уильям У.Бун, Бартон Дребен и Ян ван Хейеноорт помогли мне в составлении библиографии. Дребен и ван Хейеноорт, кроме того, помогли оценить результаты Левенгейма, Скулема и Эрбрана более точно, нежели это обычно делается. В заключение благодарю Уильяма Э.Риттера, читавшего корректуру книги параллельно со мной и внесшего в нее ряд исправлений.

С.К.Клини
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце