Предисловие к "Лекциям" |
Предисловие к тому |
1 | Аналитическая геометрия |
| 1.1. | Координаты и векторы |
| 1.2. | Описание геометрических объектов |
| 1.3. | Векторное произведение |
| 1.4. | Определители |
| 1.5. | Матрицы и преобразования |
| 1.6. | Прямые и плоскости |
| 1.7. | Геометрические задачи |
| 1.8. | Кривые и поверхности второго порядка |
| | Эллипс |
| | Гипербола |
2 | Векторы и матрицы |
| 2.1. | Примеры линейных задач |
| 2.2. | Векторы |
| 2.3. | Распознавание образов |
| 2.4. | Линейные отображения и матрицы |
| 2.5. | Прямоугольные и клеточные матрицы |
| 2.6. | Два примера |
| 2.7. | Элементарные преобразования |
| 2.8. | Теория определителей |
| 2.9. | Системы уравнений |
| 2.10. | Задачи и дополнения |
3 | Линейные преобразования |
| 3.1. | Замена координат |
| 3.2. | Собственные значения и комплексные пространства |
| 3.3. | Собственные векторы |
| 3.4. | Эскиз спектральной теории |
| 3.5. | Линейные пространства |
| 3.6. | Манипуляции с подпространствами |
| 3.7. | Задачи и дополнения |
4 | Квадратичные формы |
| 4.1. | Квадратичные формы |
| 4.2. | Положительная определенность |
| 4.3. | Инерция и сигнатура |
| 4.4. | Условный экстремум |
| 4.5. | Сингулярные числа |
| 4.6. | Биортогональные базисы |
| 4.7. | Сопряженное пространство |
| 4.8. | Преобразования и тензоры |
| 4.9. | Задачи и дополнения |
5 | Канонические представления |
| 5.1. | Унитарные матрицы |
| 5.2. | Триангуляция Шура |
| 5.3. | Жордановы формы |
| 5.4. | Аннулирующий многочлен |
| 5.5. | Корневые подпространства |
| 5.6. | Теорема Гамильтона--Кэли |
| 5.7. | lambda-матрицы |
| 5.8. | Задачи и дополнения |
6 | Функции от матриц |
| 6.1. | Матричные ряды |
| 6.2. | Нормы векторов и матриц |
| 6.3. | Спектральный радиус |
| 6.4. | Сходимость итераций |
| 6.5. | Функции как ряды |
| 6.6. | Матричная экспонента |
| 6.7. | Конечные алгоритмы |
| 6.8. | Задачи и дополнения |
7 | Матричные уравнения |
| 7.1. | Типичные задачи |
| 7.2. | Кронекерово произведение |
| 7.3. | Уравнения |
8 | Неравенства |
| 8.1. | Теоремы об альтернативах |
| 8.2. | Выпуклые множества и конусы |
| 8.3. | Теоремы о пересечениях |
| 8.4. | P-матрицы |
| 8.5. | Линейное программирование |
| 8.6. | Задачи и дополнения |
9 | Положительные матрицы |
| 9.1. | Полуупорядоченность и монотонность |
| 9.2. | Теорема Перрона |
| 9.3. | Неразложимость |
| 9.4. | Положительная обратимость |
| 9.5. | Оператор сдвига и устойчивость |
| 9.6. | Импримитивность |
| 9.7. | Стохастические матрицы |
| 9.8. | Конус положительно определенных матриц |
| 9.9. | Задачи и дополнения |
10 | Численные методы |
| 10.1. | Предмет изучения |
| 10.2. | Ошибки счета и обусловленность |
| 10.3. | Оценки сверху и по вероятности |
| 10.4. | Возмущения спектра |
| 10.5. | Итерационные методы |
| 10.6. | Вычисление собственных значений |
11 | Сводка основных определений и результатов |
| 11.1. | Аналитическая геометрия |
| 11.2. | Векторы и матрицы |
| 11.3. | Линейные преобразования |
| 11.4. | Квадратичные формы |
| 11.5. | Канонические представления |
| 11.6. | Функции от матриц |
| 11.7. | Неравенства |
| 11.8. | Положительные матрицы |
Обозначения |
Литература |
Предметный указатель |
Самолеты позволяют летать, но добираться
до аэропорта приходится самому.
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы по крайней мере четыре ингредиента:
1) живой учитель;
2) обыкновенный подробный учебник;
3) рядовой задачник;
4) учебник, освобожденный от рутины,
но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".
До четвертого пункта у системы образования руки не доходили.
Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций
обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись,
и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая
результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог
объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе
задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая
идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20
томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью
математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит
наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид,
обнаженные конструкции доказательств -- такого сорта книги
удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой
категории тратят массу сил и времени на освоение математических
секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же
ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая
быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих
"короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают
движение любыми другими путями.
В вопросе "на кого рассчитано" -- есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит
"на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации
кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается
предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения
инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что
изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых
секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто
готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему -- надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая
суть, -- но по-другому.
Дом строят месяц, сдают под ключ -- год.
Если что и дает ясное представление о высшей математике, так это
линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко
и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся
не в туманной дали, а совсем рядом.
Для освоения, разумеется, нужна еще определенная составляющая
у вектора жизненных интересов. Некоторая готовность к трудностям и,
конечно, время. Вы представьте, что переехали жить в другой город.
День-другой побродили по главным улицам. Взглянули на панораму
с какой-нибудь вышки. Разве этого достаточно -- для знакомства?
Чтобы узнать город, надо исходить его пешком. Много раз, вдоль
и поперек, и в дождь, и в снег. И в хорошем, и в плохом настроении.
Сжиться с людьми, побегать по магазинам, поездить на трамвае -- и по делу, и просто так. И тогда лишь, в тысячный раз выходя
из дома, вы увидите вдруг -- знакомый город.
О загадке бестселлеров В.Босса
Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом
еще раз, чтобы разобраться,
в чем дело, но скрытых пружин так
и не нашел. Конечно, великолепный
подбор миниатюр, точный язык,
мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое
не объясняет результат даже наполовину.
Сын моего приятеля -- парню
14 лет -- выучил "Интуицию" почти
наизусть. Измучил родителей вопросами,
прочел гору дополнительной
литературы. Понятно -- особый
случай, но показательный! В целом
ситуация, безусловно, мягче. Однако
отзывы все положительные,
а процент восторженных -- удивителен
и необъясним.
"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто
из моих коллег принял их в штыки,
поскольку система образования,
естественно, противится нововведениям.
Лишняя головная боль для
преподавателя. Тем не менее, в результате
итогового обсуждения -- первые
два тома "Лекций" пришли
к нам на отзыв -- В.Босс получил
высший бал.
Лично мне "Лекции" нравятся даже
больше, чем "Интуиция". Ясное
и продуманное изложение предмета.
Лаконичное до неправдоподобия,
но без ущерба для содержания.
Вот что по этому поводу пишет сам
автор: "Первая часть книги -- сжатый
курс матанализа. Чушь более
сотни страниц, но "все есть". Некоторые
детали, конечно, опускаются,
но это не потери, а приобретения.
Сбросив десяток лишних
килограмм, человек выглядит лучше,
живет интереснее. Так и здесь.
Многие подробности мешают видеть
суть. И освобождение от балласта,
как ни странно, позволяет
обсуждать принципиальные вопросы,
на которые в толстых учебниках
не хватает места".
Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно
принимают "Лекции".
В этом еще одна удивительная, хотя
и понятная особенность изложения.
Короткий и ясный взгляд на предмет,
обсуждение мотивов, общая
картина, -- нужны всем.
Наконец, я бы не писал в газету,
если бы речь шла просто о хороших
и даже очень хороших книгах.
"Лекции" В.Босса, на мой взгляд,
явление неординарное. Дело в том,
что информационная лавина сейчас
многое меняет. В результате,
сложившаяся система образования
подходит к критической точке. Конечно,
как в доме накапливаются
ненужные вещи, так и в образовании
со временем укореняется масса
атавизмов. Но хуже другое. То,
без чего вроде бы нельзя обойтись,
перестает помещаться в рамки. Поэтому
необходимы новые подходы
и принципы. "Лекции" обеспечивают
прорыв в этом направлении.
Профессор МФТИ А.П.Афанасьев
-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?
-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение.
Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.
-- Как?
-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему
"целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".
-- Объяснениями на пальцах?
-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.
-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?
-- Таблетку димедрола.
В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают
работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой
ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но
по-другому.
В.Босс
Чтобы усвоить предмет, надо освободить его от деталей, обнажить центральные
конструкции, понять, как до теорем можно было додуматься. Это тяжелая
работа, на которую не всегда хватает сил и времени. В "Лекциях" такая работа
проделывается автором.
Популярность книг В. Босса среди преподавателей легко объяснима. Дается то,
чего недостает. Общая картина, мотивация, взаимосвязи. И самое главное --
легкость вхождения в любую тему.
Содержание продумано и хорошо увязано. Громоздкие доказательства ужаты до
нескольких строчек. Виртуозное владение языком. Что касается замысла
изложить всю математику в 20 томах, с трудом верится, что это по силам
одному человеку.
Лекции В. Босса -- замечательные математические книги. Как учебные пособия,
они не всегда отвечают канонам преподавания, но студентам это почему-то
нравится.
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».