| Предисловие |
| ГЛАВА I. | ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИХ ИЗУЧЕНИЯ |
| | § 1. | Математические модели динамических систем |
| | | 1. | Математическая модель динамической системы, основанная на понятии состояния.
2. Функциональная модель динамической системы.
3. Сравнительное описание математических моделей динамических систем.
4. Управляемые динамические системы |
| | § 2. | Изучение движений динамической системы и структура разбиения фазового пространства на траектории |
| | | 1. | Общее понятие о структура фазового пространства динамической системы.
2. Установившиеся и переходные движения |
| | § 3. | Примеры математических моделей динамических систем |
| | | 1. | Мигалка с неоновой лампочкой.
2. Разрывные колебания тормозной колодки.
3. Центробежный фрикционный регулятор скорости вращения.
4. Регулятор прямого действия.
5. Двухпозиционный авторулевой с коррекцией по скорости.
6. Блуждающая частица
7. Эволюция популяции.
8. Автомат как динамическая система.
9. Математические модели уличного движения автотранспорта на перекрестке.
10. Перцептрон как динамическая модель процесса обучения |
| | § 4. | Зависимость движений динамической системы от параметров и теория бифуркаций. Гомоклинические структуры |
| | | 1. | Понятия бифуркации и грубости структуры динамической системы.
2. Бифуркации динамических систем второго порядка (ИЗ).
3. Бифуркации многомерных динамических систем.
4. Гомоклинические структуры.
5. Бифуркации, приводящие к образованию гомоклинических структур
6. Бифуркации в разрывных динамических системах |
| | § 5. | Примеры бифуркаций конкретных динамических систем. Математические модели нелинейных колебательных явлений |
| | | 1. | Физический маятник на вращающемся основании
2. Маятник на вращающейся оси. Роль теории бифуркаций при исследовании структуры разбиения фазового пространства.
3. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора.
4. Вынужденные колебания автоколебательной системы.
5. Математические модели нелинейных колебательных явлений |
| ГЛАВА II. | ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
| | § 1. | Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями |
| | | 1. | Динамические системы класса ДУ.
2. Кусочно-гладкие динамические системы.
3. Уравнения скользящих движений.
4. Продолжение описания движений кусочногладких динамических систем |
| | § 2. | Точечные отображения, порождаемые фазовыми траекториями динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями |
| | | 1. | Секущая поверхность.
2. Эквивалентность задач изучения структур динамической системы и соответствующего ей точечного отображения секущей поверхности.
3. Отображение сдвига.
4. Последовательности точечных отображений, порождаемые динамической системой, описываемой дифференциальными уравнениями.
5. Построение точечных отображений.
6. Линеаризованное отображение одной поверхности без контакта в другую.
7. Линеаризованное отображение одной поверхности без контакта в другую в случае автономной системы.
8. Применение метода малого параметра к приближенному отысканию точечного отображения |
| | § 3. | Точечные отображения, близкие к тождественным |
| | | 1. | Асимптотическое представление дифференциальными уравнениями точечного отображения, близкого к тождественному.
2. Приближенные асимптотические методы и метод точечных отображений.
3. Представление дифференциальными уравнениями точечного отображения в окрестности неподвижной точки |
| | § 4. | Примеры динамических систем и порождаемых ими точечных отображений |
| | | 1. | Релейные системы.
2. Релейные системы регулирования второго порядка.
3. Пример релейной системы третьего порядка со скользящим движением и отрезком равновесий.
4. Вибротранспортировка по наклонной плоскости.
5. Общее описание фазового пространства релейной системы произвольного порядка.
6. Уравнения периодических движений релейной системы и исследование их устойчивости.
7. Динамические системы с ударными взаимодействиями.
8. Модели часовых ходов с ударной идеализацией взаимодействия балансира и ходового механизма.
9. Виброударный механизм.
10. Электромагнитный прерыватель.
11. Динамические системы с ударными взаимодействиями и разрывные колебания.
12. Экстремальные регуляторы с автоколебательным и шаговым типами поиска |
| ГЛАВА III. | МЕТОД НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ |
| | § 1. | Принцип сжимающих отображений |
| | | 1. | Условие сжимаемости.
2. Принцип сжимающих отображений.
3. Примеры применения принципа сжимающих отображений.
4. О зависимости неподвижной точки сжимающего преобразования от параметра.
5. Применение принципа сжимающих отображений к доказательству теорем существования решений дифференциальных уравнений и их непрерывной зависимости и дифференцируемости по параметру.
6. Условия сжимаемости линейного отображения.
7. Условия локальной сжимаемости точечного отображения |
| | § 2. | Вспомогательные отображения и последовательности точечных отображений |
| | | 1. | Вспомогательные отображения.
2. Теоремы о вспомогательных отображениях.
3. Уточнение оценок сжимаемости вспомогательного отображения.
4. Сходящиеся процессы построения вспомогательного отображения
5. Критерии существования неподвижных точек.
6. О возмущении вспомогательного отображения и неподвижных точек.
7. Последовательности точечных отображений
8. Возмущение точечных последовательностей.
9. Последовательности точечных отображений (продолжение) |
| | § 3. | Критерии существования неподвижной точки, основанные на понятии индекса векторного поля |
| ГЛАВА IV. | ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ |
| | § 1. | Инвариантные многообразия точечного отображения |
| | | 1. | Условия существования и единственности асимптотически устойчивой инвариантной поверхности точечного отображения.
2. Условия существования седлового инвариантного многообразия точечного отображения.
3. Условия существования инвариантных поверхностей точечного отображения (продолжение).
4. Наглядная интерпретация условий существования и единственности инвариантных многообразий точечного отображения.
5. О возможности придания локального характера условиям теорем.
6. О гладкости инвариантных поверхностей гладкого точечного отображения.
7. О зависимости инвариантных поверхностей от параметра |
| | § 2. | Инвариантные многообразия динамических систем |
| | | 1. | Интегральные многообразия дифференциальных уравнений.
2. Инвариантные поверхности одного точечного отображения.
3. Об интегральных многообразиях одной системы дифференциальных уравнений.
4. Интегральные многообразия квазилинейных дифференциальных уравнений.
5. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений с быстро вращающейся фазой.
6. Интегральные многообразия системы слабо связанных гармонических осцилляторов.
7. Интегральные многообразия медленных движений |
| Литература |
Метод точечных отображений, ведущий свое начало
от А.Пуанкаре и Дж.Биркгофа, был
введен в теорию автоматического регулирования и теорию
нелинейных колебаний А.А.Андроновым. В 1944 г.
в докладе на сессии отделения физико-математических
наук АН СССР "Теория точечных преобразований Пуанкаре – Брауера – Биркгофа и теория нелинейных колебаний"
А.А.Андронов сформулировал основные общие
соображения по применению теории точечных отображений
к изучению конкретных нелинейных систем автоматического
регулирования и радиотехники. В это же
время А.А.Андронову совместно с А.Г.Майером
и Н.Н.Баутиным удалось полностью решить ряд основных
нелинейных задач теории автоматического регулирования,
среди которых была и классическая задача
И.А.Вышнеградского о регуляторе прямого действия
с сухим трением в чувствительном элементе.
В основе решения этих задач, послужившего прототипом
для многочисленных последующих работ, и изложения
метода точечных отображений во втором издании "Теории
колебаний" А.А.Андронова, А.А.Витта
и С.Э.Хайкина, написанного Н.А.Железцовым, лежала
кусочно-линейная аппроксимация нелинейностей, которая
делала возможным получение аналитических выражений
точечного преобразования в явном или параметрическом
виде. Это обстоятельство, вместе с отсутствием
регулярных методов изучения многомерных точечных
отображений, определило метод точечных отображений
как метод исследования кусочно-линейных систем небольшой
размерности. Следует подчеркнуть, что сам
А.А.Андронов смотрел на метод точечных преобразований
значительно шире, рассматривая кусочно-линейные
системы лишь как тип существенно нелинейных
систем, для которого прогресс в исследовании может быть
достигнут наиболее быстро. Эта точка зрения была отправной
и для автора настоящей книги, когда в начале
пятидесятых годов он направил свои усилия на разработку
метода точечных отображений применительно
к задачам теории нелинейных колебаний. Первые
результаты, полученные в этом направлении, были
подытожены в статьях и обзорном докладе.
Свежие и оригинальные работы С.Смейла
и широко развертываемые работы американских математиков,
как и статьи
Д.В.Аносова, В.И.Арнольда, Я.Г.Синая
и др., укрепили уверенность автора в правильности
выбранного направления. Последующие результаты исследований
автора нашли отражение в его обзорных докладах
на Втором Всесоюзном съезде по теоретической
и прикладной механике и международном симпозиуме
по теории нелинейных колебаний и ее приложениям.
Предлагаемая вниманию читателей книга, представляющая
первую часть задуманного автором изложения
метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний,
явилась, с одной стороны, следствием естественного
желания подвести некоторый итог, а с другой – стремлением в некоторой мере вернуть теории колебаний
позиции науки об общих закономерностях
динамических процессов, утраченные ею в результате
бурного роста новых направлений. Эти два стремления
слились воедино, поскольку именно в точечных отображениях
автор видит достаточно общее средство описания
и достаточно эффективный аппарат исследования.
Книга состоит из четырех глав. Первая глава
является общей и вводной. Остальные главы могут читаться
независимо друг от друга.
Главы разбиты на параграфы и пункты. Приведенный
в оглавлении перечень пунктов позволяет составить
достаточно полное представление о содержании книги.
Приводимая библиография не претендует на полноту.
В связи с этим статьи и книги, содержащие библиографические
данные, отмечены звездочкой.
Неймарк Юрий Исаакович Известный российский математик. Окончил Горьковский государственный университет в 1944 г. Доктор технических наук, почетный профессор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, почетный Соросовский профессор. Заслуженный деятель науки РФ, лауреат премий А. А. Андронова и Н. Винера; награжден орденом «Знак Почета», а также медалями К. Э. Циолковского и А. С. Попова за заслуги в развитии отечественной космонавтики и изобретательстве. Член Национального комитета России по теоретической и прикладной механике.
Ю. И. Неймарк — автор более 400 научных работ, в том числе 9 монографий, 4 из которых переведены на английский, польский и испанский языки; автор 20 изобретений.
