Капустина Т.О., Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Конспекты лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям Изд. стереотипное

URSS. 2019. 160 с. ISBN 978-5-9710-5963-9.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Аннотация

Краткий учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по направлениям «Математика», «Математика и компьютерные науки», «Механика и математическое моделирование», «Прикладная математика и информатика», «Фундаментальная информатика и информационные технологии» (квалификация «бакалавр»).

В учебнике читатель может найти как методы интегрирования простейших уравнений, так и геометрические интерпретации... (Подробнее)

Оглавление

Вместо предисловия........................... 6
План курса................................. 7
Лекция №1. О дифференциальных уравнениях...... 7
Лекция №2. Методы решения уравнений первого порядка.................... 14
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными . . 14
2.2. Однородные уравнения.............. 15
2.3. Линейные уравнения первого порядка ..... 16
2.4. Уравнение Бернулли................ 17
2.5. Уравнение Риккати ................ 18
2.6. Обобщенно-однородные уравнения........ 18
2.7. Уравнения в полных дифференциалах..... 18
Лекция №3. Некоторые сведения из теории функций . . 21
3.1. Липшицевость функций.............. 21
3.2. Леммы о неравенствах ............... 23
3.3. Принцип сжимающих отображений....... 26
Лекция №4. О существовании и единственности решений уравнений и систем .......... 28
Лекция №5. Непрерывная зависимость решений от параметров и начальных условий..... 32
5.1. Сведение задачи с параметрами в уравнении
и начальном условии к задаче с параметром
только в начальном условии ........... 33
5.2. Непрерывная зависимость решений от начальных условий ............... 33
Лекция №6. Дифференцирование решений по параметрам и начальным данным ..... 36
6.1. Дифференцирование по параметру....... 36
6.2. Дифференцирование по начальным данным . . 39
Лекция № 7. Продолжение решений............... 42
Лекция №8. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения......... 44
8.1. Общий взгляд.................... 44
8.2. Уравнение Клеро.................. 51
Лекция №9. Линейные системы первого порядка..... 53
9.1. Однородные системы ............... 54
9.2. Неоднородные системы.............. 57
Лекция №10. Линейные уравнения n-го порядка...... 59
10.1. Однородные линейные уравнения........ 60
10.2. Неоднородные уравнения............. 64
Лекция № 11. Качественная теория линейных уравнений
2-го порядка ...................... 66
Лекция № 12.Уравнение Ньютона................. 71
Лекция № 13.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами................... 74
13.1. Уравнения с комплексными коэффициентами . 74
13.2. Уравнения с действительными коэффициентами .................. 78
Лекция № 14. Системы уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами ........ 81
14.1. Однородные системы ............... 81
14.2. Экспонента матрицы................ 82
14.3. Неоднородные системы .............. 88
Лекция № 15. Фундаментальное решение.
Функция Грина .................... 90
15.1. Обобщенные функции и фундаментальное решение........... 90
15.2. Функция Грина краевой задачи......... 97
Лекция № 16.Динамическая система............... 99
16.1. Определение динамической системы ...... 99
16.2. Неподвижная точка динамической системы . . 101
Лекция № 17.Особые точки ..................... 102
17.1. Классификация особых точек .......... 102
17.2. Уравнение маятника ................ 110
Лекция № 18.Устойчивость ...................... 112
18.1. Определение устойчивости ............ 112
18.2. Устойчивость решений линейных систем . . . . 114
Лекция № 19.Функция Ляпунова ................. 116
Лекция № 20.Устойчивость по первому приближению . . 121
Лекция № 21. Предельные множества, предельные циклы .................. 124
Лекция № 22.Первые интегралы .................. 126
Лекция № 23.Уравнения с частными производными первого порядка .................... 130
23.1. Локальная теория................. 130
23.2. Обобщенная задача Коши............. 133
Лекция №24. Законы Кеплера.................... 134
24.1. Неодномерное уравнение Ньютона ........ 134
24.2. Уравнение движения в центральном векторном поле ................... 135
24.3. Второй закон Кеплера............... 137
24.4. Уравнение на r................... 138
24.5. Первый закон Кеплера .............. 139
24.6. Третий закон Кеплера............... 140
24.7. Напоследок ..................... 141
Лекция № 25.Выпрямление векторных полей ......... 142
25.1. Формулировка основной теоремы........ 142
25.2. Однопараметрическая группа диффеоморфизмов ................. 144
25.3. Фазовые потоки и дифференциальные уравнения ......... 145
25.4. Локальные фазовые потоки ............ 147
25.5. Пример: уравнение сверхбыстрого размножения ........... 147
25.6. Доказательство теоремы 33 ............ 149
25.7. Примеры, задачи .................. 151

Вместо предисловия

В работе над настоящим изданием учебника принимали участие студенты Казахстанского филиала Московского Государственного университета имени М. В. Ломоносова, обучавшиеся на втором курсе в 2010/2011 учебном году, авторы учебника выражают благодарность Данилу Закирову и Эльдару Кощегулову (группа ММ-21) за набор текста в LаТЕХ'е и Дамиру Ажибаеву, Райымбеку Капишеву, Ельнару Наурызбаеву, Евгении Хуснутдиновой (группа ММ-21) — за помощь в изготовлении рисунков; студенты Бакинского филиала МГУ имени М.В.Ломоносова, обучавшиеся на втором курсе в 2011/2012 учебном году, авторы благодарны Лале Гулузаде и Сабине Фаталиевой (группа 210 Математического факультета) за набор текста в LaTEXe и Фариду Азаеву (группа 210 Математического факультета) — за помощь в изготовлении рисунков, а также — студенты второго курса ЕН факультета филиала МГУ имени М. В. Ломоносова в городе Душанбе, обучавшиеся в 2011/2012 учебном году, Давлатов Шохрух, Шосафоев Шосафо и Ятимова Дилрабо, авторы признательны им за помощь.

Авторы выражают искреннюю признательность доценту кафедры дифференциальных уравнений Горицкому Андрею Юрьевичу за на- писание последних двух лекций о законах Кеплера и выпрямлении векторных полей.

Данный учебник написан в виде конспекта лекций, читанных в Казахстанском, Бакинском филиалах МГУ имени М. В. Ломоносова и в филиале МГУ имени М. В. Ломоносова в городе Душанбе на протяжении ряда лет. Учебник покрывает все темы курса, утвержденные программой.

В конце книги мы приводим список дополнительных учебников по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Москва, 2018

Об авторах

Капустина Татьяна Олеговна

Окончила факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова по кафедре математической физики. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор около 30 научных работ и 2 учебников, выдержавших несколько переизданий. Специалист в области дифференциальных уравнений и асимптотических методов. Член организационных комитетов и активный участник международных конференций.

Чечкин Григорий Александрович

Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор около 270 научных работ, включая 10 монографий и учебников. Специалист в области дифференциальных уравнений и теории усреднения. Имеет 9 аспирантов, 6 из которых защитили кандидатские диссертации, 7 защитившихся магистрантов, 70 защитившихся дипломников (специалистов и бакалавров). Участник многих международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Руководитель и исполнитель различных научных грантов, руководитель известного семинара по математической физике в МГУ имени М. В. Ломоносова, обладатель премий за выдающиеся научные результаты.

Чечкина Татьяна Петровна

Окончила механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова по кафедре теории вероятностей. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИЯУ «МИФИ». Имеет около 40 научных работ и один учебник. Участник международных конференций. Талантливый педагог и незаурядный математик. Специалист в области дифференциальных уравнений, теории вероятностей, стохастического усреднения.