Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости Изд. 2

Содержание

От автора

Работа над этой книгой проводилась под руководством ныне покойной профессора С.А.Яновской. С глубокой признательностью автор вспоминает помощь Софьи Александровны, оказавшей существенное влияние и на замысел данного труда в целом, и на важнейшие методологические идеи, реализованные в нем. Многим он считает себя обязанным также прослушанным им лекционным курсам профессоров и преподавателей кафедры математической логики механико-математического факультета – Андрея Андреевича Маркова, Николая Макарьевича Нагорного, Владимира Андреевича Успенского и Александра Владимировича Кузнецова. А.В.Кузнецов оказал большую помощь автору своими полезными рекомендациями. Автор искренне благодарит также доцента кафедры логики философского факультета Евгения Казимировича Войшвилло, чьи советы оказали заметное влияние на работу автора над данной проблематикой.

Автор с благодарностью вспоминает внимание к его рукописи, проявленное руководством секции философских вопросов кибернетики Научного совета по кибернетике и Научного совета по философским проблемам современного естествознания при Президиуме АН СССР (председатель секции – доктор философских наук Л.Г.Спиркин), рекомендовавшей ее к печати. Автор благодарит Ю.А.Гастева за многочисленные предложения в процессе редактирования книги, Б.В.Бирюкова и Н.М.Нагорного – за ряд ценных советов, способствовавших ее улучшению.

Автор будет благодарен всем специалистам, которые не сочтут для себя за труд сообщить ему о замеченных ими недостатках.

Из введения. Абстракции осуществимости и кибернетика

Логический анализ абстракций осуществимости и бесконечности издавна являлся неотъемлемой частью философского и логического обоснования математики. В настоящее время им все более и более интересуются науки, в которых математические модели приобретают весьма существенное значение. Особое значение этот анализ приобретает для кибернетики, в которой настолько переплетено использование математических и технических моделей, что это нередко ведет к различного рода недоразумениям.

Основной задачей логического анализа является разрешение логических трудностей, возникающих в процессе использования абстракций осуществимости и бесконечности. Следует заметить, что логический анализ всегда находился и находится во взаимосвязи с философским анализом этих абстракций. Последний обращает особое внимание на гносеологические аспекты логических трудностей.

С философской точки зрения различные понятия об осуществимости абстрактных объектов выступают как различные смыслы категории возможного применительно к идеализированным абстрактным объектам (по поводу понятий "абстракция", "абстрактный объект", "идеализация" см., например, [4]).

В настоящее время многие науки требуют довольно четкого выяснения смысла терминов "возможное" и "невозможное ". Одним из методов уточнения смысла этих терминов является такое описание их содержания, которое бы раскрывалось через более или менее уточненные понятия осуществимости. Можно, например, сколько угодно дискутировать о "возможном" и "невозможном" в кибернетике и фактически нисколько не продвинуться в решении вопроса, если прежде всего не уточнить, что такое "возможное" (или осуществимое) и что такое "невозможное" (или неосуществимое) применительно к тем или иным объектам, в том числе и абстрактным объектам. Когда, например, кибернетика говорит об осуществимости (или возможности) моделирования тех или иных функций (функций жизни, мышления, функций экономических, социальных и т.п. систем), то следует очень внимательно относиться к тому, в каком смысле понимается термин "осуществимость" (или "возможность ").

В предлагаемой читателю книге рассматриваются три понятия осуществимости. Этими понятиями являются абстракции "абсолютной", "потенциальной" и "фактической" осуществимости.

Обратим внимание читателя на то, что все три выше перечисленные понятия идеализированно отображают реальную физическую осуществимость, отвлекаются от каких-то факторов реальной осуществимости, идеализируют другие факторы, вводят определенные упрощения и огрубления. Поэтому, если говорится об осуществимости на математической модели каких-либо функций мозга (например, описываемых с помощью "формальной нервной сети"), то отсюда еще не следует осуществимость этих функций на технической модели, предполагающей уже некоторый вид реальной (физической) осуществимости. Этот вид реальной осуществимости, конечно, будет отличен от реальной осуществимости, основанной на таком физическом субстрате, каким является мозг; здесь возникают свои специфические проблемы, которых мы касаться не будем (они достаточно подробно обсуждаются в сборнике "Кибернетика, мышление, жизнь", М., изд-во "Мысль", 1964).

В нашу задачу входит рассмотрение тех абстракций осуществимости, которые связаны с математическим моделированием, а также рассмотрение их отношения к реальной (практической) осуществимости. С этой точки зрения может показаться странным термин "фактическая" осуществимость, который, как мы сказали, вовсе не означает реальную осуществимость. По этому поводу можно сказать лишь то, что этот термин уже встречался в некоторых работах, а более удачного термина нам подобрать не удалось.

Математические модели в кибернетике имеют весьма существенное значение. При их построении вполне естественно стремление использовать по возможности более слабые абстракции осуществимости, которые не столь далеко отстоят от реальной осуществимости, как это имеет место по отношению к сильным абстракциям осуществимости.

Наиболее сильной в этом смысле из рассматриваемых абстракций осуществимости является абстракция "абсолютной" осуществимости. Такое название, опять-таки освященное литературной традицией, связано с тем, что в этой абстракции идеализация осуществимости доведена, пожалуй, до крайности, до "абсолюта".

Самой же слабой, в упомянутом нами смысле, абстракцией осуществимости является абстракция "фактической" осуществимости.

Было бы преждевременно утверждать, что для построения математических моделей (в том числе и кибернетических) абстракция "фактической" осуществимости нашла значительное применение. Однако работы в этом направлении ведутся как у нас, так и за рубежом. Примером использования этой абстракции в области теоретической кибернетики служит работа В.А.Козмидиади [21].

Наибольшее применение, в частности в кибернетике, находит абстракция потенциальной осуществимости. Так, эта абстракция лежит в основаниях таких теорий, как теория алгорифмов, теория абстрактных автоматов, теория булевых алгебр и т.п., составляющих теоретический фундамент кибернетики.

Одна из задач книги состоит в том, чтобы показать, что с абстракциями осуществимости очень тесно связаны абстракции бесконечности. В книге рассматриваются три рода абстракции бесконечности: 1) так называемая абстракция "актуальной" бесконечности, 2) абстракция "потенциальной " бесконечности и 3) абстракция "фактической" бесконечности, которые соответственно связаны с абстракциями "абсолютной", "потенциальной" и "фактической" осуществимости.

Опять-таки обратим внимание на то, что все эти абстракции предполагают такую идеализацию, которая делает возможным лишь весьма приблизительное соотношение этих абстракций с реальной действительностью. И если потенциально бесконечные процессы, моделью которых служит абстракция потенциальной бесконечности, еще более или менее интуитивно представимы, то интуитивно представить себе объекты, моделями которых служат абстракции "актуальной" бесконечности или "фактической" бесконечности, весьма и весьма трудно. Однако это обстоятельство не снижает теоретико-познавательного значения этих абстракций. Современной теории познания хорошо известно, что отсутствие наглядной или интуитивно доступной интерпретации некоторых абстракций какой-либо теории не является препятствием для развития этой теории и не только не снижает, но зачастую даже повышает ее познавательную ценность.

Например, имеются два представления о бесконечном множестве: как о множестве, имеющем истинное подмножество, эквивалентное всему множеству, и как о множестве, возникающем в результате доведения некоторого бесконечного процесса "до конца".

Научные теории пользуются в настоящее время первым из упомянутых пониманий бесконечного множества, отбрасывая второе как логически самопротиворечивое, хотя и более интуитивно доступное.

Второе из упомянутых пониманий бесконечного множества господствовало более двух с половиной тысяч лет (вплоть до разработки теории множеств Г.Кантором) именно благодаря своей интуитивной доступности, а также в результате того, что первое понимание шло вразрез с интуитивными представлениями и на этом основании казалось парадоксальным (достаточно вспомнить "парадокс" Галилея и многие другие "парадоксы", разрешением, которых занимался Б.Больцано [5]).

Еще более интуитивно малодоступной является абстракция "фактической" бесконечности-хотя бы потому, что к этому понятию мы мало привыкли, несмотря на то, что логически оно имеет такое же право на существование, как и другие понятия о бесконечном.

В самом деле, понятие актуально бесконечного множества вводится с помощью некоторого определения (как множества, содержащего эквивалентное себе истинное подмножество). Этим предложением можно пользоваться как постулатом некоторой теории при условии, что оно не вступает в противоречие с другими ее постулатами. Тогда та область, которая будет служить интерпретацией этой теории, и будет "актуально бесконечной" областью.

* * *

Научные теории могут быть основаны как на допущении абстракции потенциальной бесконечности (наиболее хорошо представимой интуитивно), так и на допущении абстракции "актуальной" и на абстракции "фактической" бесконечности. Эти последние абстракции достаточно трудно "согласовать" с интуицией, что порождает немало трудностей, преодоление которых входит в логическую проблематику абстракций бесконечности и осуществимости. Рассмотрению этой проблематики в книге отводится значительное место.

Надо сказать, что вопрос о целесообразности использования той или иной абстракции бесконечности, а также характер этого использования зависят от характера конкретных задач. Хорошо известно огромное множество задач, в которых даже конечные объекты (отрезки пути, промежутки времени и т.п.) целесообразно рассматривать как актуально бесконечные множества. Зато, например, в теории алгорифмов подобное рассмотрение объектов, изучаемых этой теорией, просто недопустимо. Однако и в теории алгорифмов используется абстракция бесконечности, а именно абстракция потенциальной бесконечности, причем она играет в этой теории весьма специфическую роль. В частности, эта абстракция используется в случае отрицательного ответа на вопрос о применимости алгорифма к некоторому слову: если применение алгорифма к слову ведет к потенциально бесконечному процессу, то данный алгорифм к данному слову неприменим.

Кибернетика изучает сложные динамические системы, т.е. системы, находящиеся в состоянии движения (изменения). Отсюда следует, что одной из важных гносеологических и логических проблем кибернетики является проблема отображения движения, в первую очередь отображения движения с помощью математических моделей.

Подобного рода задача встречает немало трудностей даже тогда, когда она касается сравнительно простой формы движения – механического движения макрообъектов. Причина этих трудностей заключается в том, что мы не можем отобразить движения, не огрубив, не упростив, не расчленив, не идеализировав реальный процесс движения. А специфика этого огрубления, упрощения, расчленения и идеализации в процессе построения математических моделей движения как раз и заключается в том, что она приводит к необходимости введения абстракций бесконечности.

В § 1 главы второй дается критическое рассмотрение современных взглядов на решение проблемы отображения движения, использующего различные абстракции бесконечности. Эти взгляды разделяются в основном представителями двух направлений, придерживающихся диаметрально противоположных точек зрения на допустимость абстракции актуальной бесконечности для отображения движения.

Представители одного из них (например, А.Грюнбаум) полагают, исходя из различных соображений, что абстракция актуальной бесконечности вполне пригодна для математического описания движения. Они даже полагают, что реальные пространство и время представляют бесконечные множества континуальной мощности, и считают, что их позиция дает решение всем трудностям отображения движения. Представители другого направления (например, Садео Шираиши) считают недопустимым описывать пространство и время с помощью абстракции актуальной бесконечности и предлагают свои, порой довольно оригинальные средства для описания этих объектов. Последнее особенно важно для теоретической кибернетики, так как она, как правило, исключает абстракцию актуальной бесконечности.

Представители каждого из указанных направлений считают, что только их способ описания движения позволяет абсолютно точно отобразить реальное движение и разрешить все трудности, связанные с этим отображением.

Нам представляется неправомерной уже сама претензия на абсолютно точное отображение движения, какие бы математические абстракции при этом ни использовались. Любые абстракции упрощают и огрубляют движение. Трудности отображения движения на самом деле всегда оказываются преодоленными не в абсолютном, а лишь в относительном смысле. Метафизический характер взглядов на отображение движения с помощью математических абстракций заключается не в том, что для этого отображения используются математические абстракции бесконечности, а в том, что подобные отображения рассматриваются как абсолютно точно описывающие движение и как полностью и окончательно преодолевающие все трудности, связанные с подобного рода отображением.

Несмотря на различие рассмотренных в книге концепций, касающихся проблемы преодоления трудностей математического отображения движения, эти концепции исходят из единого метода. Данный метод заключается в разрешении указанных трудностей на основе некоторой формализованной теории, которую представляют теорией, абсолютно точно отображающей действительность. Но, во-первых, такой теорией не является ни одна теория, ибо всякая теория идеализирует, упрощает, огрубляет, омертвляет действительное движение. Во-вторых, подобное разрешение данного рода трудностей фактически является отодвижением их в предпосылки (в исходные абстракции) той теории, с помощью которой эти трудности разрешаются. С последней теорией в свою очередь связаны всегда не меньшие трудности. В этом смысле неправомерно говорить и об "окончательном" разрешении трудностей отображения движения. Учитывая это, в § 2 гл.II предлагается иной метод подхода к разрешению трудностей отображения движения, использующего математические абстракции бесконечности.

Далее заметим, что всякая формальная теория, описывающая движение с помощью математических абстракций бесконечности и являющаяся логически непротиворечивой, по необходимости не описывает всех свойств движения. От некоторых из них она неизбежно вынуждена отвлекаться, так как их описание попросту выходит за пределы данной теории. Но именно это отвлечение и обеспечивает ее непротиворечивость! Противоречия возникают тогда, когда описание данных свойств производится на языке такой теории, которая в силу сущности принимаемых ею абстракций обязана отвлекаться от описания этих свойств. В нарушении этого требования как раз и лежит причина "непреодолимых трудностей" апорий, сформулированных Зеноном.

Однако свойства движения, не описываемые данной формализованной теорией, можно частично (но опять-таки не полностью) описать другой формализованной теорией или описать с помощью содержательных предложений, сформулированных на основе эмпирических данных.

Отображение движения представляет синтетическое знание о движении, которым являются как формальные теории, описывающие движение с помощью математических абстракций, так и содержательные теории, состоящие из эмпирических суждений. Никаких логических противоречий такое синтетическое отображение не содержит, ибо о логическом противоречии можно говорить лишь относительно данной формализованной теории, а синтетическое знание о движении не представляет одной формализованной теории. Аналогичная ситуация имеет место в науке о свойствах пространства – геометрии, которая представляет синтез многих формализованных теорий (даже и не совместных друг с другом) и их интерпретаций, но не является одной теорией. Говорить о непротиворечивости имеет смысл не по отношению к геометрии вообще, а, скажем, к геометрии Евклида или к геометрии Лобачевского и т.п. (известно, что две последние не совместны).

Таким образом, преодоление трудностей рассматриваемого нами отображения движения имеет относительный характер и осуществляется на основе диалектического синтеза самых различных теорий, каждая из которых сама по себе обязана быть логически непротиворечивой.