Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

В середине 50-х годов прошлого столетия в СССР была переведена работа К.Шеннона по теории информации. Декан радиофизического факультета Московского физико-технического института Габриэль Семенович Горелик, прочитав перевод, решил начать работу в этом направлении, для чего пригласил молодого математика Якова Исаевича Хургина, который привлек к занятиям наукой студентов. Стало очевидным, что основополагающий результат теории информации – представление сигнала отсчетами – интерпретируется с помощью теории аналитических функций. Ознакомившись с этими результатами, Г.С.Горелик заметил, что основное свойство аналитических функций – возможность аналитического продолжения за область задания – имеет прямое отношение к научно-технической проблеме восстановления входного воздействия по отклику регистрирующего устройства. Г.С.Горелик был хорошо знаком с возникшей в это время концепцией грубости колебательных систем и отстаивал ее расширенное толкование, согласно которому в любых технических расчетах необходимо учитывать погрешность регистрации физической величины. В результате были сформулированы две основные прикладные задачи, связанные с математическими исследованиями технических проблем – представление сигналов через дискретные отсчеты и аппроксимация сигнала с учетом принципа грубости или робастности. Для решения этих проблем была создана научная школа под руководством Я.И.Хургина. Основные результаты, полученные школой, были опубликованы в 1972 году в первом издании предлагаемой читателю монографии. Непосредственному приложению этих методов посвящены монографии Б.М.Минковича, В.П.Яковлева "Теория синтеза антенн" и Н.И.Пилипчук, В.П.Яковлева "Адаптивная импульсно-кодовая модуляция". В дальнейшем были рассмотрены многочисленные научно-технические приложения, в том числе проблемы финитного управления ускорителем, оценки протяженности финитного входа, найден алгоритм расчета характеристик космического прибора по самолетным данным и коррекции характеристики направленности спутниковой системы. Существенный вклад в обобщение и развитие этих идей внесли работы В.Ф.Кравченко и его учеников, в которых использованы современные методы восстановления сигналов по отсчетам и аппроксимации характеристик технических устройств на основе быстро убывающих базисных функций. В связи с расширенным внедрением цифровой техники и повышенным интересом к теории грубых (робастных) систем изложенные в предлагаемом втором издании монографии методы актуальны и в настоящее время. При переиздании были внесены незначительные изменения в список литературы – добавлены обзоры и монографии, в которых излагаются результаты, иллюстрирующие практические приложения.

Предисловие к первому изданию

Одним из фундаментальных результатов теории передачи информации (или общей теории связи) является теорема о выражении функции с ограниченным по протяженности (финитным) спектром через ее значения в периодической последовательности моментов отсчета. Иначе говоря, это теорема о возможности для передачи сигнала с финитным спектром в принципе использовать не все его значения, а лишь отдельные, периодически выбираемые значения, и при этом на приемном конце восстановить однозначно сигнал на всей оси времени.

Значение этого факта для вопросов передачи сообщений по электрическим каналам связи было впервые показано В.А.Котельниковым в 1933 г. в статье, давно ставшей библиографической редкостью, и через пятнадцать лет было вновь обнаружено К.Шенноном.

Приводимые в этих работах доказательства теоремы построены на искусственном приеме и не дают возможности выяснить причины, порождающие столь замечательный факт. Однако вскоре удалось понять: все дело в том, что функции с финитным спектром – это целые аналитические функции, и следовательно, формула Котельникова представляет собой одну из возможных интерполяционных формул, широко используемых в теории целых функций. Такой подход дал возможность не только найти естественное доказательство теоремы, но и значительно ее обобщить.

Одно соображение покойного проф. Г.С.Горелика, превосходно умевшего с единой точки зрения рассматривать различные физические факты, натолкнуло нас на мысль использовать методы теории целых функций в некоторых задачах оптики. Дальнейшая работа в этом направлении показала, что методы теории целых функций дают возможность исследовать многие вопросы теории линейных систем, в частности, позволяют решить или осмыслить ряд проблем в оптике и теории антенн. Изложению этого круга вопросов была посвящена наша монография), встретившая доброжелательный прием.

За истекшие 10 лет поток литературы по обсуждаемому кругу вопросов значительно увеличился, и привести его полностью мы не имеем возможности. Появились новые методы, позволившие существенно продвинуться в вопросах, относящихся к синтезу линейных систем и сигналов, и новые области применения методов теории финитных функций. Это и побудило нас взяться за новую книгу, в которую мы включили часть материала из предыдущей.

Гл.I, носящая вводный характер, подверглась малым изменениям. Здесь добавлен лишь параграф о голографии. В гл.II излагается используемый математический аппарат. Особого внимания заслуживает § 2.7, посвященный системам функций с двойной ортогональностью. Именно использование этого аппарата позволило совершенно по-новому изложить и соотношение неопределенности (§ 2.8), и теорию синтеза сигналов с финитным спектром и линейных приборов (гл.VII), и теорию восстановления входного воздействия по отклику прибора (гл.VIII), и, в частности, теорию разрешающей способности. Здесь всюду получены новые важные результаты.

В задачах синтеза и восстановления, кроме среднеквадратической метрики, удобной при работе с преобразованиями Фурье, рассмотрена важная для различных задач практики чебышевская (или равномерная) аппроксимация (гл.VII и VIII).

В упомянутой выше нашей книге большой раздел был посвящен теории синтеза антенн. Недавно вышла монография Б.М.Минковича и В.П.Яковлева), которая является развитием этого раздела. Поэтому мы не рассматриваем вопросы синтеза антенн и обращаемся к более общим проблемам синтеза сигналов и линейных систем.

Гл.III и IV, относящиеся к теореме Котельникова и ее обобщениям и вопросам аппроксимации функций с нефинитным спектром, хотя подверглись и незначительной переработке, но содержат ряд существенных уточнений.

Ранее мы совсем исключили из рассмотрения вопросы, относящиеся к вероятностной трактовке изучаемых вопросов. Теперь мы уделили этому подходу определенное внимание (гл.IV и V). Если рассмотрение аналитических случайных процессов, по существу, не вносит ничего нового по сравнению с детерминированным изучением, то задачи интерполяции случайного процесса по его выборкам, также содержащим случайные параметры, или задачи квантования по уровню нетривиальны.

А.Г.Бутковский, специалист по теории оптимального управления, ознакомившись с нашей предыдущей книгой, воспользовался результатами теории целых функций конечной степени для решения задач финитного управления. Совместные обсуждения проблематики и работа в этом направлении привели к решению ряда задач, которым посвящена гл.IX.

Последние годы с нами сотрудничал И.Ф.Красичков–Терновский, который работал как над вопросами теории систем функций с двойной ортогональностью, так и над проблемами финитного управления. Благодаря его усилиям нам удалось лучше и быстрее разобраться в ряде вопросов, и ему принадлежит ряд существенных результатов, которые мы здесь приводим.

С рукописью ознакомились рецензенты С.М.Рытов и М.А.Евграфов, и благодаря их замечаниям мы смогли избежать ряда погрешностей. Отдельные главы просмотрели и сделали полезные замечания Я.З.Цыпкин и В.И.Крюков. Всем им мы выражаем свою признательность.

Об авторах

Доктор физико-математических наук, профессор Государственного университета нефти и газа им. И.М.Губкина. Круг научных интересов: чистая и прикладная математика в ее конкретных приложениях – в радиотехнике и радиофизике, теории связи и кибернетике, нейрофизиологии и медицине, геологии, геофизике, гидромеханике, разработке нефтяных и газовых месторождений, нефтепереработке и нефтехимии, экономике и других областях науки и техники. Автор около 200 научных работ, более 20 книг.

Виталий Павлович ЯКОВЛЕВ

Доктор физико-математических наук, профессор. Известен в России и за рубежом своими работами по радиофизике, технике связи. Автор монографий "Теория синтеза антенн" (М., 1969; совм. с Б.М.Минковичем), "Адаптивная импульсно-кодовая модуляция" (М., 1986; совм. с Н.И.Пилипчук); цикла работ по распространению наносекундных импульсов, актуального в приложениях сейсмики и оптической связи. В его учебном пособии "Теория вероятностей и математическая статистика" дано адекватное определение вероятности, позволившее объяснить понятие независимости.