Гнеденко Б.В.★Ак, Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории НАДЕЖНОСТИ:
Основные характеристики надежности и их СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Изд. 3, стереотип.

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

С момента выхода первого издания прошло более 45 лет и за это время математические методы, используемые в расчетах надежности систем и материалов, стали существенно богаче. Аналитические методы пополнились достижениями теории случайных процессов и полей, теории точечных процессов и теории мартингалов. Асимптотические методы получили развитие в более естественных постановках асимптотических неравенств и одновременного изменения нескольких распределений, в том числе распределений продолжительности исправной работы и времен восстановления отказавших компонент систем. Асимптотические методы, связанные с выделением малого параметра и расчетом асимптотически малых вероятностей риска отказов систем, ведущих к большим экономическим потерям, также получили развитие. Многократно возросшие возможности вычислительной техники сопровождались развитием численных методов анализа надежности теоретических моделей проектируемых технических систем путем адекватного воспроизведения (simulation) их работы на вычислительных устройствах. Методы математической статистики, используемые в анализе времен безотказной работы, т.е. в теории выживания (survival analysis), существенно пополнились методами анализа разных типов моделей цензурированных данных. Наряду с аналитическими методами, связанными с анализом функций правдоподобия и апостериорных вероятностей, широкое применение находят методы статистического анализа эмпирических данных об отказах, использующие компьютерные интенсивные методы перемоделирования (resimulation), перевыборок (resampling), кросс-проверок (cross-validation) и т.п.

Однако многие проблемы, связанные с разработкой методов количественного расчета показателей надежности изделий и систем, еще ждут своего решения. Актуальным остается построение математических моделей прочности, износа и старения материалов (металлов и пластмасс), используемых в изделиях. В процессе разрушения частей механических систем происходит (случайное) перераспределение нагрузок. Так в тросах, сплетенных из отдельных струн, при разрыве одной или одновременно нескольких струн происходит локальное перераспределение общей нагрузки на струны, выдержавшие такое перераспределение. Рост трещин в металлических поверхностях также может происходить скачками и сопровождаться перераспределением нагрузок. Необходима разработка методов расчета показателей надежности механических конструкций и систем с перераспределением в них нагрузок, вызванных разрушением или частичным отказом их частей. Это важно и на этапе проектирования таких систем.

В системах с движущимися частями (турбины, моторы, подшипники и т.п.) отказу (разрушению части системы) может предшествовать изменение спектра шума и распределения температур. Оперативно регистрируемая информация об этих изменениях может быть использована в математических моделях диагностики и профилактики таких систем.

Большое практическое значение имеет нахождение методов перерасчета показателей надежности изделий, полученных в ускоренных испытаниях, на показатели надежности в условиях, соответствующих режимам реальной эксплуатации.

Еще раз подчеркну, что современные информационно-вычислительные средства дают возможность сбора и хранения громадных объемов информации и открывают новые возможности как поиска в собранных данных поясняющих переменных, связанных с предстоящим появлением отказов, так и исключения значений переменных, не имеющих отношения к надежности.

Естественным стимулирующим источником развития математических методов является разнообразие практических задач. Необходимость развития теории надежности для решения актуальных практически важных проблем является основой дальнейшего развития математических методов теории надежности.

Время неумолимо. Из трех авторов книги "Математические методы в теории надежности" два автора – Б.В.Гнеденко (01.01.1912–27.12.1995) и А.Д.Соловьев (06.09.1927–06.04.2001) – уже ушли из жизни. Узнав о возможности переиздания книги, я и Д.Б.Гнеденко (сын Б.В.Гнеденко) сочли полезным снабдить это переиздание кратким дополнением, частично отражающим развитие математической теории надежности в ряде направлений, связанных с результатами авторов и с направлениями, актуальными для практических приложений. В переиздаваемой книге исправлены опечатки, замеченные в издании 1965 года. Мы решили сохранить таблицы, завершавшие издание 1965 года, так как они использованы во многих примерах. Вместе с Д.Б.Гнеденко мы просили В.С.Королюка и И.Н.Коваленко, учеников Б.В.Гнеденко, а также В.А.Каштанова, ученика А.Д.Соловьева, подготовить краткие разделы дополнения к переизданию книги.

В дополнении И.Н.Коваленко дан краткий, но достаточно широкий обзор работ, связанных с расчетом вероятности отказов сложных высоконадежных систем с возможностью замены или восстановления отказавших элементов. Предполагается, что поток отказов элементов системы имеет малую интенсивность. Даны краткие пояснения к методу малого параметра, асимптотическим методам расчета распределения момента наступления отказа системы. Приведены примеры с использованием регенерирующих процессов и монотонных отказов.

В дополнении В.А.Каштанова дан обзор результатов А.Д.Соловьева и его учеников, полученных с использованием аналитических методов асимптотического анализа. Использование глубоких аналитических методов асимптотического анализа, новизна постановок задач и завершенность полученных результатов являлась отличительной чертой исследований А.Д.Соловьева, блестящего математика и замечательного человека. Дополнение В.А.Каштанова раскрывает значимость вклада А.Д.Соловьева в развитие асимптотических методов в теории надежности.

В дополнении В.С.Королюка рассмотрен метод фазового укрупнения состояний сложных систем в условиях асимптотически малой вероятности появления отказов. Приведены примеры систем, поведение которых на укрупненных состояниях асимптотически описывается эргодическими вложенными цепями Маркова.

В написанной мною части дополнения я решил в основном ограничиться примерами возможностей использования методов, ориентированных на интенсивные вычисления случайных перевыборок для оценки точности статистических выводов в двух (существенно различающихся) задачах анализа эмпирических данных:

[(а)] анализа результатов регрессионных экспериментов при наличии многих поясняющих переменных;

[(б)] анализа точности оценок максимального правдоподобия на основе данных с цензурированием и наличием поясняющих переменных.

Отмечу, что метод случайных перевыборок также применим для оценки точности неразрушающего контроля с использованием поясняющих переменных с использованием классификаторов, которые предназначены выделять изделия с повышенным риском ранних отказов. Детальное изложение метода перевыборок можно найти в работах, включенных в список литературы к этому дополнению.

Первое издание нашей книги сыграло определенную положительную роль в развитии математических методов теории надежности. Вышли зарубежные переводы этой книги на английском, немецком, японском, венгерском и румынском языках. Авторы неоднократно обсуждали планы подготовки второго издания книги. Однако интенсивная педагогическая деятельность (чтение лекций, руководство аспирантами, семинары), участие в исследовательских проектах, организационно-административная работа постоянно отвлекали нас от подготовки второго издания книги. Отмечу, что Б.В.Гнеденко в последние годы своей жизни успел подготовить в сотрудничестве с И.А.Ушаковым и И.В.Павловым две книги с инженерными методами расчета надежности.

Борис Владимирович Гнеденко (01.01.1912–27.12.1995)

Б.В.Гнеденко родился 1 января 1912 года в Симбирске (ныне Ульяновск).

В 1930 году окончил физико-математическое отделение педагогического факультета Саратовского университета. С сентября 1930 по август 1934 года работал ассистентом Текстильного института в Иванове. Здесь Борисом Владимировичем были написаны его первые работы по теории массового обслуживания, здесь он увлекся теорией вероятностей. Этот период деятельности сыграл огромную роль в его формировании как ученого и педагога.

В 1934 году поступил в аспирантуру механико-математического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова. Его учителями были А.Я.Хинчин и А.Н.Колмогоров. В июне 1937 года Б.В.Гнеденко защитил кандидатскую диссертацию на тему "О некоторых результатах по теории безгранично делимых распределений". С 1 сентября этого же года он младший научный сотрудник Института математики МГУ, с 1 сентября 1938 года – доцент кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Докторскую диссертацию "Предельные теоремы для независимых случайных величин" защитил 28 мая 1941 года. Диссертация состояла из двух частей: теории суммирования и теории максимального члена вариационного ряда. С 16 октября 1942 года по 20 августа 1945 года Б.В.Гнеденко – профессор механико-математического факультета МГУ.

В 1945 году Украинская Академия наук избирает Б.В.Гнеденко своим членом-корреспондентом. В этом же году он переезжает во Львов и работает в академических учреждениях и в университете; в 1948 году избирается академиком АН УССР.

Исследования по предельным теоремам были подытожены Б.В.Гнеденко в совместной с А.Н.Колмогоровым монографии "Предельные распределения для сумм независимых случайных величин" (1949). За эту книгу авторам в 1951 году была присуждена премия имени П.Л.Чебышева. Многократно прочитанный курс лекций по теории вероятностей послужил Борису Владимировичу основой для написания учебника "Курс теории вероятностей" (1949). Эта книга многократно издавалась в разных странах и является одним из основных учебников по теории вероятностей и в наши дни.

С 1950 года Б.В.Гнеденко работает в Киеве в Институте математики АН УССР и в университете (заведующий отделом теории вероятностей Института математики (1950–1960) и директор этого института (1955–1958), заведующий кафедрой теории вероятностей и алгебры КГУ, председатель бюро Отделения физико-математических и химических наук АН УССР).

Переехав в Киев, Б.В.Гнеденко обращается к новой проблематике, на этот раз относящейся к математической статистике (проверка однородности двух выборок). Этот цикл его работ получил мировое признание. В этот же период он начинает разрабатывать два направления прикладных научных исследований: теорию массового обслуживания и применение математических методов в медицине. Итогом работы по первому направлению стала монография "Введение в теорию массового обслуживания" (совместно с И.Н.Коваленко, 1966), а по второму – создание первого в мире электронного диагноста сердечных заболеваний (совместно с Н.М.Амосовым, Е.А.Шкабара и М.А.Куликовым, 1960). С 1955 года Борис Владимирович возглавил работу по организации Вычислительного центра АН УССР, руководил работами по созданию универсальной вычислительной машины "Киев" и специализированной машины для решения систем линейных алгебраических уравнений, написал (совместно с В.С.Королюком и Е.Л.Ющенко) первый в нашей стране (из вышедших в открытой печати) учебник по программированию (1961).

В 1960 году Б.В.Гнеденко возвращается в МГУ на должность профессора кафедры теории вероятностей механико-математического факультета, которой руководит с 1966 года до последних дней своей жизни.

В Москве Б.В.Гнеденко начинает заниматься теорией надежности, организует вместе с Я.М.Сориным, Ю.К.Беляевым, А.Д.Соловьевым, Я.Б.Шором и Л.Я.Шухгальтером Всесоюзный семинар по различным вопросам надежности при Политехническом музее, открывает семинар по математическим вопросам теории надежности на механико-математическом факультете. Совместно с Ю.К.Беляевым и А.Д.Соловьевым выпускает монографию "Математические методы в теории надежности" (1965). За цикл работ в области надежности Б.В.Гнеденко вместе с ближайшими сподвижниками был удостоен Государственной премии СССР (1979).

В связи с задачами надежности Борис Владимирович вновь вернулся к исследованию предельных теорем для сумм независимых случайных величин, но уже в случайном числе. За эти работы ему присуждается премия имени М.В.Ломоносова первой степени (1982) и премия Минвуза СССР (1986).

Б.В.Гнеденко был избран почетным доктором Берлинского университета имени Гумбольдта (1976), почетным доктором Афинского Экономического университета (1993), являлся членом Королевского Статистического общества (Великобритания), членом редколлегий ряда отечественных и зарубежных журналов.

С наиболее полным списком работ Б.В.Гнеденко можно ознакомиться в Интернете на страницах электронного журнала Reliability: Theory & Applications.

Александр Дмитриевич Соловьев (06.09.1927–06.04.2001)

А.Д.Соловьев родился 6 сентября 1927 года в Москве в семье врача. Учился на механико-математическом факультете Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова, который закончил в 1951 году. С механико-математическим факультетом в дальнейшем оказалась связана вся его творческая жизнь: учеба в аспирантуре и преподавание сначала на кафедре математического анализа в качестве ассистента и с 1958 года в качестве доцента, затем на кафедре теории вероятностей в качестве доцента, а с 1975 года в качестве профессора. Учителем А.Д.Соловьева был А.О.Гельфонд, под руководством которого была подготовлена и защищена в 1955 году кандидатская диссертация "Проблема моментов для целых аналитических функций". От Гельфонда А.Д.Соловьев унаследовал блестящую аналитическую технику и замечательное владение аппаратом математического анализа.

В начале 1960Нх годов под влиянием Б.В.Гнеденко Александр Дмитриевич заинтересовался проблемами, возникающими в теории массового обслуживания, и другими приложениями теории вероятностей. Вместе с Б.В.Гнеденко и Ю.К.Беляевым он начал разрабатывать идеи математической теории надежности, и в 1965 году они опубликовали книгу "Математические методы теории надежности", которая быстро завоевала мировую известность, была переведена на многие иностранные языки и переиздана за рубежом. Изложенные в ней, а также в ряде других работ результаты доставили Александру Дмитриевичу славу одного из создателей математической теории надежности. В 1972 году он защитил докторскую диссертацию на тему "Системы массового обслуживания с быстрым обслуживанием", в которой получены уникальные результаты и определено новое направление исследований – асимптотические методы в теории массового обслуживания и математической теории надежности.

В 1979 году за работы по созданию и внедрению комплекса методов обеспечения высокой надежности оборудования профессор А.Д.Соловьев вместе с группой коллег был удостоен Государственной премии СССР.

Великолепный педагог, А.Д.Соловьев много внимания уделял подготовке молодых специалистов. Под его руководством защитились более тридцати аспирантов, некоторые затем защитили докторские диссертации. Подготовленные им замечательные специалисты успешно работают в России, странах ближнего и дальнего зарубежья. Результаты некоторых из них получили международную известность и признание.

Лекции профессора А.Д.Соловьева по математическому анализу, асимптотическим методам, теории вероятностей и математической теории надежности для студентов механико-математического факультета и инженерной аудитории стали подлинной школой математического мастерства для ряда поколений исследователей, работающих как в теоретических, так и в прикладных областях.

Юрий Константинович Беляев

Ю.К.Беляев родился в 1932 году в Москве, в семье инженера-геодезиста и медсестры.

С 1951 по 1956 год Ю.К.Беляев – студент Отделения математики механико-математического факультета МГУ. С 1956 по 1959 год – аспирант Математического Института Академии Наук СССР (МИАН). В аспирантуре по теме, предложенной его научным руководителем А.Н.Колмогоровым, исследовал свойства траекторий гауссовских случайных процессов. По этой тематике в 1960 году защитил в МИАН кандидатскую диссертацию.

После защиты Ю.К.Беляев переходит на работу в МГУ им.М.В.Ломоносова. Начинается долгий период (до середины 1990Нх годов) научного сотрудничества с Б.В.Гнеденко и А.Д.Соловьевым в развитии теории надежности, статистических методов контроля качества, теории массового обслуживания, организации конференций и работы семинаров в МГУ. После создания Кабинета надежности при Политехническом музее Москвы Ю.К.Беляев читал там лекции по статистическим методам анализа данных испытаний на надежность. Совместная с Б.В.Гнеденко и А.Д.Соловьевым работа над книгой "Математические методы теории надежности" определила интерес к статистическим задачам теории надежности и статистического контроля качества. Часть лекций в Политехническом музее была опубликована в издательстве "Знание", а ряд результатов по статистическим методам контроля качества включены в книгу "Вероятностные методы выборочного контроля" (1975). В разработанном под руководством Ю.К.Беляева Государственном стандарте (ГОСТ 24660–81) реализованы исходные идеи А.Н.Колмогорова по построению планов приемочного контроля с учетом экономических показателей.

Параллельно с этой тематикой Ю.К.Беляев продолжает исследования в теории точечных процессов. В 1970 году в Институте прикладной математики (ИПМ) Академии наук СССР состоялась защита его диссертации на ученую степень доктора физико-математических наук. В этой диссертации исследованы случайные точечные процессы, порожденные случайными полями.

Ю.К.Беляев был заведующим отделом теории надежности и массового обслуживания Межфакультетской лаборатории статистических методов МГУ. Позднее этот отдел был преобразован в Лабораторию теории вероятностей при кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета МГУ. Ю.К.Беляев являлся членом редколегий ряда научных журналов, в том числе журналов "Техническая кибернетика" и "Statistics". Ю.К.Беляев – один из авторов книги "Вопросы математической теории надежности", изданной под руководством Б.В.Гнеденко (1983).

Стремительное развитие средств вычислений делает актуальным поиск новых подходов к решению задач оценки точности статистических выводов (распределений уклонений точечных оценок, классификаторов, в том числе kNN-классификаторов, выбора функции регрессии при наличии поясняющих переменных). Ю.К.Беляев дал теоретическое обоснование состоятельности вариантов интенсивного использования вычислений в решении ряда таких задач. Эта тематика была представлена в его пленарном докладе на Международной конференции по математическим методам теории надежности (MMRН2009), состоявшейся в июне 2009 года в Москве.

Ю.К.Беляев был приглашен для чтения лекций и исследовательской работы в университеты Берлина и Магдебурга (Германия), Софии (Болгария), Лунда и Умео (Швеция). Он являлся научным руководителем 30 аспирантов.

Ю.К.Беляев – лауреат Государственной премии СССР, член международных институтов International Statistical Institute (ISI) и Institute of Mathematical Statistics (IMS).

Об авторах

Гнеденко Борис Владимирович

Выдающийся ученый в области теории вероятностей и ее приложений. Академик АН Украины (1948). Лауреат Государственной премии СССР (1979). Мировую известность ему принесли исследования по теории суммирования независимых случайных величин, отраженные, в частности, в монографии «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» (1949, в соавт. с А. Н. Колмогоровым). Одним из первых среди отечественных ученых в середине 1930-х гг. начал развивать теорию массового обслуживания, притом в ее прикладном аспекте. Создал в Украине всемирно известную школу теории вероятностей и математической статистики, московскую школу теории массового обслуживания, оказал большое влияние на формирование теоретико-вероятностных школ во многих странах. С 1966 г. до конца своих дней бессменно руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Почетный член Royal Statistical Society (Великобритания), почетный доктор Берлинского университета им. Гумбольдта и Афинского университета.

Беляев Юрий Константинович

Доктор физико-математических наук, лауреат Государственной премии СССР. Учился на механико-математическом факультете МГУ и в аспирантуре Математического института АН СССР (МИАН) под руководством А. Н. Колмогорова. После 1960 г. до середины 1990-х гг. работал в МГУ, сотрудничал с Б. В. Гнеденко и А. Д. Соловьевым в развитии теории надежности, статистических методов контроля качества, теории массового обслуживания, организации конференций и работы семинаров в МГУ. Являлся заведующим отделом теории надежности и массового обслуживания Межфакультетской лаборатории статистических методов МГУ, членом редколлегий ряда научных журналов.

Соловьев Александр Дмитриевич

Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор МГУ, лауреат Государственной премии СССР. Учился на механико-математическом факультете МГУ; ученик выдающегося математика А. О. Гельфонда. Преподавал на кафедре математического анализа, а затем на кафедре теории вероятностей мехмата (с 1975 г. в качестве профессора). Вместе с Б. В. Гнеденко и Ю. К. Беляевым начал разрабатывать идеи математической теории надежности, и полученные результаты доставили ему славу одного из создателей этой теории. А. Д. Соловьев был широко известен и как педагог — результаты некоторых его учеников получили международную известность и признание.