|
|
|
| Введение |
| | § 1. | Понятие о диференциальном уравнении |
| | § 2. | Порядок и степень диференциального уравнения |
| | § 3. | Диференциальное уравнение как результат исключения произвольных постоянных |
| | § 4. | Общий, частный и особый интегралы диференциального уравнения |
| | § 5. | Интегральные кривые диференциального уравнения |
| | § 6. | Замечание об интегрировании диференциальных уравнений |
| Глава I. | Диференциальные уравнения первого порядка |
| | § 7. | Диференциальные уравнения с отделяющимися переменными |
| | § 8. | О полных диференциалах |
| | § 9. | Уравнения, левая часть которых есть полный диференциал |
| | § 10. | О методах интегрирования диференциальных уравнений первого порядка |
| | § 11. | Однородные уравнения |
| | § 12. | Линейные уравнения первого порядка |
| | § 13. | Интегрирующий множитель |
| | § 14. | Особые интегралы диференциальных уравнений первого порядка |
| Глава II. | Диференциальные уравнения второго и высших порядков |
| | § 15. | Диференциальные уравнения вида у(n) = f(х) |
| | § 16. | Гиперболические функции |
| | § 17. | Линейные диференциальные уравнения высших порядков |
| | § 18. | Однородные линейные диференциальные уравнения с постоянными коэфициентами |
| | § 19. | Неоднородные линейные диференциальные уравнения с постоянными коэфициентами |
| | § 20. | Способ вариации произвольных постоянных |
| | § 21. | Уравнение Эйлера |
| Глава III. | Эллиптические функции и функции Бесселя и связанные с ними задачи |
| | § 22. | Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби |
| | § 23. | Эллиптические функции Вейерштрасса |
| | § 24. | Функции дзета и сигма |
| | § 25. | Вычисление эллиптических функций |
| | § 26. | Интегрирование уравнений посредством степенных рядов |
| | § 27. | Гамма-функции |
| | § 28. | Уравнение Бесселя; функции Бесселя |
| Глава IV. | Интегрирование систем обыкновенных диференциальных уравнений |
| | § 29. | Общий ход решения задачи |
| | § 30. | Способ Эйлера интегрирования системы линейных однородных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами |
| Глава V. | Приближенные методы интегрирования диференциальных уравнений |
| | § 31. | О способах отыскания приближенных решений |
| | § 32. | Способ Пикара вычисления интегралов диференциальных уравнений первого порядка |
| | § 33. | Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов диференциального уравнения первого порядка |
| | § 34. | Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов системы двух уравнений первого порядка или одного уравнения второго порядка |
| | § 35. | Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов системы двух уравнений второго порядка |
| | § 36. | Диференциальное уравнение "веревочной" кривой |
| | § 37. | Интегрирование уравнения у'' = f(x) с помощью веревочной кривой |
| | § 38. | Графический способ интегрирования диференциальных уравнений второго порядка при помощи кругов кривизны |
| Библиография |
§ 1. Понятие о диференциальном уравнении.
Всякое физическое
явление характеризуется одной или несколькими величинами, измерить
которые непосредственно удается далеко не всегда. Часто приходится
довольствоваться измерением не тех величин, которые нас интересуют,
а других, связанных с первыми определенными соотношениями. Соотношения
эти могут быть представлены в конечной или диференциальной
формах. Обычно бывает легче установить зависимость между диференциалами
зависимых друг от друга величин, чем между самыми
этими величинами. Объясняется это тем, что, оперируя с весьма малыми
количествами, мы можем делать допущения, упрощающие задачу
установления зависимости между этими количествами и не отражающиеся
на результате благодаря предельному переходу. Получаемые
после выполнения предельного перехода зависимости
содержат производные рассматриваемых величин и носят название
диференциальных уравнений.
Так как нашей конечной целью является получение зависимости
в конечной форме, при которой, измерив одну величину, можно определить
и другую, зависящую от первой, то, составив диференциальное
уравнение и получив, таким образом, зависимость между величинами
в диференциальной форме, мы должны еще решить задачу о преобразовании
полученной зависимости: представление ее в конечной форме.
Эта задача носит название интегрирования диференциального уравнения.
Сикорский Юрий Станиславович Советский ученый, математик и механик. В 1925 г. получил диплом профессора Народного комитета просвещения Украинской ССР. Работал в Одессе; был по совместительству профессором кафедр математики Одесского индустриального (позже политехнического) и Одесского педагогического институтов. В 1930–1948 гг. возглавлял общетехническую кафедру в Одесском электротехническом институте связи. На кафедре проводилась подготовка студентов по высшей математике, физике, химии, механике, технологии материалов, сопротивлению материалов, деталям машин, черчению.
Ю. С. Сикорский был не только талантливым лектором и преподавателем, но и известным ученым. В его научные интересы входили не только математика, но и аналитическая механика. Две его монографии — "Обыкновенные дифференциальные уравнения: С приложением их к некоторым техническим задачам" и "Элементы теории эллиптических функций: С приложениями к механике", неоднократно переизданные в URSS, были посвящены применению дифференциальных уравнений и эллиптических функций к вопросам механики и техники.
|
|
|
|
