Показать ещё...
В настоящее время математика интенсивно проникает в другие науки. Дифференциальные уравнения, как и многие другие математические задачи, являются мощным средством для решения прикладных задач. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется различными количественными характеристиками, поэтому она и вобрала в себя большое число математических методов. В связи с этим математические дисциплины следует рассматривать как одну из важнейших составляющих в системе фундаментальной подготовки экономистов, особенно по специальностям 080116 "Математические методы в экономике" и 080601 "Статистика". К построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения, приводит исследование как природных процессов, так и изучение закономерностей развития общества. Например, дифференциальными уравнениями моделируются проблемы инфляции, государственного долга, экономического роста, безработицы, взаимосвязей денежного и реального рынков и др. В данном пособии изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных уравнений, приведены примеры решения каждого из рассмотренных типов уравнений и их использования в современных экономических задачах. Материал излагается без доказательств, так как основное внимание уделено применению математического аппарата на практике. Цель данного пособия – рассмотреть различные дифференциальные уравнения и наполнить математические упражнения экономическим содержанием. Большинство известных классических учебников и задачников по теории дифференциальных уравнений посвящено решению физических, химических и технических задач. Они имеют свою особенность. Каждая задача сформулирована в терминах той области знаний, для которой строится математическая модель. Что касается сборников задач по математике для экономистов, то зачастую специфика этих изданий заключается только в облегчении заданий. Однако существует немало экономических моделей, которые описываются не только уравнениями с разделяющимися переменными. Например, для моделирования инфляционных ожиданий используется уравнение гармонического осциллятора, часто применяемое в задачах по электротехнике. Кроме того, исследование устойчивости полученного решения для экономической модели не менее важно, нежели для модели из области физики, электротехники, гидравлики, оптики и других областей. В данном пособии собраны и классифицированы экономические задачи различного уровня сложности: начиная с простых задач экономической теории и заканчивая эконометрическими моделями, применяемыми в серьезных исследованиях. Все задачи формулируются с помощью терминологии, используемой в курсах микро- и макроэкономического моделирования. Некоторые рассмотренные задачи приведены только в качестве иллюстрации, так как подробно их решение разбирается на старших курсах. В конце многих разделов предложены типовые задания для самостоятельной работы, которые могут быть заданы студентам в качестве семестровой работы. Пособие состоит из восьми глав. В первой главе приводятся основные определения и понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методика и типовые примеры составления уравнений. Вторая глава посвящена классификации и методам решения уравнений первого порядка: уравнений с разделяющимися переменными, однородных и неоднородных уравнений, уравнений Бернулли и в полных дифференциалах. В третьей главе изложены основные принципы понижения порядка уравнений, содержащих k > 1 производных. В четвертой главе рассмотрены однородные уравнения с постоянными коэффициентами, введено понятие характеристического уравнения и приведены все возможные способы получения общего решения такого уравнения. Пятая глава посвящена неоднородным уравнениям высших порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрен не только простейший случай – когда правая часть уравнения имеет специальный вид, но и общий случай, когда уравнение не удается решить с помощью подбора коэффициентов частного решения. Для решения такой задачи приведен метод вариации произвольных постоянных. Кроме того, рассмотрены метод суперпозиции решений и уравнение Эйлера, часто встречающееся в задачах эконометрического моделирования. В шестой главе изложены основные принципы решения систем из двух и трех дифференциальных уравнений. Рассматривается сведение системы к уравнению высших порядков. В качестве частных случаев приводятся линейные однородные и неоднородные системы с постоянными коэффициентами и их применение в экономике. Дана классификация траекторий решений линейных систем на плоскости. Седьмая глава посвящена исследованию решений уравнений и систем на устойчивость. Кроме основных понятий и определений рассмотрены способы исследования на устойчивость решений линейных систем с постоянными коэффициентами. В восьмой главе рассмотрены определение разностного уравнения и методы решения таких уравнений, имеющих постоянные коэффициенты (однородных, неоднородных, со специальной правой частью). Численным методам решения дифференциальных уравнений и примеры решенных задач на Matlab посвящено учебное пособие "Численные методы", вышедшее в издательстве URSS в 2010 году. Материал этого пособия является значительной частью курса "Численные методы", также изучаемого студентами указанных специальностей. В конце учебного пособия содержатся ответы и указания для заданий. Для наиболее сложных примеров и задач в тексте соответствующих глав приведены решения. Ответы к заданиям для самостоятельной работы размещены на web-странице настоящей книги в интернет-магазине PersonNameURSS.ru. В разделе "Персоналии" (Приложение 3) даны краткие биографические сведения о математиках и экономистах, внесших вклад либо в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в моделирование экономических систем. Макаровских Татьяна Анатольевна Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Системное программирование» Южно-Уральского государственного университета. В 2003 г. с отличием окончила ЮУрГУ по специальности «Прикладная математика». В 2006 г. защитила кандидатскую диссертацию по специальности «Теоретические основы информатики» в Вычислительном центре имени А. А. Дородницына РАН. В 2020 г. защитила докторскую диссертацию по той же специальности в ЮУрГУ. Является автором более 100 научных публикаций, 7 учебных пособий, монографии «Маршруты-покрытия специального вида в графах: Теоретические основы и применение в ресурсосберегающих технологиях» (М.: URSS), а также более 10 зарегистрированных программ для ЭВМ.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |