URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной. Перевод с английского
Id: 24129
 
351 руб.

Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной. Перевод с английского. Изд.2

URSS. 2004. 336 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00936-7.

 Аннотация

Предлагаемое издание посвящено систематическому изложению теории алгебраических функций от одной переменной над произвольным полем констант. Бесспорным достоинством работы является довольно удачное сочетание стройности изложения, проведенного с учетом последних достижений в абстрактной алгебре, с обилием фактического материала. В последней главе дается изложение классической теории алгебраических функций от одной переменной над полем комплексных чисел.

Книга представляет интерес для научных работников-математиков, аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, работающих в области алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел. Для ее чтения необходимы предварительные сведения из общей теории полей, а в последней главе --- некоторые сведения из топологии и теории функций.


 Оглавление

Предисловие
Некоторые обозначения
Глава I. Точки и дивизоры
 § 1.Поля алгебраических функций от одной переменной
 § 2.Точки
 § 3.Точки поля K(x)
 § 4.Существование точек
 § 5.Функция порядка. Степень точки
 § 6.Теорема о независимости
 § 7.Дивизоры
 § 8.Дивизор функции
Глава II. Теорема Римана -- Роха
 § 1.Род
 § 2.Поля рода 0
 § 3.Поля рода 1
 § 4.Распределения
 § 5.Дифференциалы
 § 6.Канонический класс
 § 7.Локальные компоненты дифференциала
 § 8.Поля эллиптических функций
Глава III. Полные p-адические расширения
 § 1.Определение p-адического пополнения
 § 2.Лемма Хензеля
 § 3.Структура p-адических пополнений
 § 4.Обобщение понятия распределения
 § 5.Вычеты дифференциала
Глава IV. Расширения полей алгебраических функций от одной переменной
 § 1.Относительная степень и индекс разветвления
 § 2.Случай нормальных алгебраических расширений
 § 3.Целые базисы
 § 4.Кронекеровские произведения коммутативных алгебр
 § 5.Расширение p-адического пополнения
 § 6.Разложения Пюизе
 § 7.Норма и конорма; след и кослед
 § 8.Дифферента
 § 9.Структура гиперэллиптических полей
Глава V. Расширения поля констант
 § 1.Трансцендентные сепарабельные расширения
 § 2.Относительно алгебраически замкнутые подполя
 § 3.Коммутативные алгебры
 § 4.Расширение поля констант
 § 5.Поведение точек при расширении поля констант
 § 6.Расширение поля констант и род поля
Глава VI. Точные дифференциалы
 § 1.Дифференциал dx в поле K(x)
 § 2.След и кослед дифференциалов
 § 3.Дифференциал dx в произвольном поле
 § 4.Дифференцирования полей
 § 5.Дифференцирования и дифференциалы
 § 6.Обобщение понятия коследа
 § 7.Дифференцирования поля констант
 § 8.Дифференциалы второго рода
Глава VII. Риманова поверхность
 § 1.Определение римановой поверхности
 § 2.Мероморфные функции на римановой поверхности
 § 3.О сингулярной теории гомологии
 § 4.Периоды дифференциалов
 § 5.Билинейная функция j(omega, omega')
 § 6.Определение индексов пересечения
 § 7.Геометрические леммы
 § 8.Группы гомологии римановой поверхности
 § 9.Теорема Абеля
 § 10.Поля рода 1
 § 11.Риманова поверхность как аналитическое многообразие
 § 12.Билинейные неравенства Римана
Предметный указатель

 Предисловие

Алгебраической функцией y от комплексной переменной x называется функция, удовлетворяющая уравнению F(x, y) = 0, где F -- многочлен с комплексными коэффициентами. Таким образом, алгебраическая функция y есть корень уравнения, коэффициентами которого являются рациональные функции от x. Уже в самом определении обнаруживается большое сходство между понятиями алгебраической функции и алгебраического числа; рациональные функции от x при этом играют ту же роль, что и рациональные числа. С другой стороны, уравнение F(x, y) = 0 можно рассматривать как уравнение кривой на плоскости с координатами хну, что указывает на тесную связь теории алгебраических функций от одной переменной с алгебраической геометрией.

Естественно ожидать, что при изложении теории алгебраических функций от одной переменной в той или иной мере будет подчеркиваться либо арифметико-алгебраическая сторона этой ветви математики, либо ее геометрическая сторона. И действительно, оба способа изложения одинаково приемлемы и фактически проводились различными математиками. Алгебраический аспект был впервые отчетливо выражен в статье Дедекинда и Вебера (R.Dedekind, H.Weber) "Theorie der algebraischen Funktionen einer Ver\"anderlichen" (Journ. f\"ur Math., 92, 1882, 181--290) и получил дальнейшее развитие в книге Хензеля и Ландсберга (К.Hensel, G.Landsberg) "Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen" (Leipzig, 1902). Геометрическому подходу следовали Макс Нетер, Клебш, Гордан и вслед за ними геометры итальянской школы [см., в частности, книгу Севери (F.Severi) "Lezioni di Geometria algebrica", Padova, 1908]. Ясно, что при любом подходе к теории алгебраических функций изложению подлежат в основном одни и те же главные результаты. Однако этот общий фактический материал в руках математиков, придерживающихся алгебраического или геометрического направления, будет освещать различные стороны изучаемого предмета. Так как пара "наблюдаемое явление -- наблюдатель" является, по-видимому, более реальной сущностью, чем инертное явление, взятое само по себе, то мы должны учитывать разнообразие позиций, с которых та или иная теория может быть сфотографирована. В частности, это относится и к теории алгебраических функций, где, как нам кажется, тот или другой подход возбуждает в математических умах сильные эмоциональные реакции -- от искреннего восхищения до открытого пренебрежения. Отсюда, однако, не следует, что при написании книги мы достигнем идеала, если смешаем или синтезируем оба направления: от попытки получить две интересные фотографии предмета на одной и той же пластинке единственным результатом будет неразборчивое изображение. Никоим образом не подвергая сомнению законность геометрического подхода, мы не пытаемся в то же время скрыть свое пристрастие к алгебраическому направлению, которого и придерживались в процессе работы над настоящей книгой.

Главное отличие нашего изложения теории от изложений Дедекинда--Вебера или Хензеля--Ландсберга состоит в том, что у нас полем констант рассматриваемого поля алгебраических функций может быть совершенно произвольное поле, а не только поле комплексных чисел. Необходимость такого обобщения вызвана несколькими причинами. Во-первых, аналогия между алгебраическими функциями и алгебраическими числами становится более глубокой, если рассматривать алгебраические функции над конечным полем констант. В этом случае на поля алгебраических функций можно перенести теорию полей классов, а также трансцендентную теорию дзета-функции и L-рядов (см. F. К. Schmidt, "Analytische Zahlentheorie in K\"orpern der Charakteristik p", Math. Zeits., 33, 1931, 1--32). Заметим, что доказательство А.Вейля гипотезы Римана для полей алгебраических функций над конечным полем совершенно по-новому осветило, классический случай поля алгебраических чисел (см. A.Weil, "Sur les courbes alg\'ebriques et les vari\'et\'es qui s'en d\'eduisent", Paris, Hermann, 1948; эта книга содержит изложение теории с геометрической точки зрения, которое, однако, несколько отличается от изложения, принятого итальянскими геометрами). Во-вторых, если S -- алгебраическая поверхность, a R -- поле рациональных функций на S, то R можно рассматривать как поле алгебраических функций от одной переменной над K(x), где K-основное поле, а x -- отличный от константы элемент из R. Пикар и ряд других математиков для исследования поверхности S весьма успешно применяли метод, состоящий в изучении связей между R и различными полями вида K(x) (см. Е. Picard и G.Simart, "Theorie des fonctions algebriques de deux variables independantes", Paris, Gauthier -- Villars, 1897). Даже в случае, когда K есть поле комплексных чисел, поле K(x) не является алгебраически замкнутым. Таким образом возникает необходимость в теории алгебраических функций от одной переменной над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми.

Начало теории алгебраических функций от одной переменной над произвольным полем (любой характеристики) было положено работами Хассе, который ввел для этих полей понятие дифференциала (Н. Hasse, "Theorie der Differentiate in algebraischen Funktionenk\"orpern mit vollkommenen Konstantenk\"orper", Journ. fur Math., 172, 1934, 55--64), и Шмидта, доказавшего теорему Римана--Роха (F. К. Schmidt, "Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen. I", Math. Zeits., 41, 1936, 415--438). В настоящей книге определение дифференциалов и доказательство теоремы Римана--Роха приведены в форме, указанной Вейлем (A.Weil, "Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen", Journ. f\"ur Math., 179, 1938, 129--133).

Что касается содержания книги, то в нее мы включили только элементарную часть теории, оставив в стороне такие ее разделы, как теория полей классов или теория соответствий. Мы руководствовались главным образом желанием изложить надлежащие основы знаний для изучения этих более специальных глав. Именно поэтому с особой обстоятельностью изложена теория расширений полей алгебраических функций от одной переменной, в частности, тех расширений, которые получаются присоединением новых констант, может быть даже трансцендентных над полем констант первоначального поля функций. То, что рассмотрение таких расширений целесообразно, было убедительно показано работой Дейринга (М. Deuring) "Arithmetische Theorie der Korrespondenzen algebraischen Funktionenk\"orper (Journ. fur Math., 177, 1937, 161--191). Теория дифференциалов второго рода изложена у нас лишь для случая, когда характеристика рассматриваемого поля равна нулю. Это ограничение вызвано тем, что пока еще не ясно, каково должно быть "хорошее" определение понятия дифференциала второго рода в общем случае: можно ли обойтись лишь условием равенства нулю всех вычетов или же необходимо потребовать, чтобы дифференциал можно было в любой точке аппроксимировать сколь угодно близко точными дифференциалами (или надлежащими их обобщениями)? Здесь возникает ряд проблем, требующих, как нам кажется, специального исследования. Последняя глава книги посвящена теории полей алгебраических функций от одной переменной над полем комплексных чисел, а также их римановым поверхностям. Определение понятия римановой поверхности с помощью разрезаний и склеиваний мы заменили более абстрактным определением, подсказанным книгой Г.Вейля о римановых поверхностях, которое не требует довольно искусственного выбора специальных образующих поля в виде независимой переменной и функции от этой переменной. Мы обошли также метод триангуляции римановой поверхности, использовав вместо него сингулярную теорию гомологии, развитую С.Эйленбергом.

Большую помощь в написании этой книги мне оказали советы Э.Артина и О.Голдмана, полученные во время наших частых бесед. Выражаю им обоим свою искреннюю благодарность.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце