|
Содержание
Предисловие
Настоящая вторая часть "Основ теории Галуа" должна была по замыслу содержать все главнейшие современные результаты, посвященные приложениям теории Галуа к алгебраическим числам, и поэтому должна была содержать теорию абелевых полей, в частности полей классов, а также теорию алгебр (или гиперкомплексных чисел) в приложении к полям классов. Однако оказалось, что методическая обработка имеющегося по этим вопросам журнального материала потребует много времени и повлечет за собой дальнейшую задержку выхода в свет этой части книги. В виду этого я решил опубликовать в виде отдельной книги эту часть, содержащую элементы теории алгебраических чисел и идеалов, но пронизанную связью с теорией Галуа, а также элементы аналитической теории идеалов, доведенные до определения плотности простых чисел, принадлежащих к отдельным классам подстановок (автоморфизмов поля). Выход в свет теории алгебраических чисел отдельной книгой может быть оправдан особенно потому, что книг на русском языке по теории чисел почти нет. Существуют лишь: литографированный курс Д.А.Граве, Арифметическая теория алгебраических величин, ч. I – Квадратичная область, Вельмин, Теория алгебраических чисел, являющаяся почти библиографической редкостью, и недавно вышедший на украинском языке перевод книги Гекке (Е.Неcke, Vorlesungen uber die Theorie der algebraischen Zahlen). Однако и во всей мировой литературе трудно указать книгу, которая по материалу была бы близка к этой книге. Почти все выходящие теперь книги по теории алгебраических чисел избегают ставить ее в связь с теорией групп и теорией Галуа; книга Гекке ограничивается случаем абелевых групп. Ближе всего материал настоящей книги лежит к материалу второго тома "Учебника алгебры" Вебера (H.Weber), но содержит много у прощений, выработанных после 1899 г., когда вышла книга Вебера (например несравненно проще доказана теорема Кронекера–Вебера; геометрическая теорема Минковского заменена простой алгебраической теоремой Гурвица), а также более поздние результаты, например о плотностях простых чисел (Фробениус), каковые у Вебера положены только для случая абелевых целей (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии). Книга состоит из двух глав. Первая посвящена элементарной теории идеалов. Обычно все курсы теории идеалов принимают за основу или Кронекеровскую теорию функционалов (Вебер) или Дедекиндову теорию модулей (Дирихле–Дедекинд, Бахман, Ландау, Гекке); я выбрал теорию Золотарева, которая быстрее вводит читателя в курс дела и отличается большей наглядностью. В дальнейшем я доказал эквивалентность определений Золотарева и Дедекинда. В §5 я привожу новое доказательство теоремы Дедекинда о критических простых числах. Это простое по идее доказательство пользуется аппаратом теории Галуа, в частности теоремой Силова из теории групп. В §§6–7 доказывается теорема Минковского при помощи леммы Гурвица, доказательство которой проводится более подробно, чем у самого Гурвица. В §8 вводится понятие группы инерции, при помощи которого из теоремы Минковского легко выводится так называемая теорема монодромии, с помощью которой многие формулировки и выводы значительно упрощаются. В §9 доказана теорема Кронекера–Вебера об абелевых полях и полях деления круга. В общем доказательство построено по Гильберту. Для наиболее трудного случая иррегулярных критических чисел доказательство заменено новым, идея которого принадлежит Фуэтеру (R.Fueter). §§10–12 посвящены группе разложения с приложением к выводу теоремы Штикельбергера–Вороного, а также к выводу квадратичного закона взаимности по Мириманову и Гензелю (К. Hensel). Глава вторая, посвященная аналитической теории идеалов, имеет целью получение результатов аналитической теории, которые имеют важные приложения в общей теории идеалов. Руководствуясь этим принципом выбора, я избегал помещения результатов, касающихся тонкостей оценки остаточных членов, и не поместил весьма важной формулы Гекке, как не имеющей непосредственного приложения к излагаемым вопросам приложения теории Галуа к алгебраическим числам. В §1 доказывается конечность числа идеальных классов и излагается связь эквивалентности идеалов с подобием соответствующих матриц (см. Шур). §2 посвящен теории единиц алгебраического поля, изложенной по ван-дер-Вардену (В. L. van der Waerden). Здесь в виде примера изложена связь единиц вещественного квадратичного поля с непрерывными дробями. В §3 изложена теория Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Вместо доказательства необращения в нуль выражений h(1) я, руководствуясь примером Вебера, отсылаю читателей к следующему параграфу, в котором тот же результат получается при помощи рассмотрения высших полей деления круга. §4 посвящен рассмотрению. Дедекиндовой dzita-функции и содержит доказательство результата Кронекера о существовании бесчисленного множества простых идеалов первой степени. В §5 выводится результат Фробениуса относительно простых чисел, принадлежащих к отделам подстановок группы Галуа поля. В §6 результат Фробениуса обобщается на классы подстановок. Изложение значительно отличается от изложения первоначальной журнальной статьи. Внесены упрощения, предложенные М.Ф.Кравчуком и Шрейером (О. Schreier). Характер изложения второй части отличается от такового в первой большей сжатостью, неизбежно связанной с обилием материала и с тем, что вторая часть предназначена для более высокого уровня читателей, главным образом для специалистов по алгебре и теории чисел и для аспирантов, пишущих диссертации в этой области, Н.Чеботарев.
Введение
Как мы видели в первой части, теория Галуа дает возможность привести изучение ряда свойств полей алгебраических чисел, в первую очередь перечисление всевозможных делителей этих полей, к изучению структуры групп этих полей, состоящих из конечного числа элементов. Но, как известно, структура группы Галуа не определяет всех его свойств: имеется немалое число арифметических свойств этих полей, не определяемых вполне их группами, но тем не менее стоящих в тесной связи с последними. Я позволю себе привести в виде примера такой связи замечательную теорему, впервые высказанную Кронекером (Kronecker) и доказанную Вебером (Н. Weber): Всякое поле, группа Галуа которого абелева (будет говорить: абелево поле), если область рациональности есть поле рациональных чисел, является полем деления круга, т.е. его величины рационально выражаются через некоторые корни из единиц). Эта часть "Основ теории Галуа" как раз имеет в виду изложить эту связь. Для этого необходимо глубокое знакомство с арифметикой алгебраических полей, каковой и посвящается главным образом настоящая книга. < Об авторе
 Чеботарев Николай Григорьевич Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР (1929). В 1916 г. окончил Киевский университет. С 1927 г. — профессор Казанского университета. Лауреат Сталинской премии первой степени (1948), заслуженный деятель науки РСФСР и ТАССР. Награжден орденом Ленина и другими орденами и медалями. Добился создания при Казанском университете Научно-исследовательского института математики и механики (1934), который и возглавлял с 1935 по 1947 гг. Впоследствии институту было присвоено его имя.
Н. Г. Чеботарев является автором решения проблемы Фробениуса о бесконечности множества простых чисел, принадлежащих классам подстановок группы Галуа. Он также добился высоких результатов в области проблемы резольвент (эта проблема связана с решением алгебраических уравнений). Широкую известность получили его работы в области теории Галуа, групп Ли, теории диофантовых приближений, теории целых аналитических функций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||