Опойцев В.И. Школа Опойцева:
Теория вероятностей. Изд. стереотип.

URSS. 2022. 280 с. ISBN 978-5-9519-2991-4.

Белая офсетная бумага

Аннотация

Излагается стандартный курс теории вероятностей в авторской аранжировке. Помимо классических разделов теории вероятностей освещается ряд новых направлений, в частности, нелинейный закон больших чисел. Изложение сопровождается большим количеством примеров, задач и парадоксов, способствующих рельефному восприятию материала. Затрагиваются многие прикладные области: управление запасами, биржевые игры, массовое обслуживание, страховое дело, стохастическая... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие			7
Глава 1.	Элементарная теория		8
	1.1.	Основная модель	8
	1.2.	Азы комбинаторики	11
	1.3.	Комбинации событий	14
	1.4.	Задачи с подвохом	17
	1.5.	Условная вероятность и независимость	19
	1.6.	Независимость испытаний	21
	1.7.	Формула Байеса и проверка гипотез	21
	1.8.	Ещё раз об условной вероятности	24
	1.9.	Примеры и задачи	25
	1.10.	Выбор в условиях неопределённости	29
	1.11.	Авантюра века	32
	1.12.	Стохастические предрассудки	34
	1.13.	Проклятие моделирования	37
	1.14.	Аксиоматика Колмогорова	39
Глава 2.	С.в. и континуальные пространства		42
	2.1.	Случайные величины	42
	2.2.	Континуальные Omega	45
	2.3.	Плотности и функции распределения	47
	2.4.	Математическое ожидание	50
	2.5.	Независимость случайных величин	51
	2.6.	Комбинирование случайных величин	52
	2.7.	Дисперсия, ковариация, корреляция	54
	2.8.	Неравенства	56
	2.9.	Метод наименьших квадратов	60
Глава 3.	Основные функции распределения		62
	3.1.	Стандартный ассортимент	62
	3.2.	Функции случайных величин	67
	3.3.	Условные плотности	69
	3.4.	Характеристические функции	73
	3.5.	Производящие функции	76
	3.6.	Приложение к ветвящемуся процессу	78
	3.7.	Нормальный закон распределения	80
	3.8.	Пуассоновские потоки	83
	3.9.	Статистики размещений	86
	3.10.	Распределение простых чисел	87
	3.11.	Задачи и дополнения	89
Глава 4.	Законы больших чисел		93
	4.1.	Слабые варианты	93
	4.2.	Усиленный закон больших чисел	95
	4.3.	Несколько сюрпризов	98
	4.4.	Нелинейный закон больших чисел	99
	4.5.	Дисперсия и сопряжённая плотность	101
	4.6.	Доказательство ключевой леммы	103
	4.7.	Оптимизация в больших размерностях	105
	4.8.	Несколько замечаний	107
Глава 5.	Сходимость		109
	5.1.	Сходимость п.н. и по вероятности	109
	5.2.	Сходимость с.к. и по распределению	110
	5.3.	Взаимоотношения	112
	5.4.	Комментарии	113
	5.5.	Закон "нуля или единицы"	115
	5.6.	Сходимость рядов	116
	5.7.	Предельные распределения	117
	5.8.	Задачи и дополнения	118
Глава 6.	Бросание монеты и случайное блуждание		122
	6.1.	Схема Бернулли	122
	6.2.	Закон арксинуса	124
	6.3.	Задача о баллотировке	126
	6.4.	Задача о разорении	126
	6.5.	Различие при блуждании в R¹, R² и R³	128
	6.6.	Процессы восстановления	130
Глава 7.	Философия случайности		132
	7.1.	Где корни случайности	132
	7.2.	Псевдослучайное поведение	135
	7.3.	К обоснованию статистической физики	136
Глава 8.	Метод Монте-Карло и вероятностные алгоритмы		140
	8.1.	Идея метода	140
	8.2.	Ассортимент приложений	143
	8.3.	Случайность против неопределённости	148
	8.4.	Распознавание образов	150
	8.5.	Стохастическая аппроксимация	153
	8.6.	Генераторы "случайных" чисел	154
Глава 9.	Марковские процессы		157
	9.1.	Марковские модели	157
	9.2.	Линейная модель	159
	9.3.	Процессы с непрерывным временем	162
	9.4.	О практических задачах	165
Глава 10.	Случайные процессы		167
	10.1.	Случайные функции и их свойства	167
	10.2.	Эргодичность	170
	10.3.	Случайные процессы	173
	10.4.	Эргодичность и перемешивание	174
	10.5.	Спектральная плотность	177
	10.6.	Белый шум	179
	10.7.	Броуновское движение	180
	10.8.	Дифференцирование и интегрирование	182
	10.9.	Преобразования случайных процессов	184
	10.10. Уравнение Винера-Хопфа		185
	10.11. Фильтр Калмана		186
	10.12. Помехи в системах регулирования		188
Глава 11.	Теория информации		191
	11.1.	Энтропия как неопределённость	191
	11.2.	Текстовые модели	194
	11.3.	Простейшие свойства энтропии	196
	11.4.	Информация, опыты, каналы связи	197
	11.5.	Частотный взгляд на сообщения	199
	11.6.	Элементы кодирования	201
	11.7.	Проблема нетривиальных кодов	204
	11.8.	Помехи в канале связи	206
	11.9.	Укрупнение состояний	210
	11.10. Энтропия непрерывных сигналов		212
	11.11. Передача непрерывных сигналов		213
Глава 12.	Статистика		217
	12.1.	Тактика и стратегия измерений	218
	12.2.	Понятия и терминология	220
	12.3.	Оценки матожидания и дисперсии	222
	12.4.	Теория и практика	223
	12.5.	Вокруг основных задач	225
Глава 13.	Задачи и факты		231
	13.1.	Элементарная теория	232
	13.2.	Случайные величины	239
	13.3.	Законы больших чисел	244
	13.4.	На платформе сходимости	246
	13.5.	В кладовых схемы Бернулли	249
	13.6.	Случайные функции и процессы	250
	13.7.	Информация и энтропия	253
	13.8.	Статистика	254
Глава 14.	Справки и дополнения		256
	14.1.	Дельта-функция	256
	14.2.	Мера Лебега	259
	14.3.	Измеримые функции	263
	14.4.	Интеграл Лебега	266
Сокращения и обозначения			270
Литература			272
Предметный указатель			274

Предисловие

При копании вглубь путь свободен до бесконечности, и в эту ловушку очень легко угодить.

Всякая научная дисциплина имеет две составляющих, идеологическую и аппаратно-техническую. Идеология – это суть, дух, смысл. Её так просто не ухватишь. Она всюду, волшебна и неуловима. Учить, конечно, проще аппаратно-техническую часть, материальную. Но там всё безжизненно, мертво. Движется, но не плодоносит. Истинных причин не вскроет, хотя наговорит, пыль в глаза пустит – и в кусты.

Короче, учить в первую очередь надо идеологическую основу, без которой инструменты работают вслепую. Данный учебник при написании исходил из этого принципа. Что получилось – судить читателю.

Об авторе

Опойцев Валерий Иванович

Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».

Опойцев В.И. Школа Опойцева: Теория вероятностей. Изд. стереотип.

Аннотация

Опойцев В.И. Школа Опойцева:
Теория вероятностей. Изд. стереотип.