|
|
|
| Предисловие к тому "Дифференциальные уравнения" | 1
|
| Глава 1 Дифференциальные уравнения высших порядков | 3
|
| § 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений | 3
|
| 1.1. Дифференциальное уравнение вида F(x, y(n)) = 0 | 3
|
| 1.2.Дифференциальное уравнение вида F(y(n-1), y(n)) = 0 | 4
|
| 1.3.Дифференциальное уравнение вида F(y(n-2), y(n)) = 0 | 4
|
| Примеры | 5
|
| § 2. Уравнения, допускающие понижение порядка | 18
|
| 2.1.Дифференциальное уравнение вида F(x, y(k), y(k+1),..., y(n)) = 0 | 18
|
| 2.2. Дифференциальное уравнение вида F(y, y',..., y(n)) = 0 | 18
|
| 2.3. Однородное дифференциальное уравнение вида F(x, y, y', y'',..., y(n)) = 0 | 18
|
| 2.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида F(x, y, y', y'',..., y(n)) = 0 | 19
|
| 2.5. Уравнение, приводимое к виду (varphi (x, y, y',..., y(n-1)))' = 0 | 20
|
| Примеры | 20
|
| § 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами | 43
|
| 3.1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение | 43
|
| 3.2. Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов | 44
|
| 3.3. Метод вариации произвольных постоянных | 44
|
| 3.4. Метод Коши нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ко-эффициентами | 45
|
| Примеры | 46
|
| § 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами | 73
|
| 4.1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель Вронского | 73
|
| 4.2. Критерий линейной независимости функций | 74
|
| 4.3. Фундаментальная система решений | 74
|
| 4.4. Формула Остроградского–Лиувилля | 74
|
| 4.5. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами | 75
|
| 4.6. Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева | 75
|
| 4.7. Дифференциальные уравнения второго порядка | 75
|
| 4.8. Связь между линейным дифференциальным уравнением второго порядка и уравнением Эйлера–Риккати | 76
|
| 4.9. Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами | 77
|
| 4.10. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка | 77
|
| Примеры | 77
|
| § 5. Краевые задачи | 109
|
| 5.1. Определение краевой задачи | 109
|
| 5.2. Функция Грина краевой задачи | 109
|
| 5.3. Задача Штурма–Лиувилля | 110
|
| 5.4. Условие эквивалентности краевой задачи интегральному урав-нению | 110
|
| Примеры | 111
|
| Упражнения для самостоятельной работы | 128
|
| Глава 2 Системы дифференциальных уравнений | 132
|
| § 1. Линейные системы | 132
|
| 1.1. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с пере-менными коэффициентами. Фундаментальная матрица уравнения. Оп-ределитель Вронского | 132
|
| 1.2. Метод вариации произвольного вектора | 134
|
| 1.3. Матрицант | 134
|
| 1.4. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициен-тами. Метод Эйлера | 135
|
| Примеры | 136
|
| § 2. Нелинейные системы | 167
|
| 2.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения | 168
|
| 2.2. Подбор интегрируемых комбинаций | 168
|
| Примеры | 169
|
| Упражнения для самостоятельной работы | 186
|
| Глава 3 Уравнения в частных производных первого порядка | 189
|
| § 1. Линейные и квазилинейные уравнения | 189
|
| 1.1. Основные понятия | 189
|
| 1.2. Решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка | 189
|
| 1.3. Задача Коши | 190
|
| 1.4. Уравнение Пфаффа | 191
|
| Примеры | 192
|
| § 2. Нелинейные уравнения первого порядка | 217
|
| 2.1. Нелинейные уравнения в частных производных первого поряд-ка | 217
|
| 2.2. Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую | 218
|
| 2.3. Метод Коши | 218
|
| 2.4. Обобщение метода Коши | 219
|
| Примеры | 220
|
| Упражнения для самостоятельной работы | 238
|
| Ответы | 239
|
| Предметный указатель | 245
|
Предисловие к тому "Дифференциальные уравнения"
Предлагаемая вниманию читателей книга по замыслу авторов призвана
способствовать глубокому усвоению теории обыкновенных дифференциальных
уравнений с помощью подробно решенных нетривиальных примеров и задач.
Своеобразие предмета теории дифференциальных уравнений – его обширность
и тесная связь с теорией пределов, теорией функций, дифференциальным и
интегральным исчислениями, теорией рядов и другими разделами математики –
определяет соответствующую специфику ее метода. Суть этой специфики состоит
в том, что метод теории дифференциальных уравнений есть метод математического
анализа. В связи с этим теорию дифференциальных уравнений не без оснований
считают дальнейшим обобщением и развитием математического анализа на класс
неявных функций, заданных уравнениями, содержащими независимую переменную,
функцию и ее производные. Так, интегральное исчисление функции одной переменной
фактически есть теория интегрирования в элементарных функциях простейшего
класса дифференциальных уравнений вида y' = f(x).
Пособие охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям
для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики.
Каждый параграф книги снабжен необходимым минимумом теоретических сведений,
используемых при решении соответствующих примеров. Кроме того, в книге
разобраны нетрадиционные для такого рода пособий примеры по теории
продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных
первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных
уравнений, на применение признаков существования предельных циклов на фазовой
плоскости. Каждая глава снабжена упражнениями для самостоятельной работы.
Книга содержит порядка семисот подробно решенных примеров и задач, взятых из
следующих учебников и сборников задач по дифференциальным уравнениям:
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 9-е изд. М.: URSS, 2006.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. 6-е изд. М.: URSS, 2006.
Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. 6-е изд. М.: URSS, 2006.
Гудименко Ф.С., Павлюк I.А., Волкова В.О. Збiрник задач з
диференцiальних рiвнянь. К., 1972.
Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике, т. II,
1958.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1973.
Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф.,
Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике. М., 1972.
Мартыненко В.С. Операционное исчисление. К., 1968.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи и примеры с подробными решениями. 5-е изд. М.: URSS, 2005.
Ляшко I.I., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференциальнi
рiвняння. К., 1981.
Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збiрник задач з диференцiальних та
iнтегральних рiвнянь. К., 1997.
 Боярчук Алексей Климентьевич Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.
 Головач Григорий Петрович Родился в 1940 г. на Черниговщине. Окончил механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко. С 1966 г. работает на кафедре математики и теоретической радиофизики Киевского университета. Кандидат физико-математических наук, доцент. Основные научные работы относятся к вычислительной математике. Является соавтором монографии «Приближенные методы решения операторных уравнений» (на украинском языке), учебных пособий «Сборник задач по дифференциальным и интегральным уравнениям» (на украинском языке), «Математический анализ в примерах и задачах», а также многотомного «Справочного пособия по высшей математике».
|
|
|
|
