URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. Перевод с английского
Id: 23872
 
373 руб.

Линейная алгебра и проективная геометрия. Перевод с английского. Изд.2

URSS. 2004. 400 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00922-7. Букинист. Состояние: 4+. .

 Аннотация

Предлагаемая вниманию читателя книга является первой и безусловно удачной попыткой систематического изложения дисциплины, которая целиком относится к алгебре и вместе с тем поглощает по существу все основное содержание проективной геометрии. Эту дисциплину можно назвать проективной алгеброй. В книге собран и творчески обработан богатый материал, из которого читатель может узнать, что проективная геометрия должна рассматриваться уже не как ветвь геометрии, а как органическая составная часть алгебры.

Книга предназначена широкому кругу математиков --- алгебраистам, геометрам, всем, кто интересуется развитием математики в целом, а также студентам и аспирантам.


 Оглавление

Предисловие к русскому переводу
Из предисловия автора
Глава I. Введение
 § 1.Трехмерное аффинное пространство как прототип линейных многообразий
 § 2.Действительная проективная плоскость как прототип структуры подпространств линейного многообразия
Глава II. Основные свойства линейного многообразия
 § 1.Закон Дедекинда и принцип дополнения
 § 2.Линейная зависимость и независимость; ранг
 § 3.Сопряженное пространство
 Добавление I. Применение к системам линейных однородных уравнений
 Добавление II. Спаренные пространства
 § 4.Присоединенное пространство
 Добавление III. Постулат Фано
Глава III. Проективные отображения
 § 1.Представление проективных отображений полулинейными преобразованиями
 Добавление I. Проективная конструкция группы гомотетий
 § 2.Группа коллинеаций
 § 3.Вторая основная теорема проективной геометрии
 Добавление II. Теорема Паппа
 § 4.Проективная геометрия прямой в пространстве; сложное отношение
 Добавление III. Проективное упорядочение пространства
Глава IV. Дуальные отображения
 § 1.Существование дуальных отображений; полубилинейные формы
 § 2.Нуль-системы
 § 3.Представление полярных отображений
 § 4.Подпространства, изотропные и неизотропные относительно полярного отображения; индекс и дефект
 Добавление I. Закон инерции Сильвестра
 Добавление II. Проективные соотношения между прямыми, индуцированные полярными отображениями
 Добавление III. Теорема Паскаля
 § 5.Группа полярного отображения
 Добавление IV. Полярные отображения, обладающие транзитивной группой
 § 6.Подпространства, неизотропные относительно полярного отображения
Глава V. Кольцо эндоморфизмов линейного многообразия
 § 1.Определение кольца эндоморфизмов
 § 2.Треугольная теория Галуа
 § 3.Идеалы, порожденные конечным множеством элементов
 § 4.Изоморфизмы кольца эндоморфизмов
 § 5.Инверсно изоморфные отображения кольца эндоморфизмов
 Добавление I. Двусторонние идеалы кольца эндоморфизмов линейного многообразия
Глава VI. Группы линейного многообразия.
 § 1.Центр полной линейной группы
 § 2.Первый и второй централизаторы инволюции
 § 3.Линейные преобразования класса 2
 § 4.Смежные классы инволюций
 § 5.Изоморфизмы полной линейной группы
 Добавление I. Группы инволюций
 § 6.Характеристика полной линейной группы как подгруппы группы полулинейных преобразований
 § 7.Изоморфизмы группы полулинейных преобразований
Глава VII. Внутренняя характеристика системы подпространств линейного многообразия
 § 1.Основные понятия, аксиомы и простейшие свойства
 § 2.Зависимые и независимые точки
 § 3.Теорема Дезарга
 § 4.Теорема о вложении
 § 5.Группа гиперплоскости
 § 6.Теорема о представлении
 § 7.Основы аффинной геометрии
Добавление М. Обзор основных понятий и принципов теории множеств
Литература
Указатель

 Предисловие к русскому переводу

В заглавии книги Р.Бэра стоят соединенные союзом "и" названия двух важных и уже давно сложившихся ветвей математики -- линейной алгебры и проективной геометрии. В действительности же эта книга посвящена изложению одной математической дисциплины, новой и еще не получившей названия, но уже успевшей накопить большое содержание и обладающей достаточно четко очерченной областью исследования. Этот новый раздел математики целиком относится к алгебре, и вместе с тем он поглощает по существу все основное содержание проективной геометрии. Благодаря выходу рассматриваемой книги широкие круги математиков получают возможность ознакомиться с сегодняшним состоянием проективной геометрии и, быть может, впервые узнать, что проективная геометрия должна сейчас рассматриваться уже не как ветвь геометрии, а как органическая составная часть алгебры.

Создание проективной геометрии явилось одним из крупных достижений математики девятнадцатого века, оказавшим заметное влияние на развитие всей математики. При этом, говоря о проективной геометрии, мы отделяем ее от алгебраической геометрии -- которая, к слову сказать, по существу также целиком относится к области алгебры, являясь всего лишь теорией систем нелинейных алгебраических уравнений, -- и от общей теории неэвклидовых геометрий, если относить к последней и вопросы проективного мероопределения. Можно сказать, что развитие проективной геометрии шло в девятнадцатом веке по программе, идущей от Штаудта, т.е., говоря современным языком, в направлении изучения линейных подпространств векторного пространства, их проекций, пересечений и объединений. Понятия и методы, связанные с непрерывностью, играли, конечно, в этом развитии некоторую роль, но не они определяли истинное лицо проективной геометрии. Вместе с тем уровень, достигнутый к тому времени алгеброй, еще не давал возможности усмотреть в проективной геометрии алгебраической науки.

На рубеже девятнадцатого и двадцатого веков крупный вклад в проективную геометрию сделал Гильберт, показав, что все конечномерные дезарговы проективные геометрии исчерпываются системами линейных подпространств конечномерных векторных пространств над ассоциативными (хотя не обязательно коммутативными) телами. Это был большой шаг в направлении включения проективной геометрии в алгебру, что стало ясным, впрочем, лишь позже, в начале тридцатых годов, когда общая теория ассоциативных колец и тел уже получила некоторое развитие. Приведу, например, следующее весьма образное высказывание П.С.Александрова из его предисловия к русскому переводу книги М.Бохера "Введение в высшую алгебру" (М,-Л., 1933):

"Одной из основных особенностей развития математики в последнее время является проникновение алгебраических понятий, методов и идей в самые различные области математической науки. Один из первых примеров такой алгебраизации математических дисциплин дает нам проективная геометрия; несколько сгущая краски, можно сказать, что геометрия проективных аксиом соединения и алгебра наиболее общих алгебраических тел имеют один и тот же реальный субстрат своих построений".

Нужно сказать, что на самом деле в этих словах не было допущено никакого сгущения красок, как показали прошедшие с тех пор два десятилетия. Эти десятилетия были заполнены интенсивной и разносторонней работой алгебраистов по дальнейшему развитию проективной геометрии уже в рамках алгебры. Укажу, например, на полученное Биркгофом описание конечномерных проективных геометрий как дедекиндовых структур, удовлетворяющих некоторым вполне разумным ограничениям; это описание явилось весьма естественным логическим завершением программы Штаудта в ее синтетическом аспекте. Много было сделано и по изучению векторных пространств над ассоциативными телами и систем их линейных подпространств, а также по изучению преобразований этих систем подпространств типа коллинеаций и корреляций. При этом -- в полном соответствии с положением в других разделах современной алгебраической науки -- был сделан переход к бесконечномерным векторным пространствам, причем, как оказалось, лишь теория корреляций (т.е. дуальных отображений) не выдерживает этого перехода.

Эти исследования связали проективную геометрию не только с теорией структур и теорией тел, но и со многими другими разделами алгебры. Так, можно отметить связи с общей теорией ассоциативных колец, в частности с теорией простых колец. Очень важны связи с теорией операторных абелевых групп (т.е. модулей над ассоциативными кольцами) и их систем допустимых подгрупп и колец операторных эндоморфизмов. Укажем также на связи с теорией классических групп.

В результате проективная геометрия и многие вопросы алгебры объединились в одну новую алгебраическую науку, которая уже заслуживает того, чтобы получить собственное название. Замечу, что Бэр относит название "линейная алгебра" к общей теории (бесконечномерных) векторных пространств над произвольными (т.е. не обязательно коммутативными, хотя, конечно, ассоциативными) телами. Мне кажется, однако, более целесообразным сохранить это название за тем уже сложившимся и в научном отношении законченным университетским курсом, который посвящен изучению конечномерных векторных пространств над коммутативными полями и их линейных преобразований в связи с теорией матриц. Что же касается нашей новой ветви алгебры, то, быть может, следует называть ее проективной алгеброй, если не будет предложено другого названия, более удачного.

Книга Бэра является первой попыткой систематического изложения этой проективной алгебры, притом попыткой безусловно удачной. Сам автор принадлежит к числу виднейших алгебраистов нашего времени; его работы относятся преимущественно к различным вопросам теории групп, но и в область, которой посвящена книга, он сделал существенные вклады. В книге собран и творчески обработан богатый материал. Автору удалось, вместе с тем, придать книге большое внутреннее единство. Он отбрасывает все, что могло бы нарушить это единство, и, например, во избежание осложняющих особенностей, всюду, где это ему полезно, предполагает, что характеристика основного тела отлична от двух или что ранг векторного пространства не меньше трех.

Конечно, вследствие этого стремления автора к единообразию книга Бэра не может дать полного представления о сегодняшнем состоянии проективной алгебры. Вне книги остается, например, теория недезарговых проективных плоскостей, которая, при всем своеобразии ее предмета и методов, принадлежит, понятно, к рассматриваемой ветви алгебры; читатель найдет, впрочем, хороший обзор этой теории в статье Л.А.Скорнякова "Проективные плоскости", Успехи математических наук 6,6 (1951), 112--154. Не нашла места в книге и интересная, хотя и не получившая пока заметного дальнейшего развития теория непрерывномерных проективных геометрий Дж.Неймана. Далее, автор не излагает и лишь скупо отмечает многие результаты из теории модулей над ассоциативными кольцами, имеющие непосредственное отношение к содержанию книги, хотя именно сюда относится его основной личный вклад и именно в этом направлении следует ожидать в ближайшие годы дальнейшего развития исследований. Наконец, автор избегает всяких связей с топологической алгеброй, хотя, учитывая всю историю проективной геометрии, можно надеяться, что топологизация основных объектов, изучаемых проективной алгеброй, явится источником новых содержательных исследований.

Написана книга в общем достаточно четко. Ее чтение будет, тем не менее, нелегким делом как ввиду сложности самого материала, так и благодаря своеобразной манере изложения. Во всех сочинениях Бэра, в том числе и в этой книге, формулировки теорем имеют, как правило, следующий вид: при таких-то общих предположениях эквивалентны такие-то утверждения. Этих утверждений приводится иногда очень много, причем лишь некоторые связи между ними действительно представляют интерес и необходимы для дальнейшего; читатель принужден, однако, с одинаковым вниманием продумывать все части доказательства теоремы.

Отмеченные недостатки не помешают книге Бэра найти достаточно широкий круг читателей. Ее прочтет всякий алгебраист, так как специалист и в теории групп, и в теории колец и алгебр, и в теории структур найдет в ней материал, близкий к его личным научным интересам. Эту книгу прочтет и каждый геометр, и если сначала он будет несколько озадачен теми изменениями, которые испытала привычная ему классическая ветвь геометрии, то затем с удовольствием обнаружит, что при этих изменениях ничего не утерялось из того, что делало эту науку близкой его сердцу. Наконец, с этой книгой ознакомится каждый математик, интересующийся развитием своей науки в целом и не желающий пропустить явления, которое, при всем исключительном богатстве математики нашего времени новыми крупными явлениями, несомненно найдет отражение в будущей истории математики двадцатого века.

* * *

Перевод настоящей книги снабжен рядом примечаний с целью облегчить понимание некоторых недостаточно четко написанных мест. Выправлены также многочисленные опечатки в формулах, замеченные в оригинале.

Ссылки на литературу были сделаны автором в указателях к главам I и VII и к добавлению М, а в остальном разбросаны по всей книге. В переводе эти последние собраны в указатель, помещенный в конце книги, и несколько пополнены, причем добавления, сделанные переводчиком, отмечены звездочкой. Весь перевод книги был прочитан мною в рукописи.

А.Курош

Ноябрь 1954 г.


 Из предисловия автора

В настоящей книге мы намерены показать, что проективная геометрия и линейная алгебра по существу тождественны. Конечно, тождественность этих двух дисциплин уже давно осознана. Доказательство этого утверждения содержится в ряде теорем, показывающих, что определенные геометрические понятия могут быть представлены в алгебраическом виде. Однако указанные основные теоремы существования, несмотря на всю их важность и полезность, довольно трудно найти в литературе. Поэтому основное содержание нашей книги будут составлять как раз теоремы такого типа. Эти теоремы связаны с представлением проективных геометрий линейными многообразиями, проективных отображений -- полулинейными формами, коллинеаций -- линейными формами и дуальных отображений -- полубилинейными формами. С помощью указанных теорем мы сможем восстановить геометрию, являющуюся отправным пунктом нашего исследования, из таких на вид чисто алгебраических объектов, как кольцо эндоморфизмов исходного линейного многообразия или полная линейная группа.

Ограничения на размерность линейных многообразий будут налагаться только тогда, когда они необходимы для справедливости рассматриваемых теорем. Так, например, хорошо известно, что многие из упомянутых теорем существования перестают быть верными, если размерность очень мала. Таким образом, из наших рассмотрении будут довольно часто исключаться линейные многообразия слишком малой размерности. В то же время конечность размерности мы будем предполагать лишь в исключительных случаях; это приведет нас к установлению ряда критериев конечности линейного многообразия. Равным образом, не налагая заранее никаких ограничений на основное тело, мы получим некоторые критерии его коммутативности; все эти критерии коммутативности основного тела упомянуты в указателе. Лишь со случаем, когда основное тело имеет характеристику 2, мы будем обращаться несколько бесцеремонно; этот случай исключается из наших рассмотрении всякий раз, когда он может вызвать затруднения.

Из сказанного в предыдущем абзаце можно сделать заключение, что в настоящей книге не появятся некоторые понятия, обычные для линейной алгебры. Исключаются из рассмотрения определители, поскольку существование определителей, обладающих всеми желательными свойствами, предполагает коммутативность основного тела. Совершенно незначительное внимание уделено матрицам; это объясняется главным образом тем, что им действительно нет места в нашем рассмотрении. Существенно лишь инвариантное содержание понятий линейного преобразования и билинейной формы, а всякое представление их матрицами означало бы ничем не оправданное фиксирование некоторой системы координат, нисколько не отличающейся от остальных систем координат.

Из наших рассмотрении исключается понятие непрерывности, несмотря на довольно большие возможности, возникающие при взаимодействии алгебраических и топологических понятий. Основатели проективной геометрии рассматривали ее, однако, как теорию пересечений и объединений, являющихся чисто алгебраическими понятиями. Мы считаем поэтому естественным ограничение наших исследований алгебраическими объектами и хотим показать, как далеко можно продвинуться, используя чисто алгебраические методы.

Некоторые параграфы этой книги имеют название "Добавление", поскольку рассматриваемые в них вопросы не относятся к основной теме нашего исследования. В добавлениях мы либо рассматриваем применения полученных нами результатов к специальным проблемам, представляющим частный интерес, либо исследуем частные случаи общей теории, для которых можно получить более глубокие результаты. Последующее изложение на эти параграфы не опирается, так что читатель может, по своему усмотрению, их пропускать.

Для чтения книги не требуется больших познаний. Мы предполагаем, что читатель знаком с такими основными алгебраическими понятиями, как группа, тело и гомоморфизм. Тем не менее все необходимые для нас алгебраические сведения, как правило, будут сообщаться, причем в такой форме, которая наиболее удобна для их использования. Мы широко используем трансфинитные методы теории множеств -- никакие метафизические предубеждения не смогут удержать автора от следования по единственно возможному пути для полного выяснения ситуации. Для удобства читателя, не знакомого с этой теорией, все те понятия и принципы теории множеств, которыми мы будем пользоваться, собраны в специальном добавлении, помещенном в конце книги. Никаких доказательств в этом добавлении не приводится; читатель может найти их в рекомендуемой литературе.

В книге нет специально выделенных упражнений. Многие утверждения приводятся, однако, без доказательств. Восполнение отсутствующих доказательств явится для читателя хорошей проверкой его знаний.

Ссылки предназначаются почти исключительно для "дополнительного чтения", которое должно либо дополнить излагаемый нами материал, либо восполнить опущенный. Мы не стараемся указывать точное происхождение каждого понятия и результата. Излагаемое в настоящей книге является в сущности достижением целого поколения алгебраистов, вдохновленных Дедекиндом, Гильбертом и Эмми Нетер; специалисту в рассматриваемой области математики будет, невидимому, ясно, что немногое добавлено автором к работам его предшественников.

Р.Бэр

Февраль 1952 г.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце