Творогов В.Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счета:
Основы. Кн. 1

Анонс

Момент становления наглядной арифметики как раздела математики можно указать точно. В этот день, 10 октября 1999 года, был опубликован патент РФ с описанием изобретения – вращающейся таблицы умножения. Оказывается, взаимные повороты двух телефонных Т-матриц позволяют прочитать среди возникающих комбинаций цифр все результаты умножения однозначных чисел. Вращающаяся таблица умножения применяет принцип поворота радиальных лучей, отличающий класс механических цифровых вертушек. Геометрические цифровые правила, использующие перемещение по Т-матрице, подсказывают результат любого арифметического действия. Умножение однозначных чисел заменяется одним поворотом луча, указывающего цифру ответа. Цифровые вертушки относятся к инструментам вычислений, однако не похожи по принципу действия на абак, костяные счеты или логарифмическую линейку. Устный счет с использованием геометрических цифровых правил выполняется мгновенно, со скоростью осознавания визуальных образов.

Оглавление

Предисловие

Согласно нормам современного образования каждый человек должен владеть устным счетом. Читатели, безусловно, умеют считать, их научили этому полезному навыку в детском возрасте. Однако, если вы спросите себя: "Хорошо ли я считаю в уме?", скорее всего, придётся признать, что устный счет выполняется медленно и с некоторым трудом. Утешением служит лишь ссылка на наши ограниченные способности. Между тем, скромные результаты в скорости устного счёта не являются пределом возможностей человека.

Каждому поколению известны люди, владеющие скоростным устным счётом. Еще до эпохи появления компьютеров внимание публики привлекали выступления людей, которые демонстрировали выдающиеся способности быстрых вычислений. Скорость устного счёта у людей, называемых супервычислителями, далеко выходит за рамки возможностей той технологии устного счёта, которой нас всех учили в детстве, заставляя повторять примеры из таблицы умножения: "пятью пять – двадцать пять". Нашу стандартную технологию устного счёта, использующую словесное сопровождение расчетов, приходится называть традиционной или, более точно, аудиомоторной технологией. Слова, произносимые при вычислениях, не дают возможности обеспечить высокую скорость расчётов, поскольку задерживают время получения ответа на лишние секунды до того момента, пока фразы-подсказки, сопровождающие каждое действие, не закончат звучать в нашей аудиопамяти.

Супервычислители считают иначе, используя свою визуальную память, затрачивая на арифметические операции лишь доли секунды. Они обладают столь выдающимися навыками вопреки стандартной методике преподавания арифметики. Конечно, хотелось бы понять, как эти люди выполняют вычисления, чтобы попытаться, хотя бы отчасти, повторить полезные приемы. Между тем, человек не осознает в полной мере те процессы, которые происходят у него в голове при устном счете. Попытки психологического исследования людей-счётчиков не раскрыли механизм их мышления с полнотой, позволяющей научить других людей. В способностях людей, владеющих скоростным счётом, очень много индивидуальных черт, присущих талантливым личностям с исключительно хорошей памятью и высокой скоростью реакции.

Проблема перехода от обычной традиционной аудиомоторной технологии к скоростному счёту состоит в том, что человек должен научиться решать в уме примеры, использующие таблицу умножения, без проговаривания словесных фраз, тормозящих вычисления. Как этого добиться? Ответа в известных нам книгах нет. О таблице умножения говорится только в учебниках арифметики начальной школы, которые обходят стороной вопросы эффективных скоростных вычислений. Не затрагивали эту тему классические учебники арифметики прошлых эпох, написанные выдающимся математиком Л.Эйлером (1768), педагогом Л.Ф.Магницким (1703). Советы современных авторов по улучшению личных способностей в вычислениях: "Много и часто тренируйтесь в устном счёте" – кажутся нам, мягко говоря, недостаточными.

Известные книги по технологиям счёта начинаются с весьма сложных примеров умножения многозначных чисел. Однако прежде чем умножать такие величины, нужно разобраться в способах эффективной обработки однозначных чисел, записанных в таблице сложения и таблице умножения. Уточним, что под эффективными вычислениями мы понимаем такие способы счёта, в которых человек использует минимальное количество действий, затрачивает минимальные усилия и получает арифметический результат за минимально возможное время.

Числовой ответ записывается цифрами десятичной системы счисления. Для некоторых типов примеров между исходными множителями и цифрами ответов могут существовать определённые закономерности, позволяющие получить ответ упрощённым способом. Известны способы выполнения сокращенного умножения на 10. Чтобы умножить число A на 10 нужно к числу A приписать справа 0. Есть ли другие цифровые правила умножения, например на 3? Можно ли получить ответ 7x3 за одно действие вместо трех сложений (7 + 7 + 7) подряд? Многие люди, полагаясь на сведения из стандартных учебников арифметики, уверены, что кратких цифровых правил для этого и многих других примеров таблицы умножения не имеется.

Вопреки сложившемуся мнению о неполноте системы цифровых правил мы докажем, что все примеры арифметических действий с однозначными числами обладают своими цифровыми правилами. Зная их, все вычисления можно проводить быстро, с малым количеством промежуточных этапов.

Исследуя феномен супервычислителей, мы исходим из концепции, оставляющей геометрии ведущую главную роль в описании если не всех, то большей части алгоритмов скоростных вычислений. Методы преобразования числовых данных, основанные на геометрических схемах, относятся к задачам, похожим на построение линейкой и циркулем. Такие визуальные схемы позволяют человеку осознавать полученный числовой результат без сопроводительных слов.

Наглядная арифметика вводит и активно использует определённый универсальный стандарт представления чисел в геометрическом виде. Важную роль играют конфигурации заданного числа элементов-меток, геометрические свойства которых задействованы в устном счёте. Применяемые в наглядной арифметике геометрические способы указания ответов приспособлены к скоростным вычислениям.

Одна из проблем теории арифметики состоит в том, чтобы сформулировать все возможные цифровые правила. Что является критерием полноты списка цифровых правил? В наглядной арифметике признаётся исчерпывающим и полным такой набор цифровых правил, который охватывает все примеры таблицы сложения и все примеры таблицы умножения однозначных чисел. На практике критерий полноты списка работает весьма эффективно, так как любое новое правило, которое можно было бы придумать, лишь дублирует уже имеющийся аналог из списка цифровых алгоритмов эффективных вычислений.

В обучении наглядной арифметике велика роль материальных учебных пособий. Автор получил патенты Российской Федерации на изобретение цифровых вертушек, вращающуюся таблицу умножения, девятилистник умножения и ряд способов обучения устному счёту. Оказалось, что у названных механических учебных пособий нет аналогов в патентах ни в одной стране мира. Применение цифровых вертушек упрощает многие цифровые действия. Полагаем, что с этими объектами наглядной арифметики человек будет представлять себе мир чисел более гармоничным.

Наглядные модели позволяют в игровой форме изучать методы визуальных вычислений, помогают формировать правильные навыки визуального счёта. Наглядные учебные пособия, которые учитель применяет в процессе обучения, индуцируют в нашем сознании динамические визуальные картинки, показывающие, как в кино, способы преобразования исходных конфигураций в числовой ответ. В перспективе, после надёжного освоения элементарных навыков визуального устного счёта, человек сам откажется от слов, сопровождающих его геометрические вычисления, что обеспечит многократное возрастание скорости счёта в уме. На первом этапе знакомства с наглядной арифметикой нам важна не скорость счёта у наших слушателей, а правильное понимание ими цифровых правил и аккуратное выполнение алгоритмов действий. Скорость придёт вместе с надежным освоением навыков.

Педагоги найдут в книге большое число полезных иллюстраций, помогающих в изучении методов наглядной арифметики. Геометрические схемы годятся и для самообучения, и для занятий в аудиториях. Используя картинки, можно проводить уроки наглядной арифметики как с детьми младшего школьного возраста, так и с дошкольниками, которые ещё не умеют читать.

Тема скоростного устного счёта столь обширна, что мы вряд ли ответим на все возникающие у читателей вопросы, хотя и постараемся охватить главные из них. Так, на вопрос: "Можно ли научить человека обычных способностей быстрому устному счёту?" – мы отвечает положительно. Каждый человек может освоить методы наглядной арифметики. Для учеников различного возраста нужно подбирать свой, доступный детям способ изложения. Если младшим ребятам наиболее интересны материальные цифровые вертушки, то внимание школьников старших классов следует обратить на математическую теорию и доказательства цифровых правил арифметики.

Вместе с тем, животрепещущий вопрос: "Нужно ли в школе учить наглядной арифметике всех детей?" – выходит за рамки наших обсуждений. Для полноценного внедрения наглядной арифметики в школьную программу требуется повышение квалификации самих учителей математики. По нашему убеждению, человек, научившийся считывать со стандартной панели цифрового телефона результаты умножения, не станет утаивать эти знания от учеников. В русской пословице: "Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать" – содержится мудрая характеристика ситуации, в которой находится сейчас наглядная арифметика.

Об авторе

Окончил с отличием механико-математический факультет Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова. Кандидат физико-математических наук.

Однажды, занимаясь с сыном повторением таблицы умножения, случайно заметил закономерность поворота цифр на телефонной матрице. Глубокое математическое исследование удивительного факта заняло немало времени. Результатом явились многочисленные статьи и патенты, посвященные классу цифровых вертушек, а также настоящая книга о наглядной арифметике и быстром счете.