URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства
Id: 23788
 
263 руб.

Развитие представлений о надежности математического доказательства. Изд.2

URSS. 2004. 240 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00891-3.

 Аннотация

Книга посвящена рассмотрению философских проблем, связанных с понятием математического доказательства. Может ли быть математическое доказательство абсолютно строгим? Является ли вполне надежной система логических норм, используемых в доказательстве? Может ли быть гарантирована непротиворечивость системы доказательств определенной теории? Несет ли доказательство новую информацию? Автор стремится дать ответ на эти и некоторые другие вопросы, касающиеся природы математического доказательства. Обсуждаются мнения философов и математиков по каждой из указанных проблем.

Для студентов философских и физико-математических специальностей, а также для всех тех, кто интересуется философскими проблемами современной науки.


 Оглавление

Введение
Глава I. Герметичность и достоверность доказательства
 1.Тенденция математических доказательств к герметичности
 2.Интуиция и аподиктическая достоверность
 3.Достоверность содержательного доказательства
 4.Эмпирицистская критика доказательства
Глава II. Надежность логических норм
 1.Логика в структуре математического доказательства
 2.Рационализм и эмпиризм в истолковании логики
 3.Деятельностное обоснование логических норм
 4.О законе исключенного третьего
Глава III. Однозначность доказательства в системе посылок
 1.Развитие идеи непротиворечивости
 2.Теоремы Геделя и их методологические следствия
 3.Содержательное обоснование непротиворечивости
 4.Приоритет самообоснования
Глава IV. Тавтологичность доказательств
 1.Тавтологичность и аналитичность
 2.Информационная емкость определений
 3.О приросте информации в доказательстве
 4.Психологическая новизна доказательства
Заключение
Приложение
 О возможностях внутреннего обоснования математики
Примечания

 Введение

Ложь же никоим образом не входит в число, ибо ложь враждебна природе его, истина же родственна числу и связана с ним с самого начала.
Филолай

Математика издревле понималась как абсолютна строгая наука, где все положения доказаны совершенно определенно и навсегда. Самые выдающиеся мыслители античности, средних веков и нового времени пытались лишь объяснить непреложность математических истин, но никогда не ставили их под сомнение. В нашем веке, однако, релятивистский критицизм захватил и математику.

В последнее время среди математиков и философов все более распространяется, можно сказать, становится модным скептическое отношение к достоверности и строгости математического доказательства. Традиционное представление о математике как об идеально строгой науке заменяется теперь чем-то совершенно иным, вплоть до того что математика объявляется наукой, сливающейся с гуманитарным знанием по характеру своих понятий и утверждений. Однако если мы попытаемся понять причину этого явления, то встретимся с большими затруднениями. Дело в том, что большинство современных критиков математики как из лагеря философов, так и самих математиков отдают предпочтение некоторому свободному стилю изложения и чрезвычайно неохотно входят в детальный анализ таких понятий, как интуиция, формализация, логическая норма и т.д., необходимых для решения вопроса по существу. Еще меньше внимания уделяется гносеологическим основаниям проблемы, выяснению общих условий строгости рассуждения и критериев его достоверности.

Задача данной книги состоит в том, чтобы дать гносеологический анализ понятия строгости и с этой позиции прояснить смысл современных фаллибилистских веяний в понимании математики.

Вопрос о строгости математики не является чисто академическим, он может быть поставлен в совершенно конкретной методологической форме. Представим себе физика, который, используя некоторую математическую теорию, предсказывает определенное событие. Если это событие не происходит, то он может винить в этом либо физическую модель, либо математическую теорию (логику вывода), либо точность интерпретации -- адекватность математической теории отношениям в физической модели. Традиционное понимание математики дает нам здесь совершенно однозначную установку: расхождение между предсказанием и экспериментом может быть следствием несовершенства физической модели либо неадекватности интерпретации, но никоим образом не дефектности дедуктивного рассуждения. При традиционном понимании математики как строгой науки мы не ставим вопроса о надежности математического аппарата самого по себе, его способности переводить истинные суждения в истинные. Современные сомнения в строгости математического доказательства есть, таким образом, сомнения в правильности традиционной методологии применения математики, в надежности ее как одного из средств исследования природы.

Строгость математического доказательства нельзя рассматривать как некоторое простое, целостное и неразложимое качество. Говоря о строгости доказательства, мы имеем в виду ряд относительно независимых друг от друга его свойств, каждое из которых требует особого анализа.

Рассмотрим для примера известное доказательство бесконечности простых чисел, данное Евклидом. Оно проводится методом "от противного" в несколько шагов, каждый из которых не вызывает сомнения в своей законности. Предположим сначала, что в ряду натуральных чисел только конечное число простых чисел, наибольшим из которых является число p. Рассмотрим теперь число А =2--3-...-p + 1, где 2; 3...p -- все простые числа от 2 до р. Число А либо простое, либо составное. Предположение, что А простое, очевидно, противоречит допущению, что p -- наибольшее простое число. Пусть А составное. Тогда оно, по основной теореме арифметики, разлагается на простые сомножители. Но так как A не делится ни на одно из простых чисел от 2 до p, то каждый из его простых сомножителей должен быть числом, большим p. Мы опять приходим к противоречию с тем допущением, что p -- наибольшее простое число. Так как допущение утверждения "существует наибольшее простое число" во всех случаях ведет нас к противоречию, то это утверждение ложно и, значит, доказано, что в ряду натуральных чисел наибольшего простого числа не существует.

Это доказательство нас убеждает, и мы предполагаем, что оно совершенно строго. Но, предполагая это, мы допускаем несколько гипотез в его компонентах.

В доказательстве мы опираемся прежде всего на некоторые утверждения о натуральном ряде, которые можно назвать аксиомами. Очевидно, в частности, что мы опирались на следующие утверждения:

1. Числа натурального ряда можно перемножать и складывать, получая в результате числа натурального ряда.

2. Каждое натуральное число разлагается на простые сомножители единственным образом с точностью до порядка сомножителей.

Допустим, что посредством самого внимательного анализа доказательства мы находим некоторое число таких аксиом и останавливаемся на этом, считая, что все предпосылки, необходимые для доказательства, уже выявлены, или, другими словами, предполагая, что содержащаяся в них информация достаточна для доказательства теоремы без привлечения какой-либо другой информации, внешней по отношению к нашим аксиомам. Насколько мы можем быть уверены в этом и существуют ли вообще средства убедиться, что данная теорема вытекает только из данного множества аксиом без привлечения дополнительных предпосылок? Многократное повторение доказательства здесь ничего не дает, ибо, как показывает история математики, неявные предпосылки доказательства остаются неявными не в силу пренебрежения к строгости отдельных математиков. Утверждая, что приведенное выше доказательство строго, мы предполагаем прежде всего, что оно выведено из определенного конечного числа утверждении и не использует никакой информации, выходящей за пределы этих утверждений. Строгое доказательство, таким образом, это доказательство из конечного числа явных утверждений и герметичное по отношению к ним, т.е. не использующее никакой информации, кроме той, которая в них содержится. Обосновать строгость математического доказательства -- это значит прежде всего обосновать его герметичность по отношению к некоторому данному множеству посылок.

Утверждая, что некоторое математическое доказательство строго, мы предполагаем также, что использованные в нем правила логики в некотором смысле совершенны и не могут нас подвести. В приведенном доказательстве мы использовали две логические схемы, а именно: закон исключенного третьего_ (АV/А) и правило приведения к абсурду (А-->(В&В))-->А), означающее, что если из допущения ложности А вытекает противоречие, то А истинно. Более сложные доказательства используют, конечно, более богатый арсенал логических средств, но с принципиальной стороны это несущественно. Утверждая строгость конкретного математического доказательства, мы утверждаем и надежность используемых правил логики. Дискуссия о законе исключенного третьего в XX веке в связи с интуиционистским пониманием математики показала, что это отнюдь не тривиальное допущение. Проблема строгости математического доказательства состоит в этом плане в обосновании надежности логических средств доказательства (логических норм).

Допустим, что мы каким-то образом разрешили как проблему герметичности, так и проблему адекватности логических норм и совершенно убеждены в адекватности посылок заключению в данном конкретном доказательстве или во всем множестве доказательств некоторой теории. Оказывается, что это еще не решает проблему строгости удовлетворительно. Наше доказательство перестанет быть для нас доказательством, если обнаружится, что в той же системе предпосылок можно доказать и противоположное утверждение. По отношению к рассмотренному доказательству мы убеждены, что такого быть не может. Такая ситуация (ситуация противоречия) практически возникает редко, но тем не менее она возможна, и обоснование строгости данного конкретного доказательства предполагает доказательство его однозначности в смысле результата, а точнее, доказательство непротиворечивости всех утверждений, выводимых в данной системе аксиом. Проблема обоснования математической строгости в этом плане сводится к обоснованию непротиворечивости системы математических теорем.

Проблема строгости в математике в первом приближении сводится, таким образом, к следующим трем проблемам:

1. В какой мере возможно обоснование герметичности доказательств?

2. Насколько мы можем доверять правилам логики, используемым в доказательстве?

3. В какой мере можно обосновать однозначность доказательства, т.е. невозможность противоречащего результата в данной системе посылок?

Задача настоящей работы состоит в том, чтобы попытаться в возможно более систематической форме ответить на эти три вопроса.

Для понимания современных рассуждений о пределах математической строгости и пределах ее критики необходимо провести существенные различения. Необходимо прежде всего провести различие между идеалом строгости и нормами строгости, специфичными для каждой эпохи ее развития. Идеал математической строгости изменяется чрезвычайно медленно. Со времени греческой математики и до XIX века он по существу оставался неизменным и состоял в требовании, чтобы теоремы следовали из аксиом без прибавления к ним каких-либо посторонних допущений, т.е. он состоял в требовании герметичности доказательства. Наиболее важное изменение этого идеала произошло в XIX веке и состояло в отказе от реалистической интерпретации аксиом как истинных и очевидных утверждений. Современный математик не связывает идеал строгости с требованием предметной истинности аксиом или с идеей их очевидности. Он вместе с тем включает в этот идеал наряду с герметичностью также и требование непротиворечивости всей системы выводов и адекватности логических норм. Это обогащение идеала идет, однако, не по линии его радикального изменения, а лишь в плане экспликации традиционного понятия. Требование непротиворечивости всей системы выводов данной теории и требование адекватности логических норм неявно всегда включались в представление о строгом выводе, но для математиков вплоть до XX века эти требования представлялись всегда и безусловно выполненными, всегда имеющимися налицо предпосылками мышления, проистекающими из самой его природы. Лишь в последнее время было понятно, что эти условия не выполняются сами собой, что здесь возможна вариабельность, следовательно, и особый источник нестрогости математического рассуждения в целом. Явная формулировка указанных условий сделалась, таким образом, обязательной для адекватного представления идеала строгого вывода. Подобные изменения в общем представлении о строгости, разумеется, возможны и в будущем, но важно отметить, что они происходят чрезвычайно медленно и только в рамках экспликации фундаментальных представлений о сущности математики как науки.

Напротив, признаки, с которыми мы связываем строгость доказательства, в то или другое время изменяются относительно быстро. Признаком строгого доказательства для пифагорийцев раннего периода было доказательство арифметическое. После открытия несоизмеримости величин гарантией строгости стали считать проведение его в геометрических понятиях. Декарт настаивал на правах интуитивной ясности и очевидности и поднял эти критерии математической истины до уровня общего критерия истинности. В XVIII веке был выдвинут ряд отрицательных признаков строгого доказательства: запрет апеллировать к геометрическому чертежу и т.д. Очевидность окончательно потеряла свои права в качестве признака строгости в XIX веке. Никогда не угасающие споры о строгости математики редко затрагивают общий идеал строгости; в этом пункте, на уровне общей интуиции строгости, математики не расходятся друг с другом. Речь идет, как правило, о конкретных требованиях к доказательству, которые предполагаются идеалом строгости. Общий идеал строгости не дает здесь однозначного руководства, и каждая эпоха в развитии математики характеризуется преобладанием своих, только ей свойственных требований к математическому рассуждению, призванных гарантировать его строгость.

Общие принципы строгости, которые выдвигаются той или иной эпохой, далеко не всегда могут быть реализованы в форме эффективных критериев. Требование избегать геометрических интуиции в доказательстве выдвигалось уже Эйлером, но оно не могло быть критериальным до появления идеи формализованного доказательства в конце XIX века. Естественное с современной точки зрения требование непротиворечивости вводимых определений пока не имеет никакого реального критерия. В общем случае поэтому необходимо различать исторические нормы (требования) строгости от критериев строгости, посредством которых эти нормы проводятся и фиксируются в реальном рассуждении.

Степень развития норм и критериев строгости необходимо отличать от уровня фактической строгости математических доказательств в ту или другую эпоху. Мы будем считать математическое доказательство фактически строгим, если оно принимается в качестве доказательства и с точки зрения последующих эпох, т.е. если оно не может быть отвергнуто как ошибочное и невосполнимое с точки зрения каких-либо других, более глубоких критериев строгости. Фактическая строгость математики в широком диапазоне независима от существующих норм и критериев строгости. Несмотря на неразвитость таких критериев, математики всех времен мыслили достаточно строго. В отличие от эмпирического знания в математике мы не наблюдаем систематического процесса фальсификации утверждений, полученных учеными предшествующих эпох. Эта замечательная особенность математического знания является, несомненно, одним из оснований представления о математике как о строгой и непогрешимой науке.

Обсуждая математический метод, мы явно или неявно исходим из определенного образа математики как науки, из некоторых гносеологических предпосылок, которые (по крайней мере в определенном контексте) не подвергаются обсуждению. Одной из таких предпосылок является то или иное решение вопроса о характере математических понятий и об отношении математики к эмпирической науке. Здесь исторически сформировались три основных взгляда, три образа математики, которые можно охарактеризовать как содержательный, или предметный, формалистский (структуралистский) и функциональный, или системный. Хотя эти представления возникли в различные эпохи на основе существенно различного содержания математики, они продолжают сосуществовать и в современной философии математики, определяя различные подходы ко всем ее проблемам.

В соответствии с первым воззрением математика понимается как наука, отражающая некоторые аспекты реальности, как имеющая определенный предмет. По вопросу о том, что именно отражается в математических понятиях, что является предметом математики, в истории философии и математики имели место существенно различные мнения. Для пифагорийцев -- это сам космос в его идеальной законченности, для Аристотеля, Бэкона, Ньютона и многих других математиков и философов вплоть до XIX века -- это некоторые отношения реальных вещей, взятые в идеализированном виде, для Канта, Шопенгауэра и Брауэра -- это непреложности самого сознания (чистая интуиция пространства, процесс мысленного конструирования и т.п.). Реализм в современной философии математики также связывает математические понятия с некоторым содержанием, истолковывая его однако скорее в онтологическом, чем в эмпирическом или теоретическом плане. Для содержательного понимания математики характерно стремление "означить" математические понятия через их соотношение с некоторой независимой от них реальностью (объективной или субъективной), объяснить особенности математики как науки из специфики этой реальности. Математика безусловно истинна для пифагорийцев как отражение идеального космоса. Ньютон, Гегель, Конт, Милль объясняли точность математических истин особой простотой тех сторон природы, которые она отражает. Для Канта и Брауэра достоверность математики проистекает из непосредственной интуитивной данности ее объектов.

Натуралистическое воззрение на математику уже в XVIII веке вошло в неустранимое противоречие с фактическим ее содержанием. Признание неевклидовых и многомерных геометрий, абстрактных алгебр, разрывных функции и, наконец, актуально бесконечного привело к радикальному изменению взглядов математиков на природу своей науки. Точка зрения, сформировавшаяся к концу XIX века, подчеркивает логическую природу математических понятий и математических теорий. Математическая теория с этой точки зрения не имеет предмета в том смысле, в каком его имеют естественные науки. Математическая теория в своих понятиях может отражать реальность, но она, в отличие от опытных наук, не исследует этой реальности; она направлена на построение логических замкнутых структур, которые и делает своим предметом исследования. Пространство -- не предмет геометрии, но лишь ее интуитивная основа, облегчающая построение системы геометрических операций. Математические понятия -- не абстракции и даже не идеализации, подобные идеализациям физики, но конструкции, удовлетворяющие определенным преобразованиям и созданные именно для этой цели. В основе образования математических теорий лежит не абстрагирование, не тенденция к адекватности отражения, но осознанная или неосознанная конвенция, нацеленная на то, чтобы сконструировать систему объектов с достаточно богатой системой внутренних (логических) связей.

Математическая теория как логически организованная система объектов и операций должна рассматриваться сама по себе вне какой-либо предметной интерпретации. В этом смысле она не истинна и не ложна, но может приобрести это качество только в процессе такой интерпретации. Формалистская концепция математики, в отличие от содержательной, не накладывает каких-либо ограничений на предмет математики: приемлем любой объект, заданный непротиворечивой системой требований. Строгость и непреложность математического рассуждения проистекают с этой точки зрения не из свойств предмета отражения, но исключительно из логической организации математической теории. Единство математики как науки определяется также не предметом, но только методом.

Развитие математики в XX веке привело к некоторому изменению этой позиции. Оно все более побуждает рассматривать математику с точки зрения ее системной организации и ее функции. Математическая теория не соотносится в обязательном порядке с какой-либо системой эмпирических представлений, но она рассматривается как необходимо связанная с реальностью в качестве прямого или косвенного орудия ее преобразования, как необходимый элемент математики в целом. Если сторонник структуралистской точки зрения определяет математику как совокупность абстрактных структур, то функционалист определяет ее как систему моделей, подчеркивая потенциально прикладной характер математических теорий и основной стимул развития математики как науки. Математика понимается здесь как функционально подчиненная подсистема в системе научного знания в целом. Характер математических понятий, внутренняя структура математики и сама ее история истолковываются теперь на основе некоторых общих гипотез о ее функции в познании. Конвенция, играющая значительную роль в формалистском понимании математики, перестает быть произвольной -- на нее накладываются требования актуальной или перспективной целесообразности для функционирования математики в целом. Абстрактная свобода построения объектов также, естественно, ограничивается практической целесообразностью. Функционалистская философия математики делает акцент не на логической структуре математики, но на целостности ее как динамической системы, на особенностях развития математической теории, на обосновании внутренней телеологии этого развития, на связях математики с другими науками. Сама логическая организация математического знания рассматривается здесь как продукт системности математики, взаимосвязи ее частей.

Функциональная (системная) точка зрения на математику будет основной гносеологической предпосылкой нашего исследования математической строгости. Строгость математического рассуждения, несомненно, не самоцель. Она возникает и совершенствуется как некоторое средство, определяющее эффективность математики, и она, следовательно, может быть понята только из основных требований этой эффективности, т.е. из общих задач математики по отношению к науке в целом.

Наряду с понятием строгости мы будем использовать также понятие достоверности (надежности) математического доказательства, характеризующее доказательство с точки зрения предмета рассуждения, фактического положения дел в некоторой внутриматематической или физической реальности. Имеются заведомо нестрогие рассуждения, но достоверные в том смысле, что они приводят к установлению полной истины. С другой стороны, можно представить себе логически законченное (строгое) доказательство, которое по некоторым причинам не воспринимается как достоверное, гарантированное от контрпримеров. Такая ситуация возникает иногда в основаниях математики. Таким образом, строгость и достоверность -- разные понятия, хотя и тесно связанные: наше стремление к строгости доказательства проистекает, очевидно, из стремления к его достоверности и надежности как средства предсказания в науке.

Отметим еще то обстоятельство, что математическое доказательство может рассматриваться с нескольких, существенно различных точек зрения. Мы можем изучать его с позиций чистой логики, анализируя его структуру и типы, можем подходить исторически, выясняя обстоятельства зарождения и смены его канонов, рассматривать его в плане возможных эвристических средств, как это делает в своих книгах Д.Пойа, или, наконец, исследовать его психологический механизм. Задача философии не в синтезе этих подходов. Такой синтез, вообще говоря, и невозможен. Гносеологический подход состоит в рассмотрении доказательства с особой точки зрения, а именно с точки зрения его функции, его общих задач в науке.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце