Яглом И.М. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ и НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.
(Геометрия и механика, принцип относительности Эйнштейна, преобразования Лоренца, геометрия Минковского). Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В русской научной и научно-популярной литературе, как и в литературе многих других стран, имеется немало сочинений, посвященных неевклидовой геометрии Лобачевского; лишь некоторые из них упомянуты в списке книг и статей на стр.300–303. Изучение геометрии Лобачевского составляет обязательную часть программы математических отделений большинства наших университетов и всех педагогических институтов – ознакомление с основами этой геометрической системы считается необходимой частью подготовки будущего учителя средней школы. Также и в школьных математических кружках широко культивируются занятия геометрией Лобачевского. При обсуждении путей перестройки математического образования в средней школе некоторыми математиками и педагогами высказывалась даже мысль о желательности включения элементов геометрии Лобачевского в общеобязательную школьную программу, а в рекомендуемые программы факультативных занятий математикой в средней школе (т.е. необязательных занятий, которые, однако, должны носить массовый характер) была включена тема, связанная с неевклидовой геометрией Лобачевского.

Причины столь широкого увлечения геометрией Лобачевского понять нетрудно. Разумеется, увлечение это никак не связано с общематематическими или естественнонаучными приложениями геометрии Лобачевского: приложения эти (к теории автоморфных функций, например) носят достаточно специальный характер, и встретиться с ними придется разве что одному из тысячи учащихся, добросовестно изучающих (а затем излагающих экзаменатору) определение параллельных по Лобачевскому и особенности взаимного расположения прямых на плоскости Лобачевского. Гораздо более важное и принципиальное значение имеет сам факт "неединственности" геометрии, существования разных геометрических систем: он проливает новый свет на основные особенности математической науки; на роль идеализации в научном естествознании; на общее понятие дедуктивной науки ("выводной науки" по терминологии Аристотеля), т.е. науки, развиваемой исходя из определенной системы аксиом; на роль системы аксиом в математике и на предъявляемые к любой аксиоматике требования; на взаимоотношение двух аспектов геометрии – геометрии как абстрактной математической дисциплины и геометрии как естественнонаучной дисциплины, изучающей определенную категорию свойств окружающего нас реального пространства, так сказать, "геометрии-математики" и "геометрии-физики". Именно это (и только это) обстоятельство и обусловливает вывод о том, что наивное представление о "врожденности", "единственности" или "естественности", чуть ли не о "богоданности" геометрической системы Евклида должно быть у будущих учителей математики решительнейшим образом разрушено.

Принимая этот вывод, мы, однако, забываем порой, что и сама геометрическая система Лобачевского вовсе не является единственной a priori возможной "неевклидовой" системой, что разных "геометрий" мы знаем сегодня совсем не две только (Евклида и Лобачевского), а очень и очень много.

Хорошо известно, что содержание геометрии в процессе ее исторического развития неоднократно коренным образом менялось. В течение столетий единственная цель геометрических исследований виделась в возможно более полном исследовании свойств "обычного " трехмерного пространства Евклида. Несмотря на то, что в рамках такого понимания геометрии созрели иные точки зрения, не укладывающиеся в привычную схему (так, например, первой изученной людьми "не евклидовой" геометрической системой, по существу, является действующая на поверхности сферы так называемая "сферическая геометрия", хорошо известная еще в глубокой древности), до создания неевклидовой геометрии Лобачевского не возникало никаких сомнений в универсальности самого понятия евклидова пространства. Относящиеся к первой трети XIX века революционные открытия Карла Фридриха Гаусса, Николая Ивановича Лобачевского и Яноша Бойаи) потому то и явились таким огромным событием в истории математики, что они нанесли непоправимый удар этим насчитывающим тысячелетия представлениям.

После появления неевклидовой геометрии Лобачевского укоренилось мнение (а многие думают так еще и сейчас!), что возможны всего две равноправные геометрические системы – Евклида и Лобачевского; сами творцы неевклидовой геометрии были в этом твердо убеждены. Однако эта точка зрения просуществовала недолго:

XIX век был периодом бурного развития геометрических учений. В 1854 г. замечательным немецким математиком Бернгардом Риманом был сформулирован чрезвычайно общий взгляд на геометрию, сразу необычайно широко раздвинувший ее границы; Риман же отметил существование трех родственных друг другу геометрических систем, близких к той геометрии, какую мы все изучали в средней школе: "обычной" геометрии Евклида, "гиперболической" геометрии Лобачевского и "эллиптической" геометрии, весьма близкой к геометрии на поверхности сферы. Этот список геометрий был в 1870 г. продолжен другим немецким математиком Феликсом Клейном (см., например, его книгу "Неевклидова геометрия", указанную в списке литературы на стр.302): согласно концепции Клейна на плоскости существует девять (!) родственных друг другу "геометрий", тремя из которых являются обычная геометрия Евклида, гиперболическая геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия Римана (см. по этому поводу приложение А в конце книги). Эти исследования Клейна, которые возникли в результате своеобразного синтеза геометрических идей Лобачевского и заинтересовавших Клейна работ английского алгебраиста Артура Кэли, привели к созданию в 1872 г. так называемой "Эрлангенской программы" Клейна (см. его статью [8], указанную в списке литературы на стр.300), содержащей новый широкий взгляд на всю геометрию, по своей универсальности способный соперничать с концепциями Римана.

Таким образом, подобно тому как исключительное положение геометрии Евклида было разрушено основополагающими исследованиями Лобачевского, Бойаи и Гаусса, опубликованными еще в 1829–1832 гг., исключительное положение геометрии Лобачевского было разрушено классическими трудами Римана и Клейна (1854–1872 гг.). Однако еще и сегодня под "неевклидовой геометрией " часто понимают одну только геометрию Лобачевского (реже слова "неевклидовы геометрии" во множественном числе употребляют для обозначения гиперболической геометрии Лобачевского и эллиптической геометрии Римана); существование же других геометрических систем остается известным лишь узким специалистам. Причина этого, по-видимому, в значительной степени коренится во влиянии дискуссий о природе окружающего нас реального пространства, в своей первоначальной постановке давно уже потерявших всякое научное значение. Так, например, еще в "Неевклидовой геометрии " Ф.Клейна, вышедшей в свет в немецком оригинале в 1928 г., утверждается, что в окружающем нас мире должна реализовываться одна из трех "классических" геометрий Евклида, Лобачевского или Римана, хотя полная научная несостоятельность этой точки зрения была установлена "специальной теорией относительности" Альберта Эйнштейна (1905 г.) и, особенно, его же "общей теорией относительности" (1916 г.). Гипноз этих устаревших космологических дискуссий привел к тому, что в то время как геометрии Лобачевского в научной и научно-популярной литературе уделяется весьма большое внимание (так, например, даже столь частному вопросу, как теория геометрических построений на плоскости Лобачевского, посвящено несколько книг и бессчетное множество статей!), все остальные "неевклидовы геометрии Клейна" освещены пока совершенно недостаточно. Настоящая книга и преследует своей целью дать рассчитанное на широкого читателя изложение одной из этих геометрических систем – системы, которая возникает, если принять за "движения" двумерного многообразия "событий" (x, t) (где x – координата точки на прямой, a t – время) преобразования Галилея классической кинематики.

После этого исторического введения я позволю себе снова остановиться на вопросе о педагогической целесообразности увлечения одной лишь неевклидовой геометрией Лобачевского. Важность ознакомления будущих учителей математики (а частично даже и интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы) с одной из геометрических систем, отличных от хорошо известной им геометрии Евклида, сомнению, видимо, не подлежит. Но какую геометрию выбрать для такого ознакомления? Этот вопрос, как мне кажется, может служить предметом дальнейших дискуссий. Геометрия Лобачевского исторически является первой "неевклидовой" геометрической системой, – не считая это обстоятельство решающим, я вовсе не склонен полностью его игнорировать. Кроме того, связь этой геометрической системы с установлением недоказуемости аксиомы параллельности и с выяснением роли этой аксиомы в системе Евклида сильно повышает педагогическое значение геометрии Лобачевского. С другой стороны, геометрия Лобачевского является относительно сложной; так, например, она определенно сложнее обычной геометрии Евклида. Напротив, излагаемая в этой книге геометрия является самой простой из всех геометрических систем Клейна: можно даже сказать, что она настолько же проще геометрии Евклида, насколько геометрия Евклида проще геометрии Лобачевского. Относительная простота этой геометрии является ее самым главным достоинством: она позволяет без большой затраты времени и интеллектуальной энергии учащихся изучить ее со сравнительно большими подробностями – а ведь только развернутое построение новой геометрической системы позволяет сопоставить ее с евклидовой и только оно психологически способно по-настоящему убедить в непротиворечивости рассматриваемой схемы! Другим достоинством развиваемой в этой книге геометрической системы является возможность ознакомления на ее базе со столь плодотворным геометрическим инструментом, как принцип двойственности Наконец (последнее, но безусловно не наименее важное обстоятельство!), очень глубокой и содержательной является иллюстрируемая на примере рассматриваемой в настоящей книге геометрии общая идея о связи "Эрлангенской программы" Клейна с физическими принципами относительности, по-новому раскрывающая как содержание концепции Клейна, так и место принципов относительности в физике. Вот почему мне представляется заслуживающим серьезного внимания вариант построения курса математики педагогического института, содержащий параллельное освещение трех самых простых геометрических систем – геометрии Евклида, "геометрии принципа относительности Галилея" и "геометрии принципа относительности Эйнштейна " (геометрии Минковского; см. § 11 этой книги) с одновременным изложением основ (специальной) теории относительности.

Разумеется, настоящая книга, богатая, быть может и любопытными, но мало принципиальными деталями и рассчитанная на учащихся старших классов средней школы, на учителей математики, на студентов и преподавателей университетов и педагогических институтов, готовящих учителей математики, никак не преследует своей целью столь серьезную реформу нашего высшего педагогического образования. Да сейчас определенно еще не время для такой реформы: обсуждение поднятых здесь вопросов требует серьезного знакомства с геометрическими системами, порождаемыми принципами относительности Галилея и Эйнштейна, а эта книга, видимо, является первым сочинением в научно-популярной литературе, в котором подробно анализируется "геометрия принципа относительности Галилея".

Да и в научной литературе эта геометрическая система была серьезно изучена сравнительно недавно. Упоминание о соответствующей геометрической системе можно найти уже у Ф.Клейна (см., например, указанную на стр.302 книгу "Неевклидова геометрия") и в излагающих идеи Клейна учебниках (см., скажем, указанную на стр.301 книгу В.Ф.Кагана "Основания геометрии" – однако ссылки на эту геометрию имеют здесь эпизодический характер, и содержание этой геометрической схемы, по существу, остается нераскрытым. Более обстоятельной была трактовка той же темы в относящихся к 1913–1915 гг. научных статьях ряда немецких геометров (Г.Бек, Ф.Бем, Л.Бервальд 1)). В 1925–1928 гг. эта геометрия снова всплыла в публикациях английского математика Л.Силберстейна, поляка С.Гласа, казанского геометра А.П.Котельникова и датчанина Д.Фога; в этих публикациях, видимо, впервые была отмечена связь рассматриваемой геометрии с принципом относительности Галилея. Однако обстоятельное изучение рассматриваемой в настоящей книге геометрической системы, при котором она в некоторых отношениях была проанализирована даже глубже евклидовой геометрии, относится к 50-м годам нашего столетия; это изучение связано с именами замечательного голландского геометра Николааса Кеипера, видного немецкого геометра Карла Штрубеккера, а также моей ученицы Нели Михайловны Макаровой (см. список литературы в конце книги).

Отдельно приходится остановиться на вопросе о наименовании рассматриваемой в этой книге геометрической системы. В научной литературе эта геометрия именуется "полуевклидовой", "флаговой", "параболической ", "изотропной" или "галилеевой"; однако ни одно из этих названий нельзя признать полностью удачным. Термины "флаговая геометрия", "параболическая геометрия" (или "дважды параболическая геометрия") и "изотропная геометрия" оправдываются обстоятельствами, которые никак не могут быть раскрыты в элементарном сочинении, рассчитанном на лиц, не обладающих серьезной математической подготовкой – поэтому здесь они полностью отпадают. Достоинством термина "полуевклидова геометрия" является его близость к названию "псевдоевклидова геометрия", принятому для геометрии, связанной с принципом относительности Эйнштейна; кроме того этот термин звучит достаточно обыденно и не апеллирует к неизвестным читателю этой книги понятиям вроде "флага", "изотропной плоскости" или "параболической метрики". Однако первое достоинство названия "полуевклидова геометрия" могут оценить лишь лица, знакомые с "псевдоевклидовой геометрией Минковского"; второе же является одновременно и недостатком, поскольку для читателя, неискушенного в современной научной терминологии, наименование "полуевклидова геометрия" будет звучать слишком уж "чудно" (это нечто вроде "евклидовой полугеометрии"?). Наконец, наиболее укоренившееся за последние годы название "геометрия Галилея" исторически неточно – Галилео Галилей, творчество которого относится к началу XVII столетия, разумеется, не знал этой геометрии, так как идея о существовании ряда равноправных геометрических систем относится к числу наибольших научных достижений XIX века. Более точным является наименование "геометрия, связанная с принципом относительности Галилея", близкое к названию этой книги, однако оно слишком длинно для того, чтобы его можно было употреблять систематически. Вот почему мы все же остановились здесь на названии "(неевклидова) геометрия Галилея", некоторым оправданием которого может служить та блистательная ясность и полнота, с которой сформулировал Галилей свой "принцип относительности", непосредственно приводящий к рассматриваемой (неевклидовой!) геометрии.

Наконец, несколько слов о структуре книги. Она является нестандартной: наличие в книге обширного Введения, состоящего из двух отдельных параграфов, Заключения, состоящего из трех параграфов, двух Приложений, обстоятельного списка литературы, даже непривычно (или здесь следует сказать "неприлично"?) большой объем настоящего Предисловия – все это, конечно, не часто встречается в сочинениях, рассчитанных на начинающего читателя, частично даже на школьника. Эта сложная структура книги связана как с необычностью темы (предпослать книге длинное Предисловие меня вынудило то обстоятельство, что, как я убедился, даже само ее название вызывает известное недоумение), так и (главным образом!) с ориентацией на разные категории читателей. Ясно, что Литература (в которой, впрочем, собрано много доступных малоопытному читателю книг и статей) обращена в первую очередь к преподавателю; учащийся средней школы может полностью ее игнорировать. Также и текст, напечатанный мелким шрифтом (частично он обращен к учителю математики средней школы) может быть свободно пропущен без ущерба для понимания остальной части книги. Ознакомление с Введением необходимо для понимания всего последующего. В противоположность этому Заключение вполне может быть при первом чтении и опущено; однако мне кажется, что в дальнейшем, после некоторого перерыва быть может, целесообразно вернуться к §§ 10 и И Заключения. При этом следует иметь в виду, что написано Заключение довольно конспективно – так, например, автор никак не имел своей целью увеличить на единицу и без того достаточно обширный список существующих в русской литературе популярных изложений основ (специальной) теории относительности Эйнштейна, и весьма краткий § 10 бесспорно будет легче для тех читателей, которые предварительно ознакомились с какой-либо из перечисленных на стр.301–302 книг [37] – [53в] (в первую очередь здесь хочется рекомендовать замечательные книги Макса Борна [38]-[38а]). Посвященный "неевклидовой геометрии Минковского" § 11 также является довольно конспективными не рассчитан на быстрое чтение. В частности, он почти не содержит доказательств упоминаемых в нем теорем; инициативному читателю можно порекомендовать попытаться найти эти доказательства самостоятельно (тут может оказаться полезной литература, указанная в конце книги). [Отмечу также, что я всюду стремился сопоставлять феномены "неевклидовой геометрии Галилея" с родственными им фактами обычной ("школьной") геометрии Евклида; с этим параллельным изложением двух геометрических систем частично связан сравнительно большой объем книги.

Специального разговора заслуживают завершающие книгу Приложения А и Б.Формально их можно считать рассчитанными на того же читателя, что и основной текст книги: они также не требуют никаких предварительных знаний и поэтому доступны даже достаточно настойчивому школьнику. Следует, однако, предупредить, что слова "достаточно настойчивому" в предыдущей фразе никак не являются лишними: крайне лаконичные по манере изложения (и также почти не содержащие доказательств) Приложения составляют самую сложную часть книги – они заметно труднее для понимания, чем остальные разделы, и рассчитаны на вдумчивого читателя. Мне кажется даже, что хотя в тексте Приложений и отсутствуют прямые ссылки на понятия и теоремы, незнакомые читателю с минимальной подготовкой, на которую рассчитана эта книга, фактически Приложения будут доступны лишь несколько более подготовленному читателю, – скажем, знакомому с аналитической геометрией и владеющему основами неевклидовой геометрии Лобачевского. Понятно, что весь предшествующий Приложениям материал от них никак не зависит, так что эти Приложения можно и не читать. Однако, хотя Приложения А и Б и не составляют органической части книги, они представляются достаточно важными: изложив с большими подробностями содержание самой простой из известных мне "не евклидовых" систем, я счел уместным также слегка приоткрыть перед читателем дверь в обширный мир иных, более сложных "геометрий", включающих "геометрию Галилея" как простейший частный случай, – и в меру своего умения выполнил это в Приложениях к настоящей книге.

Нумерация формул является независимой в пределах каждой главы книги; иными словами эта нумерация начинается с формулы (1) во Введении и затем снова – в главе I, в главе II, в Заключении и в Приложениях. Поэтому ссылка на какую-либо формулу в тексте книги, не сопровождаемая указанием страницы или номера параграфа, отсылает читателя к формуле с соответствующим номером в той же главе (причем самостоятельными главами считаются также Введение, Заключение и Приложения); во всех остальных случаях наряду с номером формулы обязательно указывается параграф книги, в котором эта формула приведена, или страница, на которой она напечатана.

В основу книги положено содержание лекции, которую я прочел в 1956/57 учебном году учащимся двух старших классов московских школ – участникам Школьного математического кружка при Московском государственном университете. В 1963/64 учебном году эта лекция в несколько расширенном виде была повторена в ряде выступлений перед учащимися восьмых классов, посещавшими Вечернюю математическую школу при МГУ; эти выступления были подытожены зачетом, который сдало несколько десятков школьников. Некоторое отражение в настоящей книге нашел также (менее элементарный и значительно больший по объему) специальный курс "Принципы относительности и неевклидовы геометрии", прочитанный автором некогда в МГПИ им.В.И.Ленина.

Приятная обязанность автора каждой книги состоит в том, чтобы поблагодарить лиц, которые ему помогли. Я рад исполнить здесь этот долг и выразить искреннюю признательность Г.Б.Гуревичу, дружеская критика которого бесспорно пошла на пользу этой книге. Традиционной уже для моих книг становится глубокая благодарность их редактору Ф.И.Кизнер, помощь которой в подготовке окончательного варианта книги я склонен ценить весьма высоко. Наконец, я не могу не отметить того огромного труда, который вложила М.С.Королева в изготовление эскизов чертежей – без ее помощи, и энтузиазма настоящая книга вряд ли бы смогла увидеть свет.

Март 1967 г.

Об авторе

Яглом Исаак Моисеевич

Выдающийся советский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Свердловский университет в 1942 г.; учился в аспирантуре переехавшего тогда в Свердловск Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова под руководством заведующего кафедрой дифференциальной геометрии В. Ф. Кагана. Преподавал математику в различных вузах, в том числе в МГУ имени М. В. Ломоносова и Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина.

Будучи блестящим ученым, педагогом и популяризатором науки, И. М. Яглом написал более 40 книг, многие из которых стали классическими не только в нашей стране, но и за рубежом. Он один из соавторов знаменитого трехтомника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И. М. Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследовались связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества.