Колмогоров А.Н.✫★★Ак Основные понятия теории вероятностей Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие к первому изданию

Целью предлагаемой работы является аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Ведущей мыслью автора было при этом естественное включение основ теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеобразными, в ряд общих понятий современной математики. До возникновения лебеговой теории меры и интеграла эта задача была почти безнадежна. После исследований Лебега стала ясной аналогия между мерой множества и вероятностью события, а также между интегралом от функции и математическим ожиданием случайной величины. Эта аналогия допускает и дальнейшее продолжение: так, например, многие свойства независимых случайных величин вполне аналогичны соответствующим свойствам ортогональных функций. Для того чтобы, исходя из этой аналогии, обосновать теорию вероятностей, следовало еще освободить теорию меры и теорию интегрирования от геометрических элементов, которые еще имелись у Лебега. Это освобождение было осуществлено Фреше.

Попытки построения основ теории вероятностей, исходящие из этой общей точки зрения, уже имеются, и весь круг идей, излагаемых здесь, уже успел приобрести известную популярность в узком кругу специалистов; однако отсутствовало полное и свободное от излишних усложнений изложение всей системы (подготовляется, впрочем, к печати книга Фреше, см. Frechet [2]).

Я хотел бы еще указать здесь на те места в дальнейшем изложении, которые выходят за пределы упомянутого выше круга идей, уже достаточно знакомого в общих чертах специалистам. Эти места следующие: распределения вероятностей в бесконечномерных пространствах (глава третья, § 4), дифференцирование и интегрирование математических ожиданий по параметру (глава четвертая, § 5) и особенно теория условных вероятностей и математических ожиданий (глава пятая). Следует при этом отметить, что все эти новые понятия и проблемы с необходимостью возникают при рассмотрении вполне конкретных физических задач).

Шестая глава содержит обзор отдельных результатов А Я. Хинчина и автора, касающихся условий применимости простого и усиленного закона больших чисел. В списке литературы приведены некоторые но-вые работы, представляющие интерес с точки зрения вопросов обоснования теории вероятностей.

Приношу свою сердечную благодарность А. Я. Хип-чину, внимательно прочитавшему всю рукопись и предложившему целый ряд улучшений.

Предисловие ко второму изданию

С первого немецкого издания этой книжки прошло сорок лет. Было решено, тем не менее, не подвергать ее существенной переработке. А. Н. Ширяевым и мною внесены небольшие усовершенствования изложения. Модернизированы некоторые обозначения. Для некоторых теорем § 3 – 5 главы VI даны доказательства, отредактированные А. Н. Ширяевым по моим работам 1925–1930 годов. В современных учебниках эти теоремы обычно доказываются с помощью аппарата характеристических функций. Мои первоначальные доказательства прямыми, элементарными средствами, может быть, сохраняют некоторый интерес.

Намеченные в § 2 первой главы взгляды на пути обоснования применимости аксиоматической теории вероятностей к реальным задачам были развиты мною подробно в [1]. Но и здесь оставались невыясненными причины того, почему мы так часто встречаемся на практике с устойчивостью частот. Новый подход к этому вопросу был мною намечен в [2] и [3] (см. также [4]):

[1] Монография «Математика, ее содержание, методы и значение», изд. АН СССР 1956, глава XI.

[2] А. Н.Колмогоров, Три подхода к определению понятия "количество информации", Проблемы передачи информации, т. I, вып. 1 (1965).

[3] А. Н. Колмогоров, К логическим основам теории информации и теории вероятностей, Проблемы передачи информации, т. V, вып. 3 (1969).

[4] А. К. 3вонкини Л. А. Левин, Сложность конечных объектов и обоснование теории информации и случайности с помощью теории алгоритмов, Успехи математических наук, том 25, вып. 6 (1970).

Отмечу специально те вопросы, по которым читателю следует особенно настоятельно рекомендовать сопоставление изложения, данного в этой книжке, с более современным.

1. В § 1 главы V дано определение условной вероятности Р (А|£), где £ – случайный элемент некоторого множества X, т. е. отображение Q в X. С этим отображением можно связать алгебру всех принадлежащих F полных прообразов подмножеств множества X.[ ...]

2. Результаты § 4 главы III широко употребляются, но не дают непосредственно приемлемых распределений в имеющих реальный интерес функциональных пространствах (см. об этом на стр. 46).

Об авторе

Выдающийся советский математик, академик АН СССР (1939). Родился в 1903 г. в Тамбове. В 1925 г. окончил Московский университет, профессором которого работал с 1931 г. Заведовал различными кафедрами, был деканом механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Был одним из организаторов школьных математических кружков и олимпиад при МГУ, инициатором создания физико-математической школы-интерната при МГУ (1963).

А.Н.Колмогоров – автор классических работ по теории функций действительного переменного, теории множеств, топологии, конструктивной логике, функциональному анализу, механике, теории алгоритмов, теории информации. Основополагающее значение имеют его результаты в области теории вероятности. Широко известна его деятельность по разработке методики и организации математического образования. А.Н.Колмогоров был председателем Московского математического общества, почетным доктором зарубежных университетов, иностранным членом многих академий и научных обществ, кавалером правительственных наград. Лауреат Государственной премии СССР (1941), Ленинской премии (1965) и многих международных премий.