КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Постников М.М. Вариационная теория геодезических
Id: 230805
 

Вариационная теория геодезических. Изд.2

URSS. 2017. 250 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-9710-4797-1.
Книги с пометкой "В печати" можно добавлять к заказу. Их стоимость и доставка не учитываются в общей стоимости заказа. Когда они поступят в продажу, мы обязательно уведомим Вас.

В настоящей книге излагаются основания вариационного исчисления "в целом" или, точнее, той его части, которая известна как теория Морса. Подробно, с расчетом на начинающих, изложено доказательство теоремы Ботта (редукции основных задач теории геодезических к теории гладких функций) и некоторых связанных с ней вопросов. Первые три главы посвящены изложению основ римановой геометрии в удобной для читателя форме; в отличие от стандартных курсов, риманова геометрия (вместе с необходимыми сведениями из теории гладких многообразий и пространств аффинной связности) излагается в инвариантной бескоординатной форме. Эти главы могут служить для независимого изучения основ римановой геометрии как в локальном, так и в глобальном ее аспектах.

Книга рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям математических специальностей вузов. Она может служить учебным пособием по различным курсам математического анализа, дифференциальной геометрии и топологии в университетах и педагогических институтах.


Содержание

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие к первому изданию.................. 5 I. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1. Гладкие предмногообразия................ 9 2. Гладкие многообразия.................. 12 3. Открытые подмногообразия, ^-свойство......... 15 4. Векторные поля..................... 23 5. Векторные поля на координатных окрестностях...... 25 6. Векторы......................... 30 7. Линейные дифференциальные формы........... 34 8. Ковекторы........................ 37 9. Тензорные поля..................... 40 10. Тензоры. Умножение тензоров и тензорных полей .... 43 11. Свертывание тензоров и тензорных полей........ 47 12. Кривые и поверхности.................. 49 13. Продолжение тензорных полей.............. 54 14. Подмногообразия............,...,...«, 58 15. Произведения многообразий............... 65 II. ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 1. Аффинные связности................... 68 2. Тензоры кривизны и кручения.............. 70 3. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой . . . * . 72 4. Параллельный перенос вдоль кривой.......... . 78 5. Ковариантное дифференцирование тензорных полей . . . „ 81 6. Геодезические...................... 88 7. Нормальные окрестности................. 91 8. Теорема Уайтхеда.................... 97 9. Дифференциальные формы связности........... 100 10. Уравнения Картана.................... 103 III. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1. Существование и единственность римановой связности . . 106 2. Риманов тензор кривизны................ 110 3. Дифференциальные формы связности и метрический тензор 112 4. Длина кривой...................... 115 4 СОДЕРЖАНИЕ 5. Внутренняя метрика................... 118 6. Кратчайшие....................... 120 7. Нормальные выпуклые окрестности......... . . . 124 8. Лемма о сходимости................... 126 9. Полные римановы пространства ............. 129 10. Условия полноты римановых пространств......... 133 IV. ВАРИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 1. Геодезические как линии стационарной длины...... 137 2. Вторая вариация длины дуги геодезической........ 143 3. Якобиевы вариации и поля Якоби............ 146 4. Сопряженные точки................... 151 5. Кусочно гладкие и разрывные векторные поля...... 156 6. Минимальные векторные поля.............. 160 7. Существование минимальных полей............ 164 8. Ломаные поля Якоби................... 168 9. Теорема об изоморфизме................. 173 10. Квадратичная форма Морса............... 177 11. Вычисление индекса точки с помощью формы Морса . . . 181 12. Вычисление индекса интервала с помощью формы Морса . 184 13. Квадратичная форма Ботта. Окончательная формулировка теорем об индексах...........' ... 1 .... 191 ДОБАВЛЕНИЕ ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ 1. Вторая квадратичная форма подмногообразия....... 200 2. Фокальные точки.................... 205 3. Вычисление индекса ................. 210 4. Доказательство неравенства (4) .............. 218 V. ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ 1. Формулировка теоремы.................. 223 2. Замечания к формулировке теоремы редукции...... 227 3. Непрерывность отображений аир............. 231 4. Завершение доказательства теоремы редукции...... 237 5. Обобщенная теорема редукции.............. 242 6. Сравнение пространства й с пространством й......с 244

Об авторе
Постников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.