Постников М.М. Теория ГОМОТОПИЙ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ.
Лекции по алгебраической топологии. Книга 2. Кн.2. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Настоящая книга является непосредственным продолжением книги "Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий". Напомню, что в указанной книге была отражена лишь первая часть курса по теории гомотопий, который я неоднократно читал для студентов и аспирантов МГУ. Вторая его часть (которая и отражена в предлагаемой читателю книге) состоит из 9 лекций.

В лекции 1 (бывшей в курсе лекцией 11) вводится и изучается категория клеточных пространств. Более хлопотно доказываемые свойства клеточных пространств (локальная стягиваемость и паракомпактность) вынесены в Дополнение.

В лекции 2 на основе обычной техники гладкой аппроксимации доказывается n-связность пар (X, Хⁿ) и теорема о клеточной аппроксимации. В качестве приложения доказывается теорема Фрейденталя с обычными следствиями. В заключение рассматриваются свойства антиподальных отображений. В Дополнении после изложения основных понятий теории симплициальных пространств теорема об аппроксимации доказывается в ее симплициальном варианте. В этом же Дополнении на основе техники симплициальных аппроксимаций пространств доказывается теорема о счетности множества [X, У], анонсированная в лекции 0 "Основ теории гомотопий".

В лекции 3 категория клеточных пространств сравнивается с категорией всех пространств (теорема о том, что любое топологическое пространство слабо гомотопически эквивалентно клеточному пространству). Здесь же доказывается теорема Уайтхеда о гомотопических эквивалентностях. Дополнение к этой лекции посвящено теоремам представимости (Брауна, Адамса и Хеллера).

На этом общая теория клеточных пространств временно прерывается, и со следующей лекции мы обращаемся к теории гомотопических операций.

В лекции 4 излагаются общие теоремы о гомотопических операциях (вытекающие из представимости гомотопических групп), характеризуются аддитивные операции и вводится умножение Уайтхеда. В лекции 5 обсуждается обобщенное умножение Уайтхеда и доказываются его алгебраические свойства (косокоммутативность, билинейность и тождество Якоби). В Дополнении к лекции 5 доказывается теорема Хилтона-Милнора о гомотопических группах букетов надстроек.

Геометрические свойства, умножения Уайтхеда обсуждаются в лекции 6. Там же вводится инвариант Хопфа и его обобщения по Уайтхеду. Методом Уайтхеда вычисляется инвариант Хопфа конструкции Хопфа и, в частности, инвариант Хопфа отображений Хопфа. В Дополнении вводятся и изучаются инварианты Хопфа, обобщенные по Хилтону. В частности, обсуждается левый дистрибутивный закон для композиционного умножения.

В лекции 7 мы, возвращаясь на время к клеточным пространствам, доказываем теорему Блейкерса и Масси о вырезании для триад и на ее основе-теорему Фрейденталя для любых связных пространств.

В лекции 8 доказывается "трудная часть" теоремы Фрейденталя и вычисляются группы pi_{n +1}Sⁿ и pi_{n +2}Sⁿ В вычислении последней группы ключевую роль играет тот факт, что элемент nu_n nu_{n + 1} группы pi_{n +2}Sⁿ отличен от нуля. "Современное" доказательство этого факта основывается на теории когомологических операций. Поскольку этот путь нам пока недоступен, мы вынуждены изложить прямое геометрическое доказательство, предложенное в свое время Дж. Уайтхедом.

Материал заключительной лекции 9 концентрируется вокруг вопроса о влиянии на гомотопические группы pi_n приклеивания клеток. При n = 1 мы получаем известное описание образующих и соотношений фундаментальных групп клеточных пространств, что, в частности, позволяет доказать для этих пространств теорему Зейферта-ван Кампена в ее классической формулировке. При n > 1 вводятся убивающие пространства, строятся пространства Эйленберга-Маклейна и вычисляется группа pi_n (Xⁿ, Х^{n + 1}) (на этой основе и будет в следующем семестре построена теория гомологии). В Дополнении к этой лекции вкратце рассматриваются трехмерные многообразия и их фундаментальные группы.

Принципы составления библиографии и указания авторов теорем сохранены прежними (см. Предисловие к "Основам теории гомотопий").

При ссылках на лекции из "Основ теории гомотопий" их номера сопровождаются римской цифрой I.

Об авторе

Постников Михаил Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.