Сенатов В.В. Центральная предельная теорема:
Точность аппроксимации и асимптотические разложения. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Одним из основных утверждений, которое доказывается во всех достаточно подробных курсах теории вероятностей, является центральная предельная теорема (ЦПТ), открытая А.де Муавром в первой половине XVIII в., переоткрытая П.Лапласом в начале XIX в., и которая (в современном виде) утверждает, что при достаточно широких условиях распределение суммы большого числа независимых случайных величин близко к нормальному закону. Этот факт имеет огромное значение в приложениях теории вероятностей, поскольку он позволяет заменять очень сложные распределения сумм случайных величин, а они достаточно часто встречаются на практике, нормальными законами, работа с которыми не вызывает трудностей.

Сложность вычисления распределений сумм независимых случайных величин обусловлена, главным образом, тем, что простой операции суммирования независимых случайных величин соответствует очень сложная операция свертки их распределений. Это обстоятельство приводит к тому, что, за редкими исключениями, даже зная функции распределения слагаемых, мы не можем вычислить в явном виде функцию распределения их суммы. Дополнительные сложности при вычислении сверток обусловлены тем, что результат сворачивания распределений, которые выражаются через элементарные функции, может не выражаться через суперпозиции элементарных функций. В тех же исключительных случаях, когда выражения для распределений сумм независимых случайных величин удается вычислить в явном виде, они часто оказываются непригодными для численных расчетов изНза того, что их сложность растет с ростом числа слагаемых, и прямые численные расчеты этих выражений становятся невозможными уже для сумм нескольких десятков слагаемых, а во многих задачах, возникающих в практической деятельности, приходится иметь дело с суммами многих сотен и тысяч слагаемых.

Именно этими обстоятельствами и обусловлена актуальность ЦПТ, основываясь на которой мы можем заменять точное распределение суммы независимых случайных величин, обычно нам недоступное, его нормальным приближением. При этом оказывается, что для применения ЦПТ нет необходимости знать точные выражения для распределений исходных суммируемых величин, достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих распределений. Понятно, однако, что заменяя точное распределение суммы случайных величин нормальным законом, мы неизбежно совершаем некоторую ошибку, в связи с чем возникают два вопроса.

Первый из них – какую именно ошибку мы допускаем, заменяя точное распределение суммы случайных величин его нормальным приближением? Так мы приходим к вопросу о точности аппроксимации в ЦПТ или, как иногда говорят, к задаче об оценке скорости сходимости в ЦПТ. Этой задаче посвящены главы 1–3, которые предназначены, главным образом, для студентов и аспирантов, изучающих теорию вероятностей. Здесь доказывается знаменитая теорема Берри–Эссеена и подробно обсуждается задача о связи между скоростью сходимости в ЦПТ и значениями моментов суммируемых случайных величин. Это – самые известные задачи обширной и традиционной тематики теории вероятностей, развитие которой началось с двух работ А.М.Ляпунова, появившихся на рубеже XIX и XX вв. и которая на протяжение всего XX в. привлекала внимание сотен исследователей. Оценкам точности нормальной аппроксимации посвящены тысячи работ и обзор лишь важнейших результатов в этой области теории вероятностей может составить предмет отдельной монографии. По этой причине мы остановились в главах 1–3 только на двух упомянутых задачах. При изложении результатов, связанных с этими задачами, основное внимание уделялось простоте и прозрачности рассуждений, а не точности оценок (в смысле точности значений постоянных, которые в них участвуют).

Теорема Берри–Эссеена является, в некотором смысле, неулучшаемым результатом, который имеет очень широкую область применения, однако точность нормальной аппроксимации, которую она гарантирует, невысока. В частности, из одной нижней оценки абсолютной постоянной, входящей в теорему Берри–Эссеена, следует, что для того, чтобы в случае суммирования независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным третьим моментом гарантировать точность нормальной аппроксимации порядка 0,001, количество слагаемых в суммах, распределения которых мы приближаем нормальным законом, должно составлять сотни тысяч.

В связи с этим возникает второй из упомянутых вопросов. Будем рассматривать нормальный закон как первое приближение распределения суммы независимых случайных слагаемых и зададимся вопросом о том, нельзя ли к нормальному закону добавить какие-либо величины (стремящиеся к нулю при росте количества слагаемых в суммах) с тем, чтобы точность аппроксимации распределения суммы была выше, чем та, что мы имеем при аппроксимации только нормальным законом? Так мы приходим к задаче об асимптотических разложениях в ЦПТ, их построение, вместе с явными оценками точности аппроксимации, которую они обеспечивают, и составляет основной предмет данной монографии.

В четвертой и пятой главах книги излагаются новые результаты, связанные с асимптотическими разложениями в ЦПТ.

В четвертой главе рассматривается случай гладких, а в пятой – решетчатых распределений. И в четвертой, и в пятой главах рассматриваются разложения как в локальной, так и в интегральной ЦПТ. При этом в четвертой главе основное внимание уделяется асимптотическим разложениям для плотностей распределений, поскольку асимптотические разложения для функций распределения очень просто получаются из соответствующих разложений для плотностей (при этом существование самих плотностей не требуется). В пятой главе, напротив, мы совсем немного внимания уделяем асимптотическим разложениям в локальной ЦПТ (это связано с тем, что асимптотические разложения для величин скачков функции распределения можно получать почти как следствия разложений для плотностей гладких распределений), основная часть главы 5 связана с асимптотическими разложениями для функций распределения, при этом используется одна формула обращения, которая, по-видимому, является новой.

Асимптотические разложения в ЦПТ появились в начале XX в., на всем его протяжении они привлекали внимание многочисленных исследователей, получивших важные результаты, однако подавляющее большинство этих результатов обладало одним недостатком – оценки точности, которую гарантируют эти разложения, нельзя было доводить до численных значений. Асимптотические разложения с явными оценками остаточных частей появились лишь в последние годы. Несколько слов об истории их появления сказано в Заключении.

Основная цель данной монографии – продемонстрировать новые подходы к построению асимптотических разложений с явными оценками точности, которую они гарантируют, и показать, к каким конкретным результатам приводят эти подходы. По-видимому, в настоящее время рано говорить о какой-то "теории" асимптотических разложений и, наверное, можно считать результаты, полученные в книге, лишь некой коллекцией утверждений, к которым можно относиться примерно также, как физики относятся к экспериментально установленным фактам. Однако, каждый такой "экспериментальный факт" представляет собой строго доказанное утверждение, которое можно применять в практических расчетах. Варьирование упомянутых подходов и их сочетания приводят к новым асимптотическим разложениям и к новым оценкам остаточных частей этих разложений. Для многих распределений нормированных сумм независимых случайных величин можно применять различные разложения. Вопрос о выборе оптимального из этих разложений в настоящее время является открытым. Более того, может случиться, что при суммировании растущего числа случайных величин стоит изменять асимптотические разложения, аппроксимирующие распределения этих сумм, или менять свободные параметры, от которых зависит величина остаточной части разложения.

Для некоторых асимптотических разложений оценки их остаточных частей имеют очень громоздкий вид. Тем не менее, эти разложения включены в книгу по двум причинам. Первая из них состоит в том, что мы хотим показать конкретные результаты, к которым приводит тот или иной подход, а вторая связана с тем, что программная реализация вычислений этих остаточных частей на ЭВМ не вызывает больших трудностей.

В книге всюду рассматриваются распределения сумм независимых одинаково распределенных действительных случайных величин и используется, за редкими исключениями, метод характеристических функций. Различные разделы книги связаны довольно слабо, и их можно читать независимо друг от друга, обращаясь к другим разделам лишь по мере необходимости. Так, часть II практически не зависит от части I. Сказанное не относится только к главе 5, для понимания которой необходимо знакомство хотя бы с некоторыми результатами из главы 4.

Для удобства читателя доказательства большинства утверждений проводятся независимо друг от друга. В связи с этим нам пришлось пойти на некоторые повторы как в их формулировках, так и в доказательствах. Одна из целей, которую преследовал автор, состояла в том, чтобы каждый шаг в доказательствах сделать почти тривиальным. Для чтения книги требуется только общее знакомство с методом характеристических функций. Все другие необходимые сведения, например, определение и свойства многочленов Чебышева–Эрмита, приводятся в книге с достаточно подробными доказательствами. Нумерация формул в каждом параграфе – своя, это не должно привести к недоразумениям.

Научные интересы автора во многом сформировались под влиянием В.М.Золотарева. Интерес В.М.Золотарева к работе автора, за что автор ему искренне благодарен, был одним из основных ее стимулов.

Об авторе

Сенатов Владимир Васильевич

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Родился в 1951 г. Окончил Московский физико-технический институт и аспирантуру Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Ученик В. М. Золотарева. С 1973 г. занимается задачами о точности аппроксимации в предельных теоремах теории вероятностей и смежными вопросами. Автор более 50 статей и двух монографий: «Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах» (1997, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 215) и «Normal Approximation: New Results, Methods and Problems» (1998, VSP, Utrecht, the Netherlands, etc.).