Арнольд В.И.Ак, Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики

Оглавление

Предисловие авторов

В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлений затронуты в значительно меньшей степени, авторы стремились изложить в первую очередь "рабочий" аппарат классической механики. Этот аппарат содержится, в основном, в главах 1, 3, 5 и 6.

Глава 1 посвящена основным математическим моделям классической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем. Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике.

В главе 3 обсуждаются группы симметрий механических систем и отвечающие им законы сохранения. Там же изложены различные аспекты теории понижения порядка систем с симметриями, часто использующейся в приложениях.

Глава 4 посвящена вариационным принципам и методам классической механики. Они позволяют, в частности, получить нетривиальные результаты о существовании периодических траекторий. Особое внимание уделено случаю, когда область возможности движения имеет непустую границу. Указаны приложения вариационных методов к теории устойчивости движения.

Глава 5 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравнений движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указаны разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих "золотой фонд" классической динамики. Материал этой главы используется в главе 6, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики – теории возмущений. Основная задача теории возмущений – исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый "принцип усреднения") возникли в небесной механике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 5 и 6 примыкает глава 7, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравнений движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в главе 6. Классическим вопросам небесной механики посвящена вторая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, классификация финальных движений задачи 3-х тел, содержится анализ столкновений и вопросы регуляризации в общей задаче $n$ гравитирующих точек, различные предельные варианты этой задачи. С точки зрения теории возмущений задача $n$ тел обсуждается в главе 6. Элементы теории колебаний механических систем изложены в главе 8.

Последняя глава 9 посвящена тензорным инвариантам уравнений динамики. Это тензорные поля в фазовом пространстве, инвариантные относительно фазового потока. Они играют существенную роль как в теории точного интегрирования уравнений движения, так и при их качественном анализе.

Книга значительно расширена по сравнению с ее предыдущими изданиями (ВИНИТИ, 1985 г.; Шпрингер, 1988, 1993, 1997 гг.). Добавлены гл.4 о вариационных принципах и методах (п.4.5 в ней написан С.В.Болотиным), гл.9 о тензорных инвариантах уравнений динамики, гл.2 о динамике в пространствах постоянной кривизны, пп.1.10 и 4.7 гл.6 о переходах через сепаратрису, п.3.5 гл.6 о диффузии без экспоненциально малых эффектов (написан Д.В.Трещевым), п.3.7 гл.6 о теории КАМ для маломерных торов (написан М.Б.Севрюком), п.4.3 гл.6 об адиабатических фазах, п.6.3 гл.7 о топологических препятствиях к интегрируемости в многомерном случае, п.6.4 гл.7 об эргодических свойствах динамических систем с многозначными гамильтонианами, п.5.3 гл.8 о влиянии гироскопических сил на устойчивость. Существенно расширены п.1.7 гл.6 о влиянии отдельного резонанса, п.3.4 гл.6 о диффузии медленных переменных (при участии С.В.Болотина и Д.В.Трещева). Сделан ряд других добавлений. В этой работе очень большую помощь оказали С.В.Болотин, М.Б.Севрюк и Д.В.Трещев, которым авторы выражают свою глубокую признательность.

Наш текст, конечно, не претендует на полноту. Он также не является учебным пособием по теоретической механике: в нем практически отсутствуют подробные доказательства. Основное назначение нашей работы – познакомить читателя с классической механикой в целом – как с классическими, так и с самыми современными ее аспектами. Необходимые доказательства, а также более подробные сведения читатель найдет в книгах и оригинальных работах по этому предмету, указанных в конце данного издания.

Об авторе

Арнольд Владимир Игоревич

Выдающийся математик, академик АН СССР (РАН). Родился в Одессе, в семье известного математика и методиста И. В. Арнольда. В 1959 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук (1963). До 1987 г. работал в университете; с 1965 г. — профессор. С 1986 г. работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова. В 1990 г. был избран действительным членом Академии наук СССР (с 1991 г. — Российская академия наук). Президент Московского математического общества (1996). Член многочисленных иностранных академий и научных обществ, лауреат многих отечественных и зарубежных премий в области математики, обладатель ряда почетных докторских степеней в зарубежных университетах.

В. И. Арнольд — автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений, функционального анализа, теоретической механики, теории динамических систем, теории катастроф. В 20 лет, будучи учеником выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова, он показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта (1957). Он был одним из создателей теории Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ-теории), ветви теории динамических систем, изучающей малые возмущения почти периодической динамики в гамильтоновых системах и родственных им случаях. Автор десятков теорем, лемм, гипотез, задач и т. д., применимых в самых разных областях математики; основатель большой научной школы. Многие из его учебников и монографий были неоднократно переизданы и переведены на различные языки мира.