КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Постников М.М. Теорема Ферма: Введение в теорию алгебраических чисел
Id: 228450
 
199 руб.

Теорема Ферма: Введение в теорию алгебраических чисел. № 133. Изд.2

URSS. 2017. 128 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-9710-4635-6.

Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не случайно, а диктуется логикой решения конкретной задачи. Одна из целей книги --- убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства.

Изложение в книге ведется концентрически, с тем чтобы читатель, даже с минимальной подготовкой (например, школьник), мог усвоить основные идеи.

Книга предназначена школьникам старших классов (в ее первых главах), студентам, учителям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте.

История теоремы Ферма.............. . 7

Ферма и его работы по теории чисел. — Теорема Ферма. —• Премия Вольфскеля и «ферматисты»., — Замечание Грюнерта. — Эйлер, Ламе, Куммер. — Теоремы Куммера. — Теорема Ванди-вера. — Первый случай теоремы Ферма. — Жермен, Лежандр, Вендт. —• Первый случай теоремы Ферма после Куммера.

§ 1. Теорема Жермен................18

Предварительные замечания. — Лемма о произведении п-к сте­пеней. — Формулы Абеля.. — Сравнения. — Доказательство теоремы Жермен, — Следствия.

§ 2. Теорема Ферма для показателя 4.........27

Случай показателя 2. — Доказательство теоремы Ферма для показателя 4.

§ 3. Теорема Ферма для показателя 3.........31

Лемма Эйлера. — Вывод теоремы Ферма для показателя 3 из леммы Эйлера*

§ 4. Арифметика кольца D3...........•  . 34

Эйлерово «доказательство» леммы. — Обсуждение.— Кольцо Оъ и поле Кз. 1 Норма. — Единицы колец. — Простые элементы. —¦ Разложение на простые множители. — Арифметика в кольцах. —• Кольца главных идеалов. — Евклидовы кольца. — Алгоритм деле­ния в кольце D3< —- Доказательство леммы Эйлера.

Приложение. Об арифметике многочленов  .... 49

Неприводимые многочлены. —« Неприводимые многочлены и мно­гочлены меньшей степени.

§ 5. Поле Кі и кольцо Di..............50

Неприводимость многочлена деления круга. — Поле . — Норма. — Кольцо 1)^. —Число Я и его свойства.

§ 6. Единицы кольца Di........ •......60

Корни из единицы, содержащиеся в кольце — Веществен­ные единицы — Лемма Куммерав

§ 7. ГЕ ер бы й случай теореми Ферма

66

Вспомогательное утверждение. — Вывод первого случая тео­ремы Ферма из Вспомогательного утверждения. Доказательство Вспомогательного утверждения в случае, когда в кольце ?>/ выполнена основная теорема арифметики.

Свободные коммутативные моноиды. — Кольца, допускающие теорию дивизоров. — Дивизоры в кольцах с однозначным разложе­нием на множители. —¦ Классы дивизоров. — Регулярные простые числа. — Доказательство Вспомогательного утверждения для регу­лярных простых чисел^

§ 9. Второй случай теоремы Ферма.......... 79

Предварительные замечания, я- Доказательство теоремы Фер­ма для регулярных показателей,

Примеры идеалов.«— Идея Дедекинда. — Моноид идеалов. -* Кольца, аддитивная группа которых является решеткой. — Кольца, алгебраически вкладываемые в поле С. Конечность числа классов идеалов. — Целозамкнутые кольца, — Свойства идеалов. — Идеалы как дивизоры. — Необходимость условия целозамкнутости.

Приложение. Норма идеала..........103

Сравнения по модулю идеала. — Сравнение по взаимно про­стым модулям. — Идеалы, порожденные двумя элементами. — Норма идеала. — Индекс. — Пересечение идеалов. — Мультиплика­тивность нормы,— Норма главного идеала. — Критерий простоты идеала.

§ 11. Целые алгебраические числа..........,110

Поле алгебраических чисел в кольцо целых алгебраических чисел. — Поля конечной степени. — След. — Целозамкнутость коль­ца       — Дивизоры  в произвольных полях алгебраических чисел.

Первообразные корни. — Первый и второй множители числа классов. — Редукция ко второму множителю, — Числа Бернулли.— Критерий регулярности Кум мера.

§ 8. Теория дивизоров

73

§ 10. Теория идеалов

86

§ 12. Регулярные простые числа


Об авторе
Постников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.

Страницы