КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций
Id: 228323
 
779 руб.

Введение в общую теорию множеств и функций. Изд.2

URSS. 2017. 416 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-4622-6.

Вниманию читателей предлагается классическое учебное пособие, написанное выдающимся советским математиком, академиком АН СССР П.С.Александровым и посвященное общим вопросам теории множеств и функций. Более элементарные главы (первая, вторая, четвертая и пятая) образуют сами по себе связное целое и могут служить курсом теории множеств и теории функций действительного переменного в высших педагогических учебных заведениях. В остальных главах можно найти богатый материал для факультативных занятий студентов вузов.

Книга предназначена для студентов физико-математических и педагогических факультетов высших учебных заведений, преподавателей, аспирантов, научных работников.

§ 1. Понятие множества............... 13

§ 2. Подмножества. Операции  надмножествами  ... 14 § 3. Взаимно однозначное соответствие между множе­ствами. Отображение одного множества на другое.

Разбиение множества на подмножества...... 18

§ 4. Теоремы о счётных множествах......... 25

§ 5. Понятие об упорядоченном множестве...... 31

§ 6. О сравнении мощностей............. 36

Глава вторая.  Действительные числа....... 44

§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа 44 § 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верх­няя и нижняя грани. . • •........... 48

§ 3. Действия над действительными числами..... 54

§ 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби.

Мощность континуума . ............ 60

Глава   третья    Упорядоченные и вполне упорядо­ченные множества. Трансфинитные числа  ... 67

§ 1. Упорядоченные множества............ 67

§ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных мно­жеств ...................... 73

§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных мно­жествах ..................... 79

§ 4. Счётные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома

произвольного выбора.............. 88

§ 5. Теорема Цермело................ 99

§ 6. Теоремы о кардинальных числах......... 107

§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфина-лен данный порядковый тип - * ¦ * ? . * * * г , 118

Глава четвёртая. Множества на прямой и на пло­скости ..................... 123

§ 1. Простейшие определения и примеры....... 123

§ 2. Дальнейшие предложения теории точечных мно­жеств. Открытые и замкнутые множества на прямой 128

§ 3. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Кан-

торово совершенное множество......... 133

§ 4. Общие теоремы о совершенных множествах на пря­мой. Точки конденсации............. 143

§ 5. Ограниченные множества; теоремы Больцано-Вейер-

штрасса, Кантора и Бореля-Лебега; теорема Коши 150

§ 6. Замечания о множествах, расположенных на пло­скости ..................... 159

§ 7. Множества F9 и  G6; множества первой и второй

категории.................... 163

Глава пятая.  Действительные функции одного дей­ствительного переменного............ 170

§ 1. Непрерывность и пределы функций. Элементарные

свойства непрерывных функций......... 170

§ 2. Точки разрыва первого и второго рода. Точки по­правимого разрыва............... 184

§ 3. Монотонные функции.............. 189

§ 4. Функция с ограниченным изменением...... 193

§ 5. Последовательности функций; равномерная и не­равномерная сходимость............. 201

§ 6. Вопрос об аналитическом изображении функций; тео­рема Вейерщтрасса; понятие о классификации Бэра 206

§ 7. Производная................... 215

§ 8. Правая и левая производные; производная прини­мает все промежуточные значения; верхняя и ниж­няя производные................ 219

§ 9. Пример непрерывной функции, не имеющей произ­водной ни в одной точке............. 228

Глава  шестая.   Точечные множества в метрических

пространствах................. 226

§1. Определение метрического пространства...... 226

§ 2. Евклидовы пространства; замечание о метрическом

произведении; гильбертово пространство ...... 228

§ 3. Элементарные предложения теории точечных мно­жеств ...................... 233

§ 4. Замкнутые множества метрического пространства  . 237 § 5. Открытые множества метрического пространства jf?. Внутренние точки   множества  относительно про­странства R................... 239

§ 6. Борелевские множества. . * *.......... 244

§ 7. Замкнутые и открытые в данном множестве Е под­множества множества Е............. 249

§ 8. Множества, всюду плотные и нигде не плотные

в данном пространстве.............. 250

§ 9. Связность.................... 256

§ 10. Некоторые  замечания   об открытых множествах

евклидовых пространств............. 264

§ 11. Пространства со счётной базой......... 267

§ 12. Непрерывные отображения............ 278

§ 13. Теорема  о продолжении  непрерывных функций,

заданных на замкнутых множествах....... 284

Прибавление   к   главе   шестой: Топологиче­ские пространства............... 287

Глава седьмая. Компактные и полные пространства 312

§ 1. Компактность в данном   пространстве  и компакт­ность в себе.................. 312

§ 2. Непрерывные отображения компактов...... 320

§ 3. Связность в компактных пространствах..... 330

§ 4. Компакты как непрерывные образы канторова со­вершенного множества.............. 349

§ 5. Определение и примеры полных метрических про­странств .................... 351

§ 6. Пополнение метрического пространства ....... 357

§ 7. Простейшие   свойства   полных   метрических про­странств' .................... 362

§ 8. Компактность и полнота.  Теорема Урысона о по­гружении.................... 3S4

§ 9. Локально компактные метрические пространства . 369 § 10. Множества, являющиеся одновременно множествами

Fa и Gb в компактных метрических пространствах • 374

Прибавления к главе седьмой......... 380

Первое прибавление: Бикомпактные пространства 380

Второе   прибавление: О квазиравномерной сходи­мости........................ 406


Об авторе
Александров Павел Сергеевич
Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Родился в 1896 г. в Богородске (ныне Ногинск). Окончил Московский государственный университет в 1917 г. Доцент МГУ с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. был президентом Московского математического общества.

П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Он также получил много значительных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников — такие известные математики, как академики АН СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов, академик АН Грузинской ССР Г. С. Чогошвили.


Страницы