|
Оглавление
Предисловие | Предисловие ко второму изданию | Основные обозначения | Глава I. | МЕРА | | § 1. | Классы множеств | | § 2. | Произведение полуколец | | § 3. | Последовательности множеств. Монотонные классы | | § 4. | Порожденные кольца ( алгебры, sigma-кольца, ...) | | § 5. | Функции множеств | | § 6. | Мера | | § 7. | Примеры мер | | § 8. | Некоторые свойства меры на кольце | | § 9. | Внешняя мера. Множества, измеримые относительно внешней меры | | § 10. | Построение внешней меры с помощью произвольной положительной функции множества | | § 11. | Теорема о продолжении меры | | § 12. | Полные меры. Пополнение меры | | § 13. | Мера Лебега на прямой | | § 14. | Мера Лебега – Стилтьеса на прямой | | § 15. | Мера Лебега в пространстве Rm | | § 16. | Пример неизмеримого по Лебегу множества | | § 17. | Теоремы о приближении | | § 18. | О единственности продолжения меры | Глава II. | ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ | | § 19. | Введение. Терминология и обозначения | | § 20. | Определение измеримой функции. Простейшие примеры | | § 21. | Последовательности измеримых функций | | § 22. | Эквивалентные функции | | § 23. | Арифметические операции над измеримыми функциями | | § 24. | Сходимость по мере. Теорема А.Лебега | | § 25. | Теорема Ф.Рисса | | § 26. | Почти равномерная сходимость. Теорема Д.Ф.Егорова | | § 27. | Фундаментальность по мере. Связь с почти равномерной сходимостью и со сходимостью по мере | | § 28. | Теоремы Н.Лузина и М.Фреше | Глава III. | ИНТЕГРАЛ | | § 29. | Простые функции | | § 30. | Интеграл. Суммируемые функции | | § 31. | Простейшие свойства интеграла | | § 32. | Аддитивность и счетная аддитивность интеграла | | § 33. | Теорема Б.Леви о монотонной сходимости | | § 34. | Интеграл и эквивалентность функций | | § 35. | Представление измеримой функции в виде предела последовательности простых функций | | § 36. | Интеграл от суммы функций | | § 37. | Условие суммируемости функции. Почленное интегрирование рядов | | § 38. | Теорема П.Фату | | § 39. | Теоремы о носителе суммируемой функции | | § 40. | Приближение конечного интеграла интегралом по множеству конечной меры | | § 41. | Теорема А.Лебега о мажорируемой сходимости | | § 42. | Абсолютная непрерывность интеграла | | § 43. | Теоремы Д.Витали о предельном переходе под знаком интеграла | Глава IV. | ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР | | § 44. | Произведение мер | | § 45. | Сравнение интегралов Римана и Лебега | | § 46. | Критерий А.Лебега интегрируемости по Риману | | § 47. | Связь "плоской" меры множеств с "линейными" мерами его сечений | | § 48. | Геометрический смысл интеграла по мере | | § 49. | Теоремы Л.Тонелли и Г.Фубини | | § 50. | Интегрирование комплексных функций | Глава V. | ОБОБЩЕННЫЕ МЕРЫ | | § 51. | Обобщенные меры. Разложение по Хану | | § 52. | Абсолютная непрерывность. Теорема И.Радона – О.Никодима | Глава VI. | ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ | | § 53. | Замена переменной в интеграле по мере | | § 54. | Замена переменной в интеграле Лебега в Rm | Глава VII. | ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ | | § 55. | Предметрические и метрические пространства | | § 56. | Сепарабельность и полнота | | § 57. | Пространство S(T, А, mu) измеримых функций | | § 58. | Преднорма и норма в векторном пространстве | | § 59. | Пространство Lp(T, А, mu), р > 1, суммируемых функций | | § 60. | Пространство Loo(T, А, mu) измеримых в существенном ограниченных функций | Литература | Предметный указатель | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В учебное пособие включены основные вопросы общей теории меры в абстрактном множестве и интегрирования, знание которых необходимо студентам, получающим университетское математическое образование. Это тот материал, на который опираются многие разделы таких фундаментальных курсов, как функциональный анализ, теория вероятностей, математический анализ, уравнения математической физики.
Пособие содержит общие свойства мер, вопросы продолжения и единственности, теории измеримых функций, включая вопросы сходимости и приближения непрерывными функциями (теоремы Лебега, Рисса, Егорова, Лузина, Фреше), теорию интеграла по мере с теоремами о предельном переходе Леви, Фату, Лебега, Витали; свойства зарядов и теорему Радона–Никодима; произведение мер и теоремы Тонелли и Фубини. Включены также (с учетом пожелания коллег) вопросы, связанные с функциональными пространствами S, Lp, О < p оо (сходимость, сепарабельность, полнота).
Отметим некоторые особенности построения курса.
Во всем курсе основное внимание уделено мерам в абстрактном пространстве, меры Лебега в Rm и Лебега–Стилтьеса в R, рассматриваются как частные случаи меры. Продолжение меры проводится по схеме Каратеодори с полукольца на sigma-алгебру с незначительным изменением в формулировке условия измеримости (чисто по педагогическим соображениям). Интеграл от положительной функции определяется с помощью простых минорант и естественным образом продолжается на допустимые измеримые функции. Этот способ представляется нам вполне естественным, достаточно простым и наглядным и к тому же быстро приводит к цели в случае произвольной меры. При изучении основных свойств интеграла не приводит к дополнительным трудностям.
Несколько иным способом, чем это сделано, например, в известном руководстве Б.З.Вулиха [4], определяется внешняя мера на классе множеств, не покрываемых счетными наборами элементов полукольца. Это приводит к продолжению меры, в общем случае отличному от "стандартного" из [4], но дает один и тот же класс измеримых множеств и несколько расширяет класс суммируемых функций (хотя это и не имеет принципиального значения). Несколько отличается от принятого во многих руководствах изложение вопросов о геометрическом смысле интеграла и о произведении мер.
К традиционным теоремам о предельном переходе под знаком интеграла (Леви, Фату, Лебега) мы добавили еще более общую теорему Витали (в отечественной литературе этот вопрос в абстрактном варианте обычно не освещается). Даны некоторые применения последней к функциональным пространствам Lp.
В целях стимулирования самостоятельной работы студентов в пособие включено достаточное количество упражнений разной степени сложности. Иногда в них содержится используемый в последующем изложении материал. Эти задачи, естественно, считаются обязательными для обсуждения и решения. Впрочем, некоторые из них позже, перед теоремами, в доказательстве которых они применяются, приведены с решениями. Большое число задач читатель найдет в книгах И.П.Натансона [10], П.Халмоша [20], а также в задачниках [21–25].
В комментариях даются иллюстрирующие примеры и контрпримеры, показывающие границы применимости утверждений, обсуждаются возможные обобщения.
Автор приносит искреннюю благодарность С.В.Распоповой, проделавшей большую и нелегкую работу при оформлении рукописи (компьютерный набор).
Во втором издании исправлены допущенные в первом издании ошибки и сделаны некоторые дополнения и небольшие изменения в доказательствах.
Автор искренне благодарен рецензентам книги: доктору физико-математических
наук профессору Ю.Н.Фролову, доктору физико-математических
наук профессору Б.М.Макарову, кандидату физико-математических
наук профессору В.Н.Алексюку, кандидату физико-математических
наук доценту В.А.Попову, а также кандидату физико-математических
наук доценту М.С.Бичегкуеву (г.Владикавказ)
за внимание к работе, поддержку и полезные советы. Автор благодарен
за большую помощь при подготовке второго издания ведущему инженеру
кафедры математического анализа Е.А.Лазаревой.
Элементы теории меры являются в настоящее время неотъемлемой частью всех курсов высшей математики, ориентированных на подготовку инженеров-исследователей, не говоря уже о специалистах по чистой и прикладной математике. Это объясняется как значением общей теории интегрирования в таких разделах математики как математическая физика и функциональный анализ, так и той ролью, которую теория меры играет в теории вероятностей.
Вместе с тем, книг, которые являлись бы введением в теорию интегрирования и предназначались бы не слишком искушенным читателям, весьма немного. Надо также иметь в виду, что классические книги И.П.Натансона "Теория функций вещественной переменной", А.Н.Колмогорова и С.В.Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа" и Б.З.Вулиха "Краткий курс теории функций вещественной переменной" ориентированы прежде всего на будущих специалистов-математиков, Кроме того, все они написаны более тридцати лет назад и не могут отражать происшедших с тех пор изменений подходов и акцентов в преподавании. Опубликованная недавно монография энциклопедического характера В.И.Богачева "Теория меры" явно не предназначена для первоначального знакомства с предметом. Поэтому издание компактного и содержательного пособия по теории меры и интеграла, доступного для студентов младших курсов и вместе с тем написанного на достаточно высоком уровне, остается актуальной задачей. Рецензируемая книга представляет собой один из достаточно удачных возможных вариантов решения этой задачи. Привлекательной ее стороной является то обстоятельство, что она отражает многолетний преподавательский опыт автора.
При сравнительно небольшом объеме в ней нашлось место не только для общих схем теории меры, но и для более частных вопросов, связанным с интегралом Лебега (геометрический смысл интеграла как меры подграфика, замена переменной при диффеоморфизме и др.). Следует отметить включение в книгу важных теорем Лузина и Витали. Автору удалось также проиллюстрировать важность рассматриваемых в первых главах общих понятий на примере изучения пространств суммируемых функций. Все доказательства проводятся в книге весьма ясно, полно и последовательно.
Сказанное позволяет заключить, что издание книги А.Г.Порошкина весьма желательно. По своему содержанию пособие вполне соответствует принятым в настоящее время университетским программам, и поэтому было бы целесообразным издание книги с грифом Министерства образования Российской Федерации.
Теория меры и интеграла – важная составная часть университетского математическое образования, на ней базируются такие важные курсы, как теория вероятностей, функциональный анализ, дифференциальные уравнения математической физики. Однако, специальных книг, как самостоятельных учебных пособий, посвященных именно вопросам интегрирования по мере в абстрактном пространстве, в настоящее время найти трудно: имеется книга П.Халмоша, но она издана давно, в 1953 г, да и как учебник для студентов он не очень подходит, Кроме того, в некоторых частях эта книга устарела, за прошедшие 50 лет подходы к некоторым вещам существенно пересмотрены. Изданная в 1996 г. Сыктывкарским Университетом книга А.Г.Порошкина хоть и была встречена положительно преподавателями и студентами, но она была выпущена небольшим тиражом и давно уже разошлась.
Обычно вопросы интегрирования по мере включаются как составная часть в руководства по другим курсам: функциональному анализу, теории вероятностей, но там эти вопросы излагаются как аппарат и не всегда студенту легко в полной мере овладеть основными положениями теории меры.
Рецензируемое пособие А.Г.Порошкина может в значительной мере заполнить этот пробел. В нем излагается общая теория меры и интеграла в абстрактном пространстве: общие свойства мер, вопросы продолжения и единственности, теория измеримых функций, включая классические вопросы сходимости и приближения непрерывными функциями (теоремы Лебега, Рисса, Егорова, Лузина, Фреше). Меры Лебега в Rm и Лебега–Стилтьеса в R рассматриваются, как частные случаи абстрактной меры, но им также уделено достаточно внимания.
Из возможных (эквивалентных) вариантов определения интеграла по мере автор выбрал вариант, предложенный в классической работе С.Сакса "Теория интеграла", а позже использованный в известном руководстве по математическому анализу У.Рудина. Он имеет ряд преимуществ по сравнению с другими: достаточно нагляден, не требует поэтапного распространения на более широкие классы мер или функций и приводит к цели "за один шаг". Уделено внимание важным вопросам о предельном переходе под знаком интеграла. Кроме теорем Леви, Фату, Лебега включена также важная теорема Витали и даны ее применения к функциональным пространствам Lp (в отечественной литературе эти вопросы обычно не освещаются). Подробно изучены вопросы посвященные произведению мер, кратному интегрированию, связи интегралов Римана и Лебега, критерию Лебега интегрируемости по Риману. Ранее эти вопросы приходилось искать в различных источниках, что доставляло определенные трудности для студентов.
Все предложения в пособии приведены с доказательствами, наиболее трудные вопросы изложены достаточно подробно, доказательства тщательно продуманы и проведены удачно. К сложным теоремам дается план доказательства или обсуждение вопроса на интуитивном уровне, способствующие лучшему усвоению основных идей строгих построений. Вообще, в пособии имеются удачные методические находки, что несомненно может облегчить работу студента. Написано четким языком, изложение в "легких" местах сжатое, но не в ущерб доступности. Упражнения, имеющиеся почти в каждом параграфе, призваны стимулировать самостоятельную работу студента и способствовать лучшему усвоению материала. Иногда в эти упражнения выносится относительно простой теоретический материал, имеющий вспомогательный характер и используемый в дальнейшем изложении. Это позволяет разгрузить материал от второстепенных деталей, хотя и используемых в основном тексте, и акцентирован, внимание на более важных моментах.
Книга А.Г.Порошкина "Теория меры и интеграла" несомненно будет полезным пособием для студентов-математиков государственных университетов. Она будет полезна и студентам педагогических институтов, также изучающих интеграл Лебега, хотя и в меньшем объеме. Ее содержание соответствует принятым университетским программами поэтому целесообразно ее переиздать с грифом Министерства образования и науки Российской Федерации.
Первое издании книги было выпущено с грифом Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию, но небольшим тиражом. Оно быстро разошлось и имело положительную оценку специалистов.
В рецензируемом учебном пособии А.Г.Порошкина подробно изложены основные вопросы общей теории меры и интеграла в абстрактном пространстве. Это – тот круг вопросов, на котором основываются такие разделы математики, как функциональный анализ, теория вероятностей, математическая физика. Работа предназначена в основном для студентов математических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, однако она будет полезной и для специалистов, использующих в своих исследованиях аппарат теории меры.
В первой части работы описываются основные классы множеств и свойства мер, доказывается основная теорема о продолжении меры с полукольца на sigma-алгебру (использован метод Каратеодори), выясняются условия единственности продолжения. Приведены конкретные примеры мер и их продолжений, в числе которых важнейшие в приложениях меры Лебега в евклидовых пространствах и меры Лебега–Стилтьеса на прямой. Для продолжения меры автором предложен новый подход к определению внешней меры на классе 2T, отличный от известных. Быть может, он не во всем оказывается выигрышным, но в то же время является менее искусственным по сравнению с предложенным, например, в известной книге Б.З.Вулиха. Даются примеры мер, допускающих различные продолжения на одну и ту же sigma-алгебру.
Во второй части изучаются свойства измеримых функций на абстрактных пространствах с мерой, вводятся различные типы сходимости (почти всюду, по мере, почти равномерно) и выясняются их взаимосвязи. Кроме традиционно включаемых в этот раздел теорем Лебега и Рисса с подробными доказательствами даны также важные теоремы Д.Ф.Егорова, Н.Н.Лузина, М.Фреше.
Теория интегрирования по мере, кроме основных свойств интеграла, содержит также вопросы кратного интегрирования, геометрического истолкования интеграла по мере, связь с интегралом Римана в пространстве Rm, замены переменной, теории зарядов и абсолютной непрерывности, предельного перехода под знаком интеграла. При этом наряду с классическими теоремами Леви, Фату, Лебега доказана также теорема Витали. Обычно в имеющейся учебной литературе некоторым из перечисленных вопросов уделяется недостаточно внимания (например, той же теореме Витали) и их включение в рецензируемое пособие следует считать весьма полезным.
Специальная глава посвящена изучению метрических пространств измеримых функций S, Lp, р > 0, Loo, а также метрической структуры пространства с субмерой. Для каждого из них решены такие вопросы, как критерий метрической сходимости, критерий сепарабельности, полнота.
Несмотря на сравнительно небольшой объем пособия, автору удалось включить в него довольно большой материал с подробным изложением ряда трудных вопросов. Предложены новые конструкции и оригинальные доказательства (построение внешней меры, метрическая структура пространства с субмерой, метрическая сходимость в Lp и связь с теоремой Витали; теоремы о полноте в пространств Lp и получены как простые следствия более общей теоремы, доказательство которой проще известных доказательств для Lp или Loo; теорема Витали в общем случае пространств с мерой и др.). Из возможных вариантов определения интеграла по мере автор дал предпочтение выгодному в методическом отношении определению "по Саксу" (использующему интегралы от простых минорант).
Имеется большое количество примеров и контрпримеров, а также упражнений разной степени трудности, решение которых будет полезным в целях самоконтроля за усвоением материала.
Считаю, что "Теория меры и интеграла" А.Г.Порошкина будет полезным учебным пособием для студентов-математиков университетов и педагогических институтов, а также для аспирантов и специалистов в области теории функций и смежных дисциплин. В отдельных вопросах оно дополняет известные руководства по теории функций и функциональному анализу Б.З.Вулиха, И.П.Натансона, Д.Н.Колмогорова и С.В.Фомина, Л.В.Канторовича и А.Г.Акилова.
Пособие заслуживает переиздания с грифом Министерства образования и науки Российской Федерации. Первое его издание, выпущенное Сыктывкарским государственным университетом в 1996 г. с грифом Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию, было положительно оценено специалистами.
Александр Григорьевич ПОРОШКИН
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Сыктывкарского государственного университета. Окончил физико-математический факультет Коми государственного педагогического института и аспирантуру при Ленинградском государственном педагогическом институте им.А.И.Герцена. Отличник народного просвещения РСФСР, почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации. Заслуженный деятель науки Республики Коми, лауреат премии Правительства Республики Коми в области образования. Сфера научных исследований А.Г.Порошкина – теория упорядоченных пространств и теория меры. Автор 13 учебных пособий (из них 4 в соавторстве), в числе которых "Теория меры и интеграла" (3-е изд. М.: URSS, 2012) и "Теория рядов" (М.: URSS, 2009).