Гельфонд А.О.

Решение уравнений в целых числах. Изд.стереотип.

Оглавление

Предисловие

В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ. Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н.М.Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа.

Книга доступна школьникам старших классов.

Введение

Теория чисел изучает в основном арифметические свойства чисел натурального ряда, другими словами, -- целых положительных чисел, и принадлежит к числу старейших отделов математики. Одной из центральных задач так называемой аналитической теории чисел является задача о распределении простых чисел в натуральном ряде. Простым числом называется любое целое положительное число, большее единицы, делящееся без остатка только на себя и единицу. Задача о распределении простых чисел в натуральном ряде заключается в изучении правильности поведения количества простых чисел, меньших некоторого числа $N$, при больших значениях $N$. Первый результат в этом направлении мы находим еще у Евклида (IV век до н.э.), именно доказательство бесконечности ряда простых чисел; второй результат после Евклида был получен великим русским математиком П.Л.Чебышевым во второй половине XIX века. Другая основная задача теории чисел -- это задача о представлении целых чисел суммами целых чисел определенного типа, например, проблема представления нечетных чисел суммой трех простых чисел. Последняя проблема, проблема Гольдбаха, была решена крупнейшим современным представителем теории чисел -- советским математиком И.М.Виноградовым.

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена также одному из наиболее интересных разделов теории чисел, а именно, -- решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (II--III век н.э.) и лучшие математики более близкой к нам эпохи -- П.Ферма (XVII век), Л.Эйлер (XVIII век), Ж.Л.Лагранж (XVIII век) и другие. Несмотря на усилия многих поколений выдающихся математиков, в этой области отсутствуют сколько-нибудь общие методы типа метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова, позволяющего решать самые различные проблемы аналитической теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

Решение уравнений в целых числах имеет не только теоретический интерес. Такие уравнения иногда встречаются в физике.

Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с многими проблемами теории чисел. Кроме того, элементарные части теории таких уравнений, изложенные в данной книге, могут быть с успехом использованы для расширения математического кругозора учащихся средней школы и студентов педагогических институтов.

В этой книге изложены некоторые основные результаты, полученные в теории решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в ней, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

Об авторе

Гельфонд Александр Осипович

Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В. В. Степанов и А. Я. Хинчин. С 1931 г. — профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, а с 1938 г. — заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.

Основные научные интересы А. О. Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А. О. Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А. О. Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.