Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел --- решению уравнений в целых числах. Она была написана известным отечественным математиком А.О.Гельфондом на основе лекции, прочитанной им на математической олимпиаде в МГУ. Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с многими проблемами теории чисел. Кроме того, элементарные части теории таких уравнений, изложенные в данной книге, могут быть с успехом использованы для расширения математического кругозора учащихся средней школы и студентов педагогических институтов. Однако решение уравнений в целых числах имеет и практический интерес --- такие уравнения иногда встречаются в физике.
В книге изложены некоторые основные результаты, полученные в теории решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в ней, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.
Книга будет полезна студентам математических и физических специальностей, а также учащимся старших классов общеобразовательной школы.
Предисловие |
Введение |
1. | Уравнения с одним неизвестным |
2. | Уравнения первой степени с двумя неизвестными |
3. | Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными |
4. | Уравнения вида x2 - Ay2 = 1. Нахождение всех решений этого уравнения |
5. | Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными |
6. | Уравнения с двумя неизвестными степени выше второй |
7. | Алгебраические уравнения степени выше второй с тремя неизвестными и некоторые показательные уравнения |
Предметный указатель |
В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная
мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ. Я пользуюсь здесь случаем
выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту
Н.М.Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть
третьего параграфа.
Книга доступна школьникам старших классов.
А.Гельфонд
Теория чисел изучает в основном арифметические свойства чисел
натурального ряда, другими словами, -- целых положительных чисел,
и принадлежит к числу старейших отделов математики. Одной из центральных задач
так называемой аналитической теории чисел является задача о распределении
простых чисел в натуральном ряде. Простым числом называется любое
целое положительное число, большее единицы, делящееся без остатка только
на себя и единицу. Задача о распределении простых чисел в натуральном ряде
заключается в изучении правильности поведения количества простых чисел, меньших
некоторого числа $N$, при больших значениях $N$. Первый результат в этом
направлении мы находим еще у Евклида (IV век до н.э.), именно доказательство
бесконечности ряда простых чисел; второй результат после Евклида был получен
великим русским математиком П.Л.Чебышевым во второй половине XIX века.
Другая основная задача теории чисел -- это задача о представлении целых чисел
суммами целых чисел определенного типа, например, проблема представления
нечетных чисел суммой трех простых чисел. Последняя проблема, проблема
Гольдбаха, была решена крупнейшим современным представителем теории чисел --
советским математиком И.М.Виноградовым.
Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена также одному
из наиболее интересных разделов теории чисел, а именно, -- решению уравнений
в целых числах.
Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более
чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории
чисел. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности,
например греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский
математик Диофант (II--III век н.э.) и лучшие математики более близкой
к нам эпохи -- П.Ферма (XVII век), Л.Эйлер (XVIII век), Ж.Л.Лагранж
(XVIII век) и другие. Несмотря на усилия многих поколений выдающихся
математиков, в этой области отсутствуют сколько-нибудь общие методы типа метода
тригонометрических сумм И.М.Виноградова, позволяющего решать самые
различные проблемы аналитической теории чисел.
Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений
второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени
с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса,
так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для
уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна
не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более
простая задача установления существования конечного или бесконечного множества
таких решений.
Решение уравнений в целых числах имеет не только теоретический интерес. Такие
уравнения иногда встречаются в физике.
Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти
уравнения тесно связаны с многими проблемами теории чисел. Кроме того,
элементарные части теории таких уравнений, изложенные в данной книге, могут
быть с успехом использованы для расширения математического кругозора учащихся
средней школы и студентов педагогических институтов.
В этой книге изложены некоторые основные результаты, полученные в теории
решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в ней, снабжены
доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.
Гельфонд Александр Осипович
Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В. В. Степанов и А. Я. Хинчин. С 1931 г. — профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, а с 1938 г. — заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.
Основные научные интересы А. О. Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А. О. Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А. О. Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.