Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Настоящее пособие посвящено решению задач прикладной теории упругости. Поглавно материал расположен в порядке возрастающей сложности – от методов расчета плоской гибкой нити до расчета пространственных систем: внутри глав изложение дано от общего к частному.

В каждой главе приведены принятые рабочие гипотезы, упрощающие расчетные уравнения для рассматриваемого геометрического тела, после чего приводятся преимущественно точные методы общего и частного решения этих уравнений. Для получения общего решения широко используются специальные функции. Частный интеграл системы неоднородных дифференциальных уравнений находится методом вариации произвольных постоянных (из общего решения системы однородных уравнений) или его интерпретации, методом начальных условий. При решении задачи методами комплексной переменной частный интеграл находится из уравнений более низкого порядка [см. уравнение (6.80)]. Расчетные системы уравнений приведены для правой системы координат.

В пособии помещены задачи прикладного характера, имеющие применение в инженерной практике, многие из них доведены до числовых результатов. Помещены в основном решенные задачи, а для самостоятельного решения указаны различные их варианты, отличающиеся нагрузкой или краевыми условиями, для которых даны ответы, ссылки на источники или указания к решению. Решения даны как с упругими постоянными Е, nu, так и с lambda, mu = G (см. условные обозначения).

При изложении каждого вопроса даются ссылки на ограниченное число источников, где, по мнению автора, рассматриваемый вопрос изложен наиболее просто, поэтому приводимый перечень литературы не претендует на полноту.

В работе использованы также личные исследования автора: уравнения (2.14), (2.3)–(2.38), (2.41)–(2.43), (2.53), (2.54), (3.86), (3.101), (3.148), (3.170)–(3.186), (6.50), (6.128), (6.170); уравнения задач (2.5), (2.10), (3.6), (ЗЛО), уравнения (ж) задачи 6.6.

В первой главе излагаются методы решения задач прикладной теории упругости, при этом основное внимание уделяется вариационным и прямым методам.

Вторая глава посвящена расчету плоской и пространственной (задача 2.10) гибкой нити с учетом и без учета удлинения оси. Большое внимание уделяется расчету гибкой растяжимой нити по деформированному состоянию. Рассмотрены колебания гибкой нити в линейной и нелинейной постановках задачи.

Расчет сплошного пространственного и плоского стержней рассматривается в третьей главе. Приведены геометрические уравнения пространственной и плоской кривых и алгоритмы расчета стержней на прочность, жесткость и устойчивость при статической и динамической нагрузках.

Расчет тонких пластинок на прочность, устойчивость и колебания рассмотрен в четвертой главе.

Технические теории расчета толстых плит и их применение к инженерным задачам излагаются в пятой главе. В главе рассмотрены как силовые, так и температурные воздействия на толстые плиты.

Шестая глава посвящена расчету тонких оболочек на основе гипотез Кирхгофа–Лява. В ней рассмотрены моментная, полумоментная, и безмоментная теории расчета на прочность, устойчивость и колебания. Приведены расчеты пологих оболочек на действие нагрузки и температуры. Особое внимание уделено цилиндрическим оболочкам и оболочкам вращения.

В седьмой главе рассмотрены технические теории расчета на прочность толстых оболочек.

Расчету призматических пространственных рам по методу В. 3. Власова посвящена восьмая глава.

В девятой главе приводятся приближенные методы расчета массивных тел. Большое внимание уделяется дискретному методу Л.П.Винокурова, удобному для решения многих инженерных задач.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов строительных специальностей вузов, но может быть также полезно при прохождении университетского курса теории упругости. Кроме того, практическая направленность приведенных задач делает эту работу полезной для аспирантов, преподавателей и работников проектных организаций строительной промышленности.

Автор глубоко признателен д-ру техн. наук, проф. В.П.Малкову и коллективу кафедры теории упругости и пластичности механико-математического факультета Горьковского государственного университета им.Н.И.Лобачевского за ценные замечания, сделанные при подготовке к изданию настоящего учебного пособия.

Из главы 1. Методы решения задач прикладной теории упругости

I. Общие соображения

Общие решения основных уравнений теории упругости – Галеркина, Папковича, Нейбера и др. (см. [77, гл.4]), в которые входят произвольные гармонические, бигармонические и тригармонические функции, трудно использовать при решении конкретных задач, так как не найдено общего метода определения указанных функций из рассмотрения граничных условий.

При строгой постановке задач теории упругости встречаются значительные математические трудности и решение может быть доведено до расчетных формул, пригодных для технических приложений, в ограниченном числе случаев. Поэтому широкое применение находят различные приближенные методы решения краевой задачи прикладной (технической) теории упругости, которым и посвящается настоящая глава.

Эти приближенные методы решения можно разбить на следующие группы.

Первая группа методов характеризуется тем, что точные дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно упрощают и краевые условия, которые ставят з интегральной форме для определенных участков контура (например, вместо напряжений принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий сечения контура (например, в методе начальных функций, см. гл.7). При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются уравнения неразрывности деформаций. Задачи, решенные этими методами, приведены в первых восьми главах настоящей книги.

Ко второй группе приближенных методов относятся методы, связанные с вариационными принципами. Их называют вариационными методами. Эти методы дают возможность получать систему расчетных уравнений рассматриваемой задачи, а также приближенное решение дифференциальных уравнений, не имеющих точного решения.

Последний вопрос связан с выбором аппроксимирующих функций, удовлетворяющих краевым условиям задачи, что в известной мере является произвольным и влияет на получение окончательного результата. Не все вариационные методы допускают контроль характера (приближение сверху или снизу) и степени приближения к действительному решению.

К третьей группе приближенных методов относятся прямые методы, основанные на дифференциальных уравнениях теории упругости в частных производных, пользуясь которыми приводят краевую задачу к системе обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений.

Исходные уравнения задачи и граничные условия, в том числе и неоднородные, удовлетворяются в отдельных точках или по отдельным линиям.

Методы решения двух последних групп являются приближенными лишь условно, так как с их помощью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера–Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5).

При решении задач прикладной теории упругости может быть удобно совместное использование приближенных методов всех трех групп, что приводит к большому разнообразию приемов решения технических задач.

В настоящей главе излагаются лишь основные методы второй и третьей групп.

Установленная здесь классификация не является общепринятой. Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца–Тимошенко, Бубнова–Галеркина и др.); другие считают прямыми все приближенные методы и т.д.

Об авторе

Рекач Владимир Германович

Доктор технических наук, профессор. Известный специалист по сопротивлению материалов, строительной механике и теории упругости, выдающийся педагог. В 1931 г. окончил Московский инженерно-строительный институт им. В. В. Куйбышева, в 1935 г. — аспирантуру по кафедре строительной механики при МИСИ. С 1939 по 1946 гг. находился в рядах Советской Армии и был участником Великой Отечественной войны, закончил войну в звании капитана. В 1955 г. защитил докторскую диссертацию, в 1958 г. получил звание профессора. С 1962 по 1984 гг. — заведующий кафедрой сопротивления материалов и расчета на прочность Университета дружбы народов. Награжден орденами «Красная Звезда», «Знак Почета», орденом Дружбы Народов, а также четырьмя медалями.

В. Г. Рекач — автор 8 монографий, более 30 статей и конспектов лекций; его книги переведены на многие иностранные языки. Основные труды: «Сборник задач по курсу строительной механики» (М., 1962; совм. с Н. Л. Кузьминым и Г. И. Розенблатом), «Статический расчет тонкостенных пространственных конструкций» (М., 1975), «Расчет оболочек сложной геометрии» (М., 1988; совм. с С. Н. Кривошапко) и др.