Стеклов В.А.Ак Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Изд. 2, стереотип.

От НАУЧНОГО ОТДЕЛА ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА III Предисловие.................... VII ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ I. Предварит e льны e замечания.......... 1 Определение дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными. — Различные задачи анализа, геометрии, общей механики, астрономии и математической физики, приводящие к определению неизвестных величин при помощи дифференциальных уравнений. — Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений, об их решениях или интегралах . 1—6 II. Преобразование одних дифференциальных уравнений в другие, им эквивалентные. Нормальные системы дифференциальных уравнений первого. порядка...........4 . . . 16 Одно дифференциельное уравнение какого угодно порядка с одной неизвестной функцией. — Приведение этого уравнения к системе дифференциальных уравнений первого порядка. — Общий тип нормальных систем первого порядка. — Приведение какой угодно системы дифференциальных уравнений к одному уравнению. — Порядок системы. — Приведение какой угодно системы дифференциальных уравнений к нормальной системе первого порядка . . 16—34 III. Примеры преобразования одних уравнений в другие.................... 34 IV. Об интегралах дифференциальных уравнений. 39 Определение интеграла нормальной системы дифференциальных уравнений, число различных интегралов. — Общий интеграл и частные интегралы (или решения). — Различные свойства общего интеграла. — Примеры. — Общий интеграл одного уравнения какого угодно порядка; интегралы различных порядков, число их. — Упрощение задачи об интегрировании дифференциального уравнения, когда известно некоторое число его первых, вторых и т. д. интегралов. — Примеры. — Системы дифференциальных уравнений какого угодно порядка, их общий интеграл. — Общий интеграл Коши нор сальной системы дифференциальных уравнений..........................* . 39-86 V. Особенные решения дифференциальных уравнений ...................... 86 Особенные решения нормальной системы дифференциальных уравнений. — Особенные решения различных родов, особые группы особенных решений, добавочные особенные решения. — Различные примеры..................... 86—97 VI. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Их связь с системами обыкновенных дифференциальных уравнений............. 97 Уравнения однородные и неоднородные. — Приведение неоднородных линейных уравнений к однородным. — Нормальная система обыкновенных уравнений, эквивалентная данному линейному уравнению с частными производными первого порядка. — Общий интеграл линейного уравнения с частными производными первого порядка........................... 97—101 ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. I. Уравнения с разделенными переменными. . 102 Примеры........................... 102—105. II. Два общих приема преобразования данного уравнения в другое с разделенными переменными .................... 105 Способ множителя, способ изменения переменных. — Примеры . . 105—114 III. Главнейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых при помощи указанных выше приемов приводится к квадратурам.......... 114 Неполные уравнения. — Параметрическая форма интеграла, его геометрическое значение. — Однородные уравнения, — Однородные уравнения первой степени и уравнения к ним приводимые. — Геометрические приложения. — Линейные уравнения первого порядка (Ив. Бeрнулли), различные приемы их интегрирования; уравнения, приводимые к линейным. — Уравнение Якова Бернулли. — Уравнение Эйлера-Рикатти. — Уравнения Буля и Риккатти,— Случаи их интегрируемости в квадратурах.— Связь с уравнением Б e с с e л я.—Уравнение Якоб и.— Примеры 114—158 IV. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые по способу дифференцирования ................... 158 Уравнение Лагранжа. — Уравнение К л e р о. — Общий интеграл и особенные решения. — Геометрическое значение особенных решений. — Применение к различным задачам анализа и геометрии 158—172 V. Интегрирующий множитель Эйлера. Бесконечно малые преобразования......., 172 Общая теория интегрирующего множителя. — Уравнение, определяющее множитель. — Составление уравнений, допускающих множитель данного вида. — Множитель, зависящий от одной из переменных; множитель, равный произведению двух функций, одна из которых зависит от одной, другая от другой переменной.— Интегрирующий множитель однородного уравнения. — Общие формулы интеграла дифференциального уравнения, когда известен его интегрирующий множитель. — Бесконечно малые преобразования С. Ли и их связь с интегрирующим множителем. — Простейшие типы бесконечно малых преобразований и им соответствующие дифференциальные уравнения. — Обобщение однородных уравнений. — Бесконечно малые преобразования для уравнения Абеля и простейшие случаи его интегрирования в квадратурах . 172—199 VI. Некоторые геометрические приложения. . . 199 Задача о траекториях. — Криволинейные координаты. — Траектории для семейства парабол. — Ортогональные траектории конических сечений; эллиптические координаты. — Линии кривизны на данной поверхности и их дифференциальные уравнения в декартовых координатах и в параметрической форме. — Линии кривизны на геликоиде; случай винтовой поверхности с прямоугольной нарезкой. — Линии кривизны на поверхности вращения; случай сферы. — Асимптотические линии на данной - поверхности, их дифференциальные уравнения. — Асимптотические линии на поверхности геликоида и поверхности вращения. — Асимптотические линии на линейчатой поверхности: случай линейчатой поверхности, направляющей плоскостью которой служит одна из координатных плоскостей. — Уравнение Эйлера и его геометрическое значение. — Применение к выводу теоремы сложения аргументов для эллиптических функций.................. 199—225 VII. Об особенных решениях дифференциальных уравнений первого порядка......... 225 Способы нахождения особенных решений независимо от общего интеграла. — Критерий Коши-Пуассона отличия частного решения от особенного. — Различные примеры......... 225—237 ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО. I. Простейшие типы уравнений, интегрирование которых приводится к квадратурам или понижается их порядок преобразованием переменных ..................... 238 Уравнения, содержащие только независимую или зависимую переменную и производную от неизвестной функции порядка п. — Общий интеграл; приведение л-кратной квадратуры к простой.— Уравнения порядка я, не содержащие неизвестной функции и ее первых производных до порядка k < п. — Уравнения вида ***, их применение в динамике точки. — Уравнения, не содержащие независимой переменной. — Уравнение Лиувилля. — Уравнения однородные относительно неизвестной функции и ее производных. — Линейные однородные уравнения; связь линейного однородного уравнения с уравнением Эйлера-Рикатти. — Уравнение Лагранжа (обобщение уравнения Клeро). — Примеры..................... 238—262 II. Об особенных решениях какого угодно дифференциального уравнения порядка n..... 262 Получение особенного интеграла из общего. — Примеры .... 262—265 III. Некоторые применения предыдущей теории к геометрии и механике........... 265 Определение плоской кривой, радиус кривизны которой пропорционален длине нормали. Плоская кривая, касательные к диаметральной линии которой пересекаются в одной точке. — Погонная кривая. — Геодезические люнии. — Геодезические линии на цилиндрической поверхности и на поверхности вращения; случай сферы. — Движение материальной точки в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости, под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию точки от центра. — Движение тяжелой материальной точки по вертикали в среде, сопротивление которой пропорционально кубу скорости . 265—285 ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. I. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений ................ 286 Уравнения однородные и неоднородные. — Частные решения однородных линейных уравнений. — Совокупность независимых решений, их наибольшее число. — Существование совокупности п независимых между собою частных решений нормальной системы п линейных однородных уравнений , в промежутке изменения независимой переменной, в котором коэффициенты уравнений остаются непрерывными. — Общий интеграл нормальной системы линейных однородных уравнений. — Переход к одному линейному уравнению порядка п. — Совокупность п линейно независимых его частных решений. — Общий интеграл. — Приведение интегрирования уравнения порядка п к интегрированию линейного же уравнения порядка п — k, когда известно k линейно независимых частных его решений. — Примеры. — Полиномы Я к о б и, Лежандра и Чебышева. — Линейное сопряженное уравнение.— Преобразование независимой переменной; приложение к преобразованию линейного уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами................ 286—323 II. Линейные неоднородные уравнения. Метода изменения произвольных постоянных . . . 323 Приведение задачи к интегрированию однородного уравнения, когда известно частное решение неоднородного. — Примеры. — Общая метода Лагранжа изменения произвольных постоянных для случая одного уравнения порядка п. — Примеры .... 323—334 III. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .................... 334 Частные решения линейного однородного уравнения порядка п. — Характеристическое уравнение. — Случай простых корней.— Общий интеграл. — Случай кратных корней. — Способ Кош и восстановления частных решений, сливающихся в одно в случае кратных корней. — Способ нахождения ,/г первых интегралов линейного однородного уравнения порядка /г. — Примеры .... 334—34S IV. Системы линейных дифференциальных уравнений ....................... 345 Приведение системы п линейных однородных уравнений первого порядка к одному линейному уравнению порядка п. — Примеры. — Независимые между собою решения системы линейных однородных уравнений. — Основная система независимых решений. — Общий интеграл. — Приведение задачи к интегрированию системы п — k линейных уравнений, когда известна совокупность k независимых между собою частных решений. — Примеры из анализа и общей механики. — Системы неоднородных линейных уравнений. — Приведение задачи к интегрированию системы линейных однородных уравнений, когда известно частное решение уравнений неоднородных. — Общая метода Лагранжа изменения произвольных постоянных. — Примеры............315—366 V. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами................ 367 Интегрирование по способу Эйлера. — Характеристическое уравнение. — Случай простых корней. — Кратные корни. — Частные решения, соответствующие простым и кратным корням. — Общий интеграл. — Примеры. — Система трех линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. — Ее кинетическая интерпретация и связь с интегрированием уравнения первого порядка Я ко б и. — Пример. — С юсоб интегрирования Д'А л а м-б e р а и его применение к частным случаям. — Системы линейных уравнений не в нормаіьной форме и приемы их интегрирования............................. 367—386 VI Интегрирование дифференциальных линейных уравнений при помощи рядов........ 386 Критические точки коэффициентов линейного уравнения и его интегралов. — Разложение интеграла вблизи критических точек в бесконечные ряды по степеням независимой переменной.— Дифференциальное уравнение Б e с с e л я, его критические точки и определяющее уравнение. — Частные решения под видом рядов. — Функции Б e с с e л я первого и второго рода. — Различные уравнения второго порядка, приводимые к уравнению Бесселя преобразованием переменных. — Случаи применения ряда Маклорена. — Дифференциальное уравнение гипергеометрического ряда и его критические точки. — Определяющее уравнение для точки л; —0. Гипергеометрический ряд Гаусса . . . . 386—398 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ. I. Общие условия существования интеграла Кош и для какой угодно системы дифференциальных уравнений ................ 399 И. Метода Коши интегрирования системы однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами................ 409 III. Доказательство теорем п° 33 отдела, главы IV.. 416