Боярчук А.К. АнтиДемидович.
Т.4. Ч.2: Интегрирование в комплексной плоскости, ряды аналитических функций, аналитическое продолжение. Т.4: Функции комплексного переменного: теория и практика. Справочное пособие по высшей математике. Т.4. Ч.2. Изд. стереотип.

АнтиДемидович. Т.4. Ч.2: Интегрирование в комплексной плоскости, ряды аналитических функций, аналитическое продолжение. СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Т.4: Функции комплексного переменного: теория и практика URSS. 2023. 224 с. ISBN 978-5-9519-4039-1.

Серия: АнтиДемидович

Типографская бумага

Мягкая обложка

В наличии Т.4. Ч.1-3 в ОДНОМ ТОМЕ: более экономичное!!!!

Аннотация

Предлагаемая читателю серия книг "Справочное пособие по высшей математике" охватывает почти все разделы высшей математики.

В четвертом томе "Функции комплексного переменного: теория и практика" наряду с необходимыми теоретическими сведениями содержится свыше 370 детально разобранных примеров, в том числе повышенной сложности. Читателю также предлагается около 200 упражнений с ответами для самоконтроля. Книга является логическим... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				6
Глава 1. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона—Лейбница и Коши				8
§1. Интеграл Ньютона—Лейбница				8
1.1. Первообразная				8
1.2. Интеграл Ньютона—Лейбница				10
1.3. Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям				13
§2. Производные и интегралы Ньютона—Лейбница любых порядков				16
2.1. Определение n-производной и п-интеграла				16
2.2. Формула Ньютона—Лейбница. Производные по пределам интегрирования				19
2.3. Формула Тейлора				21
§3. Производная Ферма—Лагранжа. Формула Тейлора—Пеано				22
3.1. Производная Ферма—Лагранжа				22
3.2. Теорема Тейлора—Пеано и ее обращение				24
§4. Криволинейные интегралы				27
4.1. Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой				27
4.2. Гомотопия двух кривых (путей)				31
§5. Теорема и интеграл Коши				33
5.1. Существование локальной первообразной аналитической функции				33
5.2. Первообразная вдоль кривой (вдоль пути)				38
5.3. Теорема Коши				41
5.4. Интегральная формула Коши				52
Примеры				55
§6. Интеграл типа Коши				58
6.1. Определение и основное свойство интеграла типа Коши				58
6.2. Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части				63
6.3. Теоремы Лиувилля и Морера				65
6.4. Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши				66
6.5. Формулы Шварца и Пуассона				70
Примеры				74
Упражнения для самостоятельной работы				96
Глава 2. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки				100
§ 1. Ряд Тейлора				100
1.1. Общие сведения о рядах				100
1.2. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость				103
1.3. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда				104
1.4. Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов				109
1.5. Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда				115
1.6. Степенные ряды				121
1.7. Теорема Тейлора				127
1.8. Теорема единственности				131
Примеры				135
§ 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций				150
2.1. Теорема Лорана				150
2.2. Классификация изолированных особых точек в С				155
2.3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке				156
2.4. Бесконечная изолированная особая точка				162
Примеры				163
Упражнения для самостоятельной работы				173
Глава 3. Аналитическое продолжение				178
§1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути				180
1.1. Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения				180
1.2. Аналитическое продолжение вдоль пути				185
1.3. Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути				188
§ 2. Полные аналитические функции				191
2.1. Понятие полной аналитической функции				191
2.2. Примеры полных аналитических функций				194
2.3. Особые точки полной аналитической функции				196
2.4. Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда				198
§3. Принципы аналитического продолжения				199
Примеры				202
Упражнения для самостоятельной работы				207
Ответы				211
Литература				214
Предметный указатель				215

Предисловие

В учебной литературе, рекомендованной для изучения теории функций комплексного переменного, имеется много содержательных учебников и учебных пособий, авторами которых являются известные ученые М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, И.И.Привалов, А.И.Маркушевич, А.В.Бицадзе, М.А.Евграфов, А.Гурвиц, Р.Курант и другие. К сожалению, большинство из них не приспособлено как по объему, так и по выбору и распределению материала к учебным программам по теории функций комплексного переменного для физико-математических факультетов университетов России и других стран СНГ. Ничтожно мало написано пособий по решению задач. Начинающему преподавателю, а тем более студенту и аспиранту, нелегко выделить из объемистой книги основной материал так, чтобы образовался целостный, логически завершенный курс, отвечающий учебной программе.

Указанные выше обстоятельства натолкнули автора на мысль о необходимости написания на современном уровне требований книги, которая соответствовала бы учебным университетским программам по данному предмету, не была перегружена частностями и содержала большое количество решенных задач. В книгу включено более 370 решенных задач средней и повышенной трудности.

Характерной чертой многих книг по теории функций комплексного переменного является разнобой и нечеткость основной терминологии. Например, основное понятие аналитической функции в разных местах одной и той же книги может иметь разный смысл. Это обстоятельство принято во внимание автором, и все рассматриваемые понятия имеют вполне определенный смысл.

В первой главе первой части книги дано строгое определение функции (а не описание ее, как это принято в большинстве учебников), рассмотрены операции над множествами и основные вопросы теории метрических пространств. Без включения этого материала в книгу изложение основных вопросов на современном математическом уровне оказалось бы невозможным. Поэтому читателю будет полезно хотя бы бегло прочитать эту небольшую по объему главу для понимания остальных глав, включающих традиционные вопросы, относящиеся к теории аналитических функций, которая была создана в XIX столетии в первую очередь благодаря работам О.Коши, Г.Римана, К.Вейерштрасса.

В книге уделено большое внимание практическим вопросам конформных отображений. Новыми для читателя окажутся понятия интеграла Ньютона–Лейбница и производной Ферма–Лагранжа.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, владеющих знаниями в объеме стандартных программ по математическому анализу для студентов физико-математических специальностей университетов.

Автор

Об авторе

Боярчук Алексей Климентьевич

Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.