Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория групп и квантованные поля Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Как известно, с каждым видом частиц в квантовой теории связывается поле, квантами которого называются эти частицы. Эти два способа описания физической действительности связаны между собой, грубо говоря, преобразованием Фурье.

Частицы (и соответствующие им античастицы) должны быть описаны с помощью формализма, в котором их число может меняться; состояния такой системы частиц изображаются векторами пространства Фока, которое порождается из фиксированного вектора вакуумного состояния действием операторов рождения и уничтожения. По самому смыслу этих операторов они подчиняются простым перестановочным соотношениям, различным для бозонов и фермионов. Из этих операторов, зависящих от импульса и поляризации (проекции спина), в конкретных случаях конструируются квантованные поля, причем обычно используются соображения, подсказываемые соответствующим лагранжевым формализмом. Поля эти суть векторные функции с операторными значениями, определенные на пространстве Минковского и просто преобразующиеся под действием группы Пуанкаре.

Закон преобразования векторов состояния, т.е. описание представлений группы Пуанкаре на пространстве Фока, был найден Вигнером в 1939 г. в результате глубокого математического исследования. Равносильные ему правила преобразования операторов рождения и уничтожения довольно сложны и вошли в обиход теоретической физики не сразу. Работа Вигнера [7] и последовавшие за ней работы аналогичного содержания и до сих пор остаются труднодоступными для физиков и известны значительно меньше, чем этого заслуживает их научное значение.

Важные применения группового подхода к квантованным полям были сделаны в 1964 г. Вайнбергом. Определяя частицу по Вигнеру с помощью неприводимого унитарного представления группы Пуанкаре, поле же – с помощью "полевого" представления той же группы, заданного некоторым конечномерным представлением группы Лоренца, действующим на компоненты поля, Вайнберг установил простое и общее соотношение между операторами рождения (уничтожения) и операторами поля. Соотношение это сводится к линейному преобразованию, коэффициенты которого зависят от импульса, и к преобразованию Фурье.

Из этого общего определения связи между полями и частицами вытекает ряд замечательных следствий. Сразу же, без всякого использования динамических уравнений, находятся известные выражения электромагнитного, электронно-позитронного, нейтринного полей через операторы рождения и уничтожения их квантов. Обнаруживаются ограничения на возможные типы полей в зависимости от спина их квантов, особенно интересные в случае безмассовых частиц.

Далее такой подход позволяет с новой точки зрения понять и "уравнения движения" для свободных частиц. Оказывается, что требование неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре (включая в некоторых важных случаях пространственное отражение) естественно приводит к уравнению Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотона. Каждое из этих уравнений в рамках развитой "групповой кинематики" квантованных нолей представляет собой, по выражению Вайнберга, "простое признание того факта, что поле имеет излишние компоненты". Попутно получается и знаменитая теорема Паули о связи спина со статистикой.

Работы [5, а–г] изложены весьма сжато; в них не приняты во внимание упрощения, возникающие при замене группы Лоренца двулистной накрывающей SL (2), как это делается в спинорной алгебре. Но самым существенным препятствием для ознакомления с указанными работами начинающих (а может быть, и не только начинающих) физиков является способ построения, при котором с самого начала вводятся бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре со ссылкой на упомянутую работу Вигнера. Результаты этого трудного математического исследования в их готовом виде не кажутся нам наилучшим подходом к рассматриваемому кругу вопросов. Поэтому мы попытались изложить те же результаты в обратном порядке, отправляясь от хорошо известных свойств квантованных полей. Простой закон их преобразования при замене наблюдателя позволяет однозначно выразить квантованные поля через операторы рождения и уничтожения без использования не только динамических уравнений, но и представлений Вигнера. Более того, такой подход естественно приводит к этим представлениям.

Систематическое применение спинорной алгебры неизбежно потребовало начать книгу с ее элементарного изложения; это показалось нам тем более желательным, что такое изложение давно не появлялось на русском языке (книга [12] уже стала библиографической редкостью).

Первая часть предлагаемой книги представляет собой введение в спинорную алгебру, не предполагающее у читателя никаких сведений о группах; все необходимое излагается по мере надобности, так что физик, не владеющий групповыми методами, найдет здесь простейшие примеры их применения.

Изложение спинорной алгебры, по существу следующее классическим работам Ван дер Вардена, несколько приближено к современному математическому стилю; спинорная алгебра трактуется при этом как частный случай тензорной алгебры над комплексным векторным пространством в последовательно проведенных тензорных обозначениях. В первой части книги от читателя требуются лишь простейшие сведения о линейной алгебре и тензорах.

Для чтения второй части необходимо знание основных принципов квантовой механики систем с конечным числом степеней свободы, а также некоторое знакомство с применением квантованных полей в квантовой электродинамике. Все нужные нам свойства квантованных полей перечислены и кратко разъяснены; однако более глубокое понимание их, связанное с их ролью в динамике, в рамках этой книги не может быть достигнуто. Нам пришлось, в частности, отказаться от сколько-нибудь глубокой трактовки дискретных преобразований.

Естественно, мы не претендуем на сколько-нибудь полный охват необъятного круга вопросов, связанных с группой Пуанкаре, и ставим себе целью лишь ввести читателя в эту область. Вычислительные методы развиты лишь настолько, насколько этого требует план книги, и разобраны лишь немногие важнейшие примеры. Во всех случаях мы добивались отчетливости изложения, сознательно ограничивая себя в выборе материала.

Конечно, уровень математической строгости, которого мы придерживаемся, не может быть слишком высоким. Все относящееся к группам и их представлениям отчетливо разъясняется, но почти ничего не доказывается. Что же касается обобщенных функций, то здесь у читателя предполагается некоторый опыт работы с ними, приобретаемый при изучении квантовой механики; определения понятий лишь намечены.

Как мы надеемся, эта книга, вводящая читателя независимо от лагранжева формализма в современную кинематику квантованных полей, может послужить полезной подготовкой для изучения их динамики. Несколько трудов по квантовой теории поля и теории групп, оказавших на авторов наибольшее влияние, указаны в списке литературы [2–4, 6, 8–10].

Мы считаем приятным долгом выразить признательность коллегам, проявившим интерес к этой книге: Л.Г.Карякину, внимательно прочитавшему большую часть рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, а также А.З.Паташинскому и Б.Г.Конопельченко, с которыми обсуждались отдельные вопросы. Особо нам хотелось бы отметить внимательное отношение к книге рецензента Б.В.Медведева, критика которого весьма содействовала ее улучшению.

Об авторах

Румер Юрий Борисович

Выдающийся отечественный физик-теоретик, доктор физико-математических наук (1935), профессор. В 1924 г. окончил Московский университет. С 1929 г. работал в Геттингенском университете, где стал одним из родоначальников квантовой химии. С 1932 г. читал лекции по теоретической физике в Московском университете. С 1937 г. плодотворно сотрудничал с Л. Д. Ландау. С 1954 г. преподавал в Новосибирском педагогическом институте. В 1957 г. стал директором Института радиофизики и электроники Западно-Сибирского филиала АН СССР; позже работал в Институте ядерной физики СО РАН и Новосибирском государственном университете. Автор многих трудов по квантовой механике, оптике, физике твердого тела, статистической физике, космическим лучам, теории относительности, гидродинамике, биологии.