| Предисловие |
| Основные обозначения |
| Введение |
| Глава I.Дифференциальные уравнения первого порядка |
| | 1. | Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения |
| | 2. | О составлении дифференциальных уравнений |
| | | 2.1. | Некоторые задачи математического моделирования |
| | | 2.2. | Обратная задача теории дифференциальных уравнений |
| | 3. | Уравнения в полных дифференциалах |
| | 4. | Интегрирующий множитель |
| | 5. | Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним |
| | 6. | Однородные и приводящиеся к ним уравнения |
| | 7. | Линейные дифференциальные уравнения первого порядка |
| | | 7.1 | Уравнения, приводящиеся к линейным |
| | 8. | Нелинейные уравнения специального вида (Бернулли, Риккати, Миндинга-Дарбу) |
| | 9. | Теоремы существования и единственности задачи Коши |
| | | 9.1. | Теорема Пикара |
| | | 9.2. | Продолжение решения |
| | 10. | Уравнения, не разрешенные относительно производной |
| | 11. | Особые решения уравнений первого порядка |
| | | 11.1. | Особые решения уравнения, разрешенного относительно производной |
| | | 11.2. | Особые решения уравнения, не разрешенного относительно производной |
| | 12. | Геометрический подход к исследованию дифференциальных уравнений первого порядка |
| | 13. | Приближенные методы решения задачи Коши для уравнений первого порядка |
| | | 13.1. | Приближенные аналитические методы |
| | | 13.2. | Численные методы решения |
| Глава II. Нелинейные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений |
| | 14. | Виды нелинейных уравнений, интегрируемых в квадратурах |
| | | 14.1. | Обратная задача для уравнений высших порядков |
| | | 14.2. | Уравнения, интегрируемые в квадратурах |
| | 15. | Уравнения, допускающие понижение порядка |
| | 16. | Нормальные системы уравнений. Метод исключения |
| | 17. | Системы симметричного вида. Подбор интегрируемых комбинаций |
| Приложение 1 |
| | Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка |
| Приложение 2 |
| | Неопределенный интеграл и его свойства |
| Приложение 3 |
| | Гиперболические функции |
| Ответы к задачам |
| Список рекомендуемой литературы |
| Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков |
| | 18. | Линейно зависимые и линейно независимые функции |
| | 19. | Структура общего решения линейных уравнений п-то порядка |
| | | 19.1. | Восстановление дифференциальных уравнений по заданным частным решениям |
| | 20. | Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами |
| | 21. | Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами |
| | | 21.1. | Уравнение со специальной правой частью |
| | 22. | Метод вариаций произвольных постоянных |
| | 23. | Уравнение Эйлера и приводящиеся к нему |
| | 24. | Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами общего вида |
| | 25. | Интегрирование дифференциальных уравнений методом степенных рядов |
| | 26. | Специальные формы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка |
| Глава 4. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений |
| | 27. | Граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка |
| | 28. | Сопряженные уравнения |
| | 29. | Функция Грина граничной задачи |
| | 30. | Задача Штурма-Лиувилля |
| Глава 5. Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений |
| | 31. | Нормальные системы дифференциальных уравнений |
| | 32. | Метод Эйлера интегрирования систем линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами |
| | 33. | Исследование на устойчивость по первому приближению |
| | | 33.1. | Устойчивость по Ляпунову |
| | | 33.2. | Устойчивость по линейному приближению |
| | 34. | Подходы Ляпунова к исследованию устойчивости |
| | | 34.1. | Метод линеаризации Ляпунова |
| | | 34.2. | Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова |
| Глава 6. Уравнения в частных производных первого порядка |
| | 35. | Уравнения первого порядка от двух независимых переменных |
| | | 35.1. | Восстановление уравнения в частных производных по заданному решению |
| | 36. | Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения характеристик |
| | | 36.1. | Линейные неоднородные уравнения |
| | 37. | Квазилинейные дифференциальные уравнения |
| | | 37.1. | Задача Коши для квазилинейных уравнений |
| Глава 7. Основы математического моделирования |
| | 38. | Методика математического моделирования |
| | 39. | Фундаментальные законы природы, вариационные принципы, иерархический подход. Элементарные математические модели |
| | 40. | Форма равновесия канатов висячих мостов |
| | 41. | Уравнение сплошности (закон сохранения материи) |
| | 42. | Прямолинейное движение материальной точки |
| | 43. | Вертикальное падение тяжелых тел |
| | | 43.1. | Свободное падение тела (упрощенная модель) |
| | | 43.2. | Падение тела в среде с сопротивлением (усложненные модели) |
| | 44. | Поступательное движение тела вдоль прямой |
| | 45. | Движение тела по криволинейной траектории |
| | | 45.1. | Упрощенная модель |
| | | 45.2. | Усложненные модели, учитывающие сопротивление среды |
| | 46. | Механика тел переменной массы |
| | | 46.1. | Уравнение Мещерского |
| | | 46.2. | Реактивное движение. Формулы Циолковского |
| Ответы к задачам |
| Приложение. Единицы физических величин |
| Список рекомендуемой литературы |
Примеры учат лучше, чем теория
Исаак Ньютон
Счастлив тот, кто имеет вкус к умственным занятиям
Великий французский философ
Жюльен Офре де Ламетри
Дифференциальные уравнения – один из курсов, составляющих
основу фундаментального математического образования студентов
технических и классических университетов. Его можно
рассматривать как часть математического анализа и весьма важный
раздел математики в части приложения к проблемам естествознания
и техники. В настоящее время трудно представить себе прогресс в
получении качественных и количественных оценок процессов,
протекающих в экономике и социологии, без использования теории
дифференциальных уравнений.
Материал каждого параграфа представляет практическое задание по
одной соответствующей теме, поэтому пособие удобно использовать
как руководство для преподавателя, ведущего занятие, и для
студентов, изучающих курс. Пособие построено как сопровождение к
проведению практических занятий по материалу, изложенному в
учебниках [15-16].
При подборе задач большое внимание обращалось на те из них,
которые можно решать разными методами с целью выработки навыков
предварительного анализа сформулированных задач (примеров) и
выбора наиболее оптимальной стратегии нахождения решения. И,
конечно же, возможности проверки правильности результата.
В цели авторов входило не только желание дать студентам образцы
ре-шения и исследования важнейших классов обыкновенных
дифференциаль-ных уравнений, но и желание приобщить их к
необходимости проведения изначальной классификации видов и типов
уравнений, а также выработки стратегии построения решения. При
составлении пособия были использованы задачники и руководства по
дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова, В.В. Амелькина, А.К.
Боярчука – Г.П. Головача; А.А. Есипова – Л.И. Сазонова – В.И.
Юдовича; Н.М. Матвеева, М.А. Перестюка – М.Р. Свищука; А.А.
Самарского – А.П. Михайлова; К.К. Пономарева, А.М. Самойленко
– С.А. Кривошеи – М.А. Перестюка; Ю.С. Сикорского и др.
Авторы выражают благодарность А.В. Безусу, Г.В. Ержакову,
А.В. Литвиненко и к. ф.-м. н. Т.А. Васильеву за помощь в
подготовке и оформлении рукописи книги. Кроме того, особая
благодарность доцентам С.Н. Кудряшову и В.Н. Тышлеку за полезные
обсуждения и замечания, высказанные по тексту рукописи и
способствовавшие улучшению изложения материала.
Валерий Анатольевич ШАЛДЫРВАН (род. в 1941 г.)
Доктор физико-математических наук, профессор. В 1964 г. окончил механико-математический факультет
Ростовского государственного университета. Научная карьера началась в январе 1966 г. в отделе
математического моделирования Института прикладной математики и механики АН УССР. С марта 1971 г. – доцент, с мая 1982 г. – профессор кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого
государственного университета, с 1987 г. – заведующий кафедрой математической физики физического факультета ДонГУ,
а с 2002 г. – профессор этой же кафедры. Автор и соавтор более 150 научных работ (в том числе монографий
"Толстые многосвязные пластины", "Технология решения на ЭВМ пространственных задач теории упругости"),
8 учебных пособий ("Методы математической физики", "Дифференциальные уравнения" и др.).
Имеет авторское свидетельство "Листовая рессора", зарегистрировал в фонде алгоритмов и программ АН УССР
два программных комплекса для расчета газотранспортной сети и диспетчерского управления режимом работы сети
высокого давления (Надым, "Газпром"). С 2004 г. – заслуженный профессор Донецкого национального университета.
Кирилл Владимирович МЕДВЕДЕВ (род. в 1983 г.)
Кандидат физико-математических наук, старший
преподаватель кафедры информатики социальных
процессов социологического факультета МГУ им.яМ.В.Ломоносова.
В 2005 г. окончил механико-математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова.
Стипендиат Правительства РФ, участник международных программ РФФИ,
DFG, INTAS, лауреат всероссийских конкурсов учителей физики и математики
в 2008–2011 гг.
