| Предисловие к первому изданию |
| Предисловие ко второму изданию |
| Предисловие к третьему изданию |
| Глава I. | Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве |
| | § 1. | Одновалентные тензоры |
| | § 2. | Понятие о двухвалентном тензоре |
| | § 3. | Двухвалентный тензор как аффинор |
| | § 4. | Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра |
| | § 5. | Кососимметрические тензоры |
| | § 6. | Получение инвариантов с помощью кососимметрических тензоров |
| | § 7. | Симметрический аффинор |
| | § 8. | Разложение аффинора на симметрическую и кососимметрическую части |
| | § 9. | Тензорные поля |
| | § 10. | Дифференцирование тензора поля |
| | § 11. | Дифференцирование одновалентного тензора |
| | § 12. | Кинематическое истолкование векторного поля и его производного аффинора |
| | § 13. | Малая дефформация твердого тела |
| | § 14. | Тензор напряжений |
| | § 15. | Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций |
| | § 16. | Поток векторного поля через поверхность |
| | § 17. | Поток аффинерного поля через поверхность |
| | § 18. | Теорема Остроградского |
| | § 19. | Основные уравнения гидродинамики |
| | § 20. | Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях |
| Глава II. | Аффинное пространство n измерений |
| | § 21. | Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства. |
| | § 22. | Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства (окончание) |
| | § 23. | Аффинная координатная система |
| | § 24. | Преобразование аффинного репера |
| | § 25. | Задача тензорного исчисления |
| | § 26. | Понятие о ковариантном тензоре |
| | § 27. | Общее понятие о тензоре |
| | § 28. | Сложение тензоров |
| | § 29. | Умножение тензоров |
| | § 30. | Свертывание тензора |
| | § 31. | Операция подстановки индексов |
| | § 32. | Степень произвола в выборе тензора данного строения |
| | § 33. | Об m-мерных плоскостях в n-мерном аффинном пространстве |
| | § 34. | Бивектор и задание двумерной плоскости |
| | § 35. | Основные свойства m-векторов |
| | § 36. | Ориентация в n-мерном аффинном пространстве |
| | § 37. | Измерение объемов |
| | § 38. | Тензорные поля |
| Глава III. | Евклидово пространство n измерений |
| | § 39. | Понятие о евклидовом пространстве |
| | § 40. | Тензорная алгебра в евклидовом пространстве |
| | § 41. | Плоскости в n-мерном евклидовом пространстве |
| | § 42. | Ортонормированный репер |
| | § 43. | Собственно евклидовы пространства |
| | § 44. | Двумерное псевдоевклидово пространство |
| | § 45. | Вращение ортонормированного репера в псевдоевклидовой плоскости |
| | § 46. | Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой плоскости |
| | § 47. | Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1 |
| | § 48. | n-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1 |
| | § 49. | Ортогональные преобразования |
| | § 50. | Псевдоортогональные преобразования |
| | § 51*. | Квазиаффинная и аффинная группы преобразований |
| | § 52*. | Группа квазидвижений и группа движений в евклидовом пространстве |
| | § 53*. | Вложение вещественных евклидовых пространств в комплексное евклидово пространство |
| | § 54. | Измерение объемов в вещественном евклидовом пространстве |
| | § 55*. | Понятие о геометрическом объекте |
| | § 56*. | Линейные геометрические объекты в аффинном и евклидовом пространстве |
| | § 57*. | Спинорное пространство |
| | § 58*. | Спиноры в четырехмерном комплексном евклидовом пространстве R+4 |
| | § 59*. | Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 |
| | § 60*. | Спинорное поле и инвариантная дифференциальная операция Dlambda mu |
| Глава IV. | Математические основы специальной теории относительности |
| | § 61. | Постановка задачи |
| | § 62. | Пространство событий |
| | § 63. | Формулы Лоренца |
| | § 64. | Исследование формул Лоренца |
| | § 65. | Кривые в вещественном евклидовом пространстве |
| | § 66. | Кинематика теории относительности в геометрическом истолковании |
| | § 67. | Динамика точки |
| | § 68. | Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока |
| | § 69. | Электромагнитное поле |
| | § 70. | Уравнения Максвелла |
| | § 71. | Тензор энергии-импульса |
| | § 72. | Закон сохранения энергии и импульса |
| | § 73. | Дивергенция тензора энергии-импульса электромагнитного поля |
| | § 74*. | Волновое уравнение Дирака для свободного электрона |
| Глава V. | Криволинейные координаты в аффинном и евклидовом пространствах |
| | § 75. | Криволинейные координаты в аффинном пространстве |
| | § 76. | Тензоры в криволинейных координатах |
| | § 77. | Параллельное перенесение |
| | § 78. | Объект связности |
| | § 79. | Криволинейные координаты в евклидовом пространстве |
| Глава VI. | Многообразия |
| | § 80. | Элементарное многообразие |
| | § 81. | Тензоры в многообразии |
| | § 82. | Касательное аффинное пространство |
| | § 83. | Поверхности в многообразии |
| | § 84. | Понятие о многообразии |
| Глава VII. | Римановы пространства и пространства аффинной связности |
| | § 85. | Риманово пространство |
| | § 86. | Евклидово пространство Rn как частный случай риманова |
| | § 87. | Неевклидовы пространства |
| | § 88. | Измерение объемов в римановом пространстве Vn |
| | § 89. | Пространство аффинной связности |
| | § 90. | Геодезические линии в Ln |
| | § 91. | Геодезические координаты в пространствах аффинной связности без кручения L*n |
| | § 92*. | Изображение кривой в Ln в виде кривой в Аn |
| | § 93*. | Пространства Ln с абсолютным параллелизмом |
| | § 94. | Аффинная связность в римановом пространстве |
| Глава VIII. | Аппарат абсолютного дифференцирования |
| | § 95. | Параллельное перенесение тензоров в Ln |
| | § 96. | Абсолютный дифференциал и абсолютная производная |
| | § 97. | Техника абсолютного дифференцирования |
| | § 98. | Абсолютное дифференцирование в римановом пространстве Vn |
| | § 99. | Кривые в римановом пространстве Vn |
| | § 100. | Кривые в римановом пространстве (окончание) |
| | § 101. | Геодезические линии в римановом пространстве |
| | § 102*. | Геодезически параллельные гиперповерхности |
| | § 103. | Полугеодезические координатные системы |
| | § 104*. | Динамика системы в обычном пространстве как динамика точки в римановом пространстве |
| Глава IX. | Тензор кривизны |
| | § 105. | Тензор кривизны в Ln |
| | § 106. | Геометрический смысл тензора кривизны |
| | § 107. | Геометрический смысл тензора кривизны (окончание) |
| | § 108. | Тензор кривизны в L*n |
| | § 109*. | Проективно евклидовы пространства |
| | § 11О. | Тензор кривизны в римановом пространстве Vn |
| | § 111. | Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении |
| | § 112. | Тензор кривизны в случае двумерного риманова пространства V2 |
| | § 113. | Римановы координаты |
| | § 114. | Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении как кривизна геодезической поверхности |
| | § 115. | Смешанные тензоры на гиперповерхности Vn-1 в Vn |
| | § 116. | Теория гиперповерхностей Vn-1 в Vn |
| | § 117. | Теория гиперповерхностей Vn-1 в Rn |
| | § 118. | Пространство постоянной кривизны |
| | § 119. | Пространство постоянной кривизны Vn-1 как гиперсфера в Rn |
| | § 120. | Проективно евклидовы пространства в метрическом случае |
| | § 121. | Конформное соответствие римановых пространств |
| | § 122. | Конформно евклидовы пространства |
| Глава X. | Математические основы общей теории относительности |
| | § 123. | Пространство событий в общей теории относительности |
| | § 124. | Локально галилеевы координаты |
| | § 125. | Тензор энергии-импульса в общей теории относительности |
| | § 126. | Движение частицы в поле тяготения |
| | § 127. | Основная идея общей теории относительности |
| | § 128. | Приближенная теория |
| | § 129. | Центрально симметрическое поле тяготения |
| | § 130. | Центрально симметрическое поле тяготения (окончание) |
| | § 131. | Геодезические линии в случае центрально симметрического поля тяготения |
| | § 132. | Вращение планетных орбит |
| | § 133. | Искривление световых лучей в поле тяготения |
| | § 134. | Красное смещение спектральных линий. Заключение |
| Предметный указатель |
| Указатель обозначений |
По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем
к монографии, предназначенной для специалистов. Это сказывается
прежде всего в выборе материала: автор стремился дать лишь действительно
основное и важнейшее в рассматриваемой области, но зато
в развернутом изложении со всесторонним освещением предмета.
По характеру изложения книга должна быть вполне доступна
студенту III курса университета.
Другой характерной чертой книги являются выходы из области
тензорного анализа и римановой геометрии в механику и физику;
эти выходы автор старался указывать везде, где это было возможно.
Как известно, наиболее замечательные приложения тензорный анализ
и риманова геометрия имеют в области теории относительности;
ей посвящены IV и X главы книги.
Особую роль играет глава I; она носит как бы пропедевтический
характер и развивает тензорные методы с их приложениями к механике
и физике в простейшем (даже тривиальном) случае обычного
пространства в прямоугольных декартовых координатах. Эта глава
по уровню изложения должна быть доступна инженеру и студенту
втуза, которые пожелали бы познакомиться с элементами тензорного
анализа в минимальном объеме, необходимом для технических приложений.
Для читателя, знакомого с моей прежней книгой "Введение
в риманову геометрию и тензорный анализ", замечу, что по сравнению
с ней излагаемый материал сильно увеличился. В настоящее
время нельзя пройти мимо псевдоевклидовых и псевдоримановых
пространств (кстати, необходимых для теории относительности)
и пространств аффинной связности. Эти вопросы нашли место
в книге. На ряде примеров даны также основные идеи теории геометрических
объектов, в том числе теория спиноров в четырехмерном
пространстве. Изложение дополнено также рядом частных
вопросов, но зато фундаментального значения (как, например, теория
кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.).
Имея в виду значительный объем книги, автор отметил ряд параграфов
звездочками, что означает возможность пропустить их
без ущерба для понимания дальнейшего. Некоторые указания в этом
направлении сделаны и в тексте. При всем том чисто факультативного
материала книга не содержит, и почти все в ней изложенное
в том или ином отношении имеет в рассматриваемой области важное
значение.
В заключение мне хотелось бы выразить благодарность редактору
книги А.Ф.Лапко за его внимательное отношение к тексту
и сделанные им замечания.
Второе издание отличается от первого лишь некоторыми небольшими
добавлениями, а также редакционными изменениями. Существенно
переработаны лишь §§ 57–59 (основы теории спиноров);
здесь изложение сильно упрощено и в то же время несколько дополнено.
Третье издание практически не отличается от второго; сделаны
лишь мелкие редакционные изменения.
Рашевский Петр Константинович