| Предисловие к "Лекциям" |
| Предисловие к четырнадцатому тому |
| Глава 1. | Отправные точки |
| | 1.1. | Мир состоит из побочных результатов |
| | 1.2. | Универсализм диофантовых уравнений |
| | 1.3. | Лабиринты натурального ряда |
| | 1.4. | На стыке с комбинаторикой |
| | 1.5. | Функция Аккермана |
| | 1.6. | Арифметические гении |
| | 1.7. | Табличные представления |
| | 1.8. | О границах теории |
| | 1.9. | Великая роль обозначений |
| | 1.10. | Геометрические мотивы |
| Глава 2. | Элементы классики |
| | 2.1. | Делимость |
| | 2.2. | Простые числа как первооснова |
| | 2.3. | Основная теорема арифметики |
| | 2.4. | Целая и дробная часть |
| | 2.5. | Мультипликативные функции |
| | 2.6. | Функции Мёбиуса и Эйлера |
| | 2.7. | Арифметика вычетов |
| | 2.8. | Рядовые задачи |
| | 2.9. | Две системы вычетов |
| | 2.10. | Теоремы Эйлера и Ферма |
| | 2.11. | Алгебраическая подоплека |
| | 2.12. | Цепные дроби |
| | 2.13. | Диофантовы приближения |
| | 2.14. | Задачи для обозрения |
| Глава 3. | Теория сравнений |
| | 3.1. | Диофантовы уравнения |
| | 3.2. | Сравнения первой степени |
| | 3.3. | Алгоритм возведения в степень |
| | 3.4. | Полиномиальные сравнения |
| | 3.5. | Сравнения по простому модулю |
| | 3.6. | Теорема Вильсона |
| | 3.7. | Степенные и квадратичные вычеты |
| | 3.8. | Символы Лежандра и Якоби |
| | 3.9. | Закон взаимности |
| | 3.10. | Теорема Шевалле |
| | 3.11. | Сумма четырех квадратов |
| Глава 4. | Первообразные корни |
| | 4.1. | Суть проблематики |
| | 4.2. | Структура мультипликативной группы |
| | 4.3. | Составные модули |
| | 4.4. | Круговые поля |
| Глава 5. | Алгоритмическая неразрешимость |
| | 5.1. | Алгоритмы и вычислимость |
| | 5.2. | Перечислимость и разрешимость |
| | 5.3. | Диофантов язык |
| | 5.4. | Примитивная арифметика |
| | 5.5. | Феномен недоказуемости |
| | 5.6. | Непротиворечивость |
| | 5.7. | Универсальные нумерации |
| Глава 6. | Алгебраическая ниша |
| | 6.1. | Уход в абстракцию и возвращение |
| | 6.2. | Многочлены |
| | 6.3. | Расширения полей |
| | 6.4. | Алгебраические расширения и числа |
| | 6.5. | Теория p-адических чисел |
| | 6.6. | Квадратичные формы |
| | 6.7. | О булевых структурах |
| Глава 7. | Эффективность счета |
| | 7.1. | PNP-проблематика |
| | 7.2. | Арифметические NP-задачи |
| | 7.3. | Задачи криптографии |
| | 7.4. | Тесты на простоту |
| | 7.5. | Полиномиальный тест AKS |
| | 7.6. | О практике вычислений |
| | 7.7. | Алгоритмы факторизации |
| Глава 8. | Распределение простых чисел |
| | 8.1. | Грубые причины |
| | 8.2. | Функции Чебышева и асимптотика |
| | 8.3. | По каналам дзета-функции |
| | 8.4. | Характеры Дирихле |
| | 8.5. | Постулат Бертрана |
| Глава 9. | От Ферма до Уайлса |
| | 9.1. | Общая картина |
| | 9.2. | Дивизоры Куммера |
| | 9.3. | Эллиптические кривые |
| | 9.4. | Гипотеза Таниямы и теорема Ферма |
| | 9.5. | Конгруэнтные числа |
| Глава 10. | Определения и результаты |
| | 10.1. | Простые и составные числа |
| | 10.2. | Теория делимости |
| | 10.3. | Арифметические функции |
| | 10.4. | Сравнения и вычеты |
| | 10.5. | Алгебра и теория чисел |
| | 10.6. | Первообразные корни |
| | 10.7. | "Арифметика" многочленов |
| | 10.8. | Расширения полей |
| | 10.9. | Теория p-адических чисел |
| | 10.10. | Диофантовы уравнения |
| | 10.11. | Диофантовы уравнения и вычеты |
| | 10.12. | Цепные дроби |
| | 10.13. | Алгоритмическая неразрешимость |
| | 10.14. | PNP-проблематика |
| | 10.15. | Распределение простых чисел |
| | 10.16. | Эллиптические кривые |
| Сокращения и обозначения |
| Литература |
| Предметный указатель |
Среди миров, в мерцании светил
Одной Звезды я повторяю имя...
Не потому, чтоб я Ее любил,
А потому, что я томлюсь с другими.
И если мне сомненье тяжело,
Я у Нее одной ищу ответа,
Не потому, что от Нее светло,
А потому, что с Ней не надо света.
Иннокентий Анненский
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
1) живой учитель;
2) обыкновенный подробный учебник;
3) рядовой задачник;
4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".
До четвертого пункта у системы образования руки не доходили.
Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций
обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись,
и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая
результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог
объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе
задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
"Лекции" ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствующая
идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20
томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью
математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит
наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид,
обнаженные конструкции доказательств -- такого сорта книги
удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой
категории тратят массу сил и времени на освоение математических
секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же
ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая
быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих
"короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают
движение любыми другими путями.
В вопросе "на кого рассчитано", -- есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит
"на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации
кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается
предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения
инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые
дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало
слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то
одному. Поэтому учить всему -- надо как-то иначе. "Лекции" дают пример.
Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это про-дукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же мате-матическая суть, --
но по-другому.
Предисловие к четырнадцатому тому
Вокруг веселье хмурится,
Везде чужая улица,
Приманкою раскиданы
Магниты небылиц...
Но в петуха лишь курица
Навечно может втюриться,
В мечтах лаская идола
Из племени жар-птиц.
Теория чисел сродни Храму, где всяк входящий оставляет мирские
помыслы за порогом. Но сей пантеон все же мириады нитей
связывают с остальной математикой, оживляя и заземляя
идеологическое ядро. Главная проблема -- не потеряться
в нагромождении результатов, каковое никак не рассасывается изНза
таинственности корней и переизбытка фактов, заслоняющих
картину. Поэтому в начале пути целесообразно отсеивать лишнее,
выделяя и концентрируясь на магистралях.
О загадке бестселлеров В.Босса
Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом
еще раз, чтобы разобраться,
в чем дело, но скрытых пружин так
и не нашел. Конечно, великолепный
подбор миниатюр, точный язык,
мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое
не объясняет результат даже наполовину.
Сын моего приятеля -- парню
14 лет -- выучил "Интуицию" почти
наизусть. Измучил родителей вопросами,
прочел гору дополнительной
литературы. Понятно -- особый
случай, но показательный! В целом
ситуация, безусловно, мягче. Однако
отзывы все положительные,
а процент восторженных -- удивителен
и необъясним.
"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто
из моих коллег принял их в штыки,
поскольку система образования,
естественно, противится нововведениям.
Лишняя головная боль для
преподавателя. Тем не менее, в результате
итогового обсуждения -- первые
два тома "Лекций" пришли
к нам на отзыв -- В.Босс получил
высший бал.
Лично мне "Лекции" нравятся даже
больше, чем "Интуиция". Ясное
и продуманное изложение предмета.
Лаконичное до неправдоподобия,
но без ущерба для содержания.
Вот что по этому поводу пишет сам
автор: "Первая часть книги -- сжатый
курс матанализа. Чушь более
сотни страниц, но "все есть". Некоторые
детали, конечно, опускаются,
но это не потери, а приобретения.
Сбросив десяток лишних
килограмм, человек выглядит лучше,
живет интереснее. Так и здесь.
Многие подробности мешают видеть
суть. И освобождение от балласта,
как ни странно, позволяет
обсуждать принципиальные вопросы,
на которые в толстых учебниках
не хватает места".
Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно
принимают "Лекции".
В этом еще одна удивительная, хотя
и понятная особенность изложения.
Короткий и ясный взгляд на предмет,
обсуждение мотивов, общая
картина, -- нужны всем.
Наконец, я бы не писал в газету,
если бы речь шла просто о хороших
и даже очень хороших книгах.
"Лекции" В.Босса, на мой взгляд,
явление неординарное. Дело в том,
что информационная лавина сейчас
многое меняет. В результате,
сложившаяся система образования
подходит к критической точке. Конечно,
как в доме накапливаются
ненужные вещи, так и в образовании
со временем укореняется масса
атавизмов. Но хуже другое. То,
без чего вроде бы нельзя обойтись,
перестает помещаться в рамки. Поэтому
необходимы новые подходы
и принципы. "Лекции" обеспечивают
прорыв в этом направлении.
Профессор МФТИ А.П.Афанасьев
-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?
-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение.
Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.
-- Как?
-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему
"целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".
-- Объяснениями на пальцах?
-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.
-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?
-- Таблетку димедрола.
В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают
работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой
ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но
по-другому.
В.Босс
Из отзывов читателей:
Чтобы усвоить предмет, надо освободить
его от деталей, обнажить центральные
конструкции, понять, как до теорем
можно было додуматься. Это тяжелая
работа, на которую не всегда
хватает сил и времени. В "Лекциях"
такая работа проделывается автором.
Популярность книг В.Босса легко
объяснима. Дается то, чего недостает:
общая картина, мотивация,
взаимосвязи. И самое главное --
легкость вхождения в любую тему.
Содержание продумано и хорошо
увязано. Громоздкие доказательства
ужаты до нескольких строчек.
Виртуозное владение языком.
