Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа:
Лекционные записки. Изд. 6, испр.

---

Предисловие к шестому изданию				7
Предисловия к предыдущим изданиям				11
Глава 1. Экскурс в теорию множеств				15
1.1. Соответствия				15
1.2. Упорядоченные множества				17
1.3. Фильтры				21
1.4. Упражнения				24
Глава 2. Векторные пространства				26
2.1. Пространства и подпространства				26
2.2. Линейные операторы				29
2.3. Уравнения в операторах				32
2.4. Упражнения				37
Глава 3. Выпуклый анализ				40
3.1. Множества в векторных пространствах				40
3.2. Упорядоченные векторные пространства				43
3.3. Продолжение положительных функционалов и операторов				46
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы				49
3.5. Теорема Хана — Банаха				52
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов				55
3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы				57
3.8. Функционал Минковского и отделимость				59
3.9. Упражнения				63
Глава 4. Экскурс в метрические пространства				66
4.1. Равномерность и топология метрического пространства				66
4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность				69
4.3. Полунепрерывность				71
4.4. Компактность				73
4.5. Полнота				74
4.6. Компактность и полнота				78
4.7. Бэровские пространства				80
4.8. Теорема Жордана и простые картины				83
4.9. Упражнения				84
Глава 5. Мультинормированные и банаховы пространства				87
5.1. Полунормы и мультинормы				87
5.2. Равномерность и топология мультинормированного пространства				92
5.3. Сравнение мультинорм				95
5.4. Метризуемые и нормируемые пространства				97
5.5. Банаховы пространства				100
5.6. Алгебра ограниченных операторов				110
5.7. Упражнения				116
Глава 6. Гильбертовы пространства				119
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения				119
6.2. Ортопроекторы				124
6.3. Гильбертов базис				127
6.4. Эрмитово сопряженный оператор				131
6.5. Эрмитовы операторы				134
6.6. Компактные эрмитовы операторы				137
6.7. Упражнения				141
Глава 7. Принципы банаховых пространств				143
7.1. Основной принцип Банаха				143
7.2. Принципы ограниченности				146
7.3. Принцип идеального соответствия				150
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике				153
7.5. Принцип автоматической непрерывности				158
7.6. Принципы штрихования				162
7.7. Упражнения				167
Глава 8. Операторы в банаховых пространствах				169
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы				169
8.2. Голоморфное функциональное исчисление				176
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации				182
8.4. Теория Рисса — Шаудера				185
8.5. Нетеровы и фредгольмовы операторы				189
8.6. Упражнения				196
Глава 9. Экскурс в общую топологию				200
9.1. Предтопологии и топологии				200
9.2. Непрерывность				203
9.3. Типы топологических пространств				206
9.4. Компактность				211
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства				216
9.6. Покрытия и разбиения единицы				222
9.7. Упражнения				227
Глава 10. Двойственность и ее приложения				230
10.1. Векторные топологии				230
10.2. Локально выпуклые топологии				233
10.3. Двойственность векторных пространств				235
10.4. Топологии, согласованные с двойственностью				238
10.5. Поляры				240
10.6. Слабо компактные выпуклые множества				242
10.7. Рефлексивные пространства				244
10.8. Пространство C(Q, R )				245
10.9. Меры Радона				252
10.10. Пространства D(Ω) и D'(Ω)				260
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений				268
10.12. Упражнения				279
Глава 11. Банаховы алгебры				282
11.1. Каноническое операторное представление				282
11.2. Спектр элемента алгебры				284
11.3. Голоморфное функциональное исчисление в алгебрах				286
11.4. Идеалы в коммутативных алгебрах				287
11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C )				289
11.6. Преобразование Гельфанда				290
11.7. Спектр элемента C∗-алгебры				296
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка				298
11.9. Операторные ∗-представления C∗-алгебр				301
11.10. Упражнения				308
Литература				311
Указатель обозначений				325
Глоссарий английских терминов				330
Предметный указатель				344

---

Шестое издание, осуществляемое по предложению издателя, отличается от предыдущего немногими деталями и уточнениями. В течение более тридцати лет автор использовал эту книгу как лекционные записки по курсу функционального анализа в Новосибирском государственном университете для математиков-теоретиков. Уместно рассказать немного об истории появления и принципах изложения материала этой книги.

Первое издание вышло в Сибирском отделении издательства «Наука» под грифом Института математики Сибирского отделения Академии наук СССР в 1983 году. Для того чтобы это произошло, книга должна была быть включена сначала в план редподготовки издательства, а через год — в план выпуска. Отсюда видно, что до 1981 года такой книги не было даже в проекте.

13 марта 1980 года мне позвонил Ю.Г.Решетняк, который заведовал кафедрой матанализа и распределял лекционную нагрузку. Он впервые предложил мне прочесть в следующем учебном году основной курс функционального анализа для математиков. Тогда расписание предполагало две лекции в неделю в течение пятого и шестого семестров.

C сентября предстояло читать более 60 лекций. Остро встал классический вопрос «Что делать?». Конечно, у меня были под рукой все доступные к тому времени книги по функциональному анализу. Но уже тогда ни в МГУ, ни в ЛГУ, ни в НГУ передовые курсы функционального анализа не читались по учебникам Л. А. Люстерника и В. И. Соболева, А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина, Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова.

Совсем недавно, в 1979 году, был опубликован новаторский курс А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани «Теоремы и задачи функционального анализа», по которому читали в МГУ. Основные темы оттуда давно уже были включены в практику преподавания в НГУ. Мысль о том, чтобы понизить планку курса, не могла и в голову прийти.

Мы гордились классом своего университета. Книга А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани замечательна — в ней и задачи, и решения, и теория.

Однако полностью она мне не подходила. Во-первых, она подстроена под МГУ, где интеграл Лебега был отложен до третьего курса, что уже тогда воспринималось как анахронизм в Питере и Новосибирске. Вовторых, в ней проработаны далеко не все детали, а кое-где в издании 1979 года были ляпсусы.

Главная трудность в работе над курсом и его конспектами состояла в том немаловажном личном мотиве, что д´олжно избежать полного провала и позора. Раз взялся за гуж... Вопрос с отбором тем в соответствии с принципами sapienti sat и minimum minimorum особо не стоял (книга живет уже сорок лет, и видно, что и более поздние сочинения ограничены примерно тем же кругом тем). А вот о форме и характере изложения пришлось поразмыслить основательно.

Не вызывало никаких сомнений, что новая книга должна отличаться от всех написанных просто внешним видом, чтобы было понятно, что автор не лезет в ряд основоположников. Все классические учебники толстые, поэтому моя книга должна стать самой тонкой из всех, включающих аналогичный материал. Поскольку изложение должно быть полным и безошибочным, книга обязана содержать все важнейшие концы и доказательства, но быть написанной лапидарно с исключительной экономией места.

Сразу было решено, что по стилю это должны быть лекционные конспекты в духе «подлинного бурбакизма» — стиле Евклида, возрождённом Н. Бурбаки. Никаких исторических экскурсов, обзоров и вставочек к главам быть не должно, так как в них не избежать неуместных оценочных суждений. Непревзойдённый образец скромности нам дал Евклид. В его книгах есть только сама математика.

В этом Н. Бурбаки — прямой наследник Евклида. Личность авторов «Начал» раскрыта нам только через отбор материала при полном самоотречении, отказе от самовыпячивания и борьбы за приоритет.

Важнейший элемент скромности — это понимание того, что личные предпочтения могут страдать и обычно страдают безвкусицей.

Нам редко нравится то, что мы совсем не понимаем. Все разделы курса должны быть примерно одного объёма и излагать предмет до примерно одного и того же уровня. Чрезвычайно важен был отказ от «дурного бурбакизма», который по сути связан с дисбалансом логического и исторического, абстрактного и конкретного.

Книга сразу задумывалась как концентрическая, со спиральным возвратом к прежним темам, необходимым в практической педагогике. Это абсолютно противоречит практике вредоносного «бурбакизма».

Фактически в книге есть первый концентр базисных сведений в объёме элементарной теории операторов и уравнений в гильбертовых пространствах и второй концентр, завершающийся теми же гильбертовыми пространствами в рамках ГНС-конструкции и уравнениями в рамках теории индекса.

По отношению к примерам была выбрана прагматическая точка зрения. Это даже не «бурбакизм», а идиотизм — повторять банальные примеры, делая вид, что студенты не сталкиваются с объектами функционального анализа на младших курсах, в курсах алгебры, методов вычислений и дифференциальных уравнений. К третьему курсу студенты знают конечномерный линейный анализ, конечномерную спектральную теорию, лебеговы пространства, пространства гладких функций, решали интегральные и дифференциальные уравнения. Параллельно с курсом функционального анализа изучаются матфизика, оптимизация, теория вероятностей и вычислительная математика.

Студенты видят реальные приложения функционального анализа ярче и точнее в курсах, немыслимых без банаховых пространств, линейных операторов, топологий, алгебр, спектров, рядов и преобразования Фурье, обобщённых функций и т. п. Стоит отметить, что в первом издании теория распределений полностью опущена — лучше никак, чем плохо. Ушло десять лет на то, чтобы написать то, что было сочтено приемлемым изложением этой важнейшей теории.

Прошедшие сорок лет существенно изменили современную математику. Новые направления, возникшие в начале XX века, достигли высокого уровня понимания и решения проблем, недоступных при их появлении. Математика освободилась от уз категоричности и отказалась от поиска единственного первоисточника своих объектов.

Линейный функциональный анализ во многом завершён и перешёл в разряд математической классики, заняв свое теперешнее место языка непрерывной математики. Сейчас настали времена новых мощных математических технологий. Адаптация современных идей теории моделей для функционального анализа представляется важнейшим направлением разработки синтетических методов прикладной и теоретической математики. Здесь возникают новые модели чисел, пространств, видов уравнений. Расширяется содержание всех имеющихся теорем и алгоритмов, обогащается и обновляется вся методология математического моделирования, открывая совершенно фантастические возможности. Теперь можно использовать актуальные бесконечно большие и малые величины, превращать матрицы в числа, пространства в прямые, не компакты в компакты. Нам открываются новые неизведанные горизонты.

Далеко не все теоретики и прикладники уже поняли значение перемен и овладели новыми разделами анализа. Однако пути назад в науке нет — современные методы навсегда вошли в основное тело математики и непременно станут столь же элементарными и общеупотребительными в исчислениях и вычислениях, как банаховы пространства и линейные операторы.

Прекрасные научные теории не умирают, а становятся базой и частью будущих революционных достижений. Это вселяет надежду на жизнь и лежащей перед читателем книги.

2023 г.