URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Молодцов Д.А. Теория мягких множеств
Id: 22065
 

Теория мягких множеств

URSS. 2004. 360 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00810-7. Букинист. Состояние: 4+. .
Обращаем Ваше внимание, что книги с пометкой "Предварительный заказ!" невозможно купить сразу. Если такие книги содержатся в Вашем заказе, их цена и стоимость доставки не учитываются в общей стоимости заказа. В течение 1-3 дней по электронной почте или СМС мы уточним наличие этих книг или отсутствие возможности их приобретения и сообщим окончательную стоимость заказа.

 Аннотация

Описывается общий подход к работе с неточно определенными объектами. Предлагаются неклассические понятия непрерывности, аппроксимации, регуляризации. Рассмотрены мягкие аналоги математического анализа, включая производные и интегралы, мягкие дифференциальные и интегральные уравнения, разнообразные мягкие задачи оптимизационного характера, мягкая теория вероятностей, мягкая теория игр и приложение предлагаемой теории к активному управлению портфелем финансовых инструментов.

Книга представляет интерес для студентов, аспирантов и научных работников, интересующихся новым математическим аппаратом.


 Оглавление

Основные обозначения
Предисловие
Введение
Глава 1. Аппарат мягких множеств
 1.1.Примеры мягких множеств
 1.2.Связь теории мягких множеств и теории Заде
 1.3.Операции с мягкими множествами
 1.4.Мягкие отображения
 1.5.Аппроксимация и эквивалентность мягких отображений
 1.6.Непрерывность мягких отображений
 1.7.Свойства непрерывности мягких отображений
 1.8.Регуляризация мягких отображений
Глава 2. Мягкий анализ
 2.1.Мягкий предел функции и мягкая непрерывность
 2.2.Мягкая производная
 2.3.Устойчивость мягких производных
 2.4.Мягкий интеграл Перрона
 2.5.Мягкий интеграл Римана
 2.6.Мягкий интеграл
 2.7.Существование мягкого интеграла
 2.8.Связь мягкого интеграла с интегралом Римана
 2.9.Устойчивость мягкого интеграла
Глава 3. Мягкие дифференциальные и интегральные уравнения
 3.1.Мягкое дифференциальное уравнение типа А1
 3.2.Мягкое интегральное уравнение типа A1
 3.3.Зависимость решений от начальных данных
 3.4.Мягкое дифференциальное уравнение типа А
 3.5.Оценка разности двух решений уравнения типа А
 3.6.Мягкое интегральное уравнение типа A
 3.7.Мягкое дифференциальное уравнение типа B
 3.8.Мягкое интегральное уравнение типа B
Глава 4. Устойчивость и аппроксимация оптимизационных задач
 4.1.Множество, заданное ограничениями
 4.2.Множество, заданное линейными ограничениями
 4.3.Математическое программирование
 4.4.Метод штрафных функций в математическом программировании
 4.5.Устойчивость задачи линейного программирования
Глава 5. Экстремальные интервальные задачи
 5.1.Основные обозначения для работы с интервалами
 5.2.Приближенное доминирование интервалов
 5.3.Свойства множества Close
 5.4.Экстремальные значения интервальных множеств
 5.5.Сопряжение экстремальных множеств
 5.6.Включения для экстремальных множеств
 5.7.Вспомогательные результаты
 5.8.Условия непустоты экстремального множества Max
 5.9.Непустота экстремального множества Large
 5.10.Взаимная аппроксимация экстремальных множеств Max
 5.11.Взаимная аппроксимация экстремальных множеств Large
 5.12.Перспективы мягкой оптимизации
Глава 6. Устойчивость и аппроксимация максиминных задач
 6.1.Устойчивость максиминных задач
 6.2.Метод штрафов для максиминных задач
 6.3.Модифицированный метод штрафов для максиминных задач
Глава 7. Многокритериальная оптимизация
 7.1.Устойчивость мягкого множества Слейтера
 7.2.Устойчивость мягкого множества Парето
 7.3.Устойчивость мягкого множества Джоффриона
 7.4.Взаимосвязи мягких множеств Слейтера, Парето и Джоффриона
Глава 8. Мягкая вероятность
 8.1.Основные понятия и обозначения
 8.2.Статистическая база данных
 8.3.Средние статистические измерения
 8.4.Свойства мягкой вероятности.
 8.5.Мягкая условная вероятность
 8.6.Мягкая серийная вероятность
 8.7.Мягкая зависимость
 8.8.Применение мягкой вероятности
Глава 9. Мягкая теория игр
 9.1.Мягкое описание целенаправленной деятельности
 9.2.Мягкие решения в условиях полной неопределенности
 9.3.Мягкие решения в игре двух лиц без обмена информацией
 9.4.Мягкое решение по Штакельбергу -- мягкая игра Г1
 9.5.Мягкая иерархическая игра Гермейера -- игра Г2
 9.6.Мягкое равновесие
 9.7.Мягкая оптимальность
 9.8.Решение мягкой игры Г2 для многокритериальных функций выбора
 9.9.Мягкое решение по Штакельбергу с неопределенными факторами
Глава 10. Элементы мягкой математики в управлении портфелем
 10.1.Пассивное управление портфелем
 10.2.Активное управление портфелем
 10.3.Программы для активного управления портфелем
Литература

 Предисловие

Предлагаемая теория относится к математическим теориям оперирующим с неточно заданными, неопределенными, нечеткими объектами. Под этим подразумевается построение строгого математического аппарата для моделирования объектов, которые по своей природе являются нечеткими и размытыми.

На практике такие неопределенные объекты и понятия встречаются всюду. Все наши понятия: высокий, низкий, красивый, зеленый, имеющий вес 2 кг., и т.д. при внимательном рассмотрении являются размытыми. Координаты, скорость, границы, вес, масса и другие физические характеристики объекта не могут быть точно измерены, не только потому, что измерение означает изменение, но и потому, что сам объект находится в постоянном изменении, провести четкие границы объекта практически невозможно. Поэтому построение и развитие математических теорий, работающих с подобными объектами, является весьма актуальной задачей. Пока в математике подобных теорий не так много. В той или иной степени к ним можно отнести различные варианты теории вероятностей, теорию нечетких множеств Заде, интервальный анализ, теорию хаоса.

Первая публикация по предлагаемой теории [1] вышла в 1980 году, а первая монография автора [2] в 1987. Отметим также книгу Дж.Трауба, Г.Васильковского и Х.Вожьняковского [52] вышедшую в 1983 году, где авторы излагают аналогичную теорию с приложениями к теории алгоритмов. За прошедшее время накопились материалы по приложениям теории к новым областям: дифференциальным и интегральным уравнениям, интервальной оптимизации, теории вероятностей, теории игр. Предлагаемая работа содержит изложение основ теории и приложений теории к различным разделам математики. Поскольку литературы по этому направлению мало и техника в этой теории достаточно специфическая, изложение носит достаточно подробный и формальный характер, чтобы любой заинтересованный читатель мог разобраться в деталях. Однако предлагаемая работа не является обзором по всем имеющимся в этом направлении публикациям, она основана в основном на работах автора.

Остановимся кратко на содержании работы по главам. В первой главе "Аппарат мягких множеств" приводятся примеры мягких множеств из различных областей, обсуждается связь предлагаемой теории с теорией нечетких множеств Заде, вводятся операции с мягкими множествами. Понятие мягкого множество усложняется и вводится понятие мягкого отображения. Для мягких отображений формулируется серия задач, описывающих различные варианты поиска приближенных решений. Предлагается серия понятий аппроксимации и, основанная на этих понятиях, серия понятий эквивалентности мягких отображений. Вводится серия понятий непрерывности мягких отображений, принципиально отличная от классических определений непрерывности. Исследуются свойства различных типов мягкой непрерывности и взаимосвязи понятий мягкой непрерывности.

Предлагается серия понятий регуляризации также принципиально отличающаяся от классики, но имеющая аналогичные прикладные свойства. Исследуются свойства отношений мягкой регуляризации и для произвольного мягкого отображения строятся два мягких, в некотором смысле, неулучшаемых регуляризатора. Таким образом, поиск регуляризаторов в любой конкретной задаче сводится к вычислению двух указанных регуляризаторов или к нахождению подходящей мягкой аппроксимации для них. Материал первой главы является основой для всех приложений теории.

Во второй главе "Мягкий анализ" предлагаются понятия мягкого предела и мягкой непрерывности, основанной на мягком пределе. Для мягко непрерывных функций доказываются аналоги теорем Больцано--Коши и Вейерштрасса. Вводится понятие мягкой производной, исследуются его свойства, доказываются аналоги теоремы Ферма и Ролля. Находятся условия устойчивости мягкой производной, и строится регуляризатор для задачи нахождения классической производной.

На основе введенной мягкой производной, используя схему построения интеграла Перрона, строится мягкий интеграл Перрона, и исследуются его свойства. На основе мягкой производной, используя схему интеграла Римана, строится мягкий интеграл Римана, и изучаются его свойства. Для ограниченных функций доказывается совпадение мягкого интеграла Перрона и мягкого интеграла Римана. Вводится понятие мягкого интеграла, изучаются его свойства, доказывается аналог формулы Ньютона--Лейбница. Доказываются достаточные условия существования мягкого интеграла. Устанавливается связь мягкого интеграла с интегралом Римана. Доказываются достаточные условия устойчивости мягкого интеграла.

В третьей главе "Мягкие дифференциальные и интегральные уравнения" на основе мягкой производной рассматривается аналог задачи Коши для дифференциального уравнения первой степени, разрешенного относительно производной. Знак равенства в классическом уравнении заменяется на включение и в зависимости от того, в какую сторону повернуто включение, получается несколько типов мягких дифференциальных уравнений. Для каждого типа мягкого уравнения вводится понятие решения, и приводятся достаточные условия их существования. Для каждого типа уравнения вводится соответствующее мягкое интегральное уравнение и устанавливается связь между решениями мягкого дифференциального и мягкого интегрального уравнений. Изучена зависимость решений мягкого дифференциального уравнения от начальных данных, получены соответствующие оценки.

В четвертой главе "Устойчивость и аппроксимация оптимизационных задач" изучаются мягкая непрерывность и мягкая аппроксимация для различных задач оптимизационного типа. Найдены условия мягкой непрерывности множества, заданного ограничениями. Отдельно рассмотрен случай линейных ограничений. Изучены условия мягкой непрерывности в задачах математического программирования. Обоснован мягкий метод штрафных функций для задачи математического программирования. Отдельно исследована мягкая непрерывность мягкой задачи линейного программирования.

В пятой главе "Экстремальные интервальные задачи" рассматриваются задачи оптимизации для функции, принимающей интервальные значения. Для интервалов вводятся естественные отношения приближенного доминирования и на их базе вводятся различные экстремальные интервальные значения, которые являются аналогами верхней и нижней грани. Находятся необходимые и достаточные условия на параметры, обеспечивающие непустоту экстремальных интервальных множеств. Устанавливаются взаимосвязи между различными экстремальными значениями.

В шестой главе "Устойчивость и аппроксимация максиминных задач" демонстрируются возможности "мягких" подходов на задаче нахождения максимина со связанными ограничениями. Найдены условия мягкой непрерывности максиминной задачи. Доказаны два варианта метода штрафов для максиминной задачи.

В седьмой главе "Многокритериальная оптимизация" исследуются условия мягкой непрерывности и взаимосвязи для мягких множеств Слейтера, Парето и Джоффриона.

В восьмой главе "Мягкая вероятность" предлагается понятие мягкой вероятности, которое определяется не аксиоматически, а непосредственно через измерение. Материалом для измерений служит конечная база данных. Исследуются математические свойства введенного понятия. Вводится понятие мягкой условной вероятности и доказываются аналоги формулы полной вероятности и формулы условной вероятности. Вводится понятие мягкой серийной вероятности, и приводятся способы описания произвольных нелинейных зависимостей с использованием введенного аппарата мягкой вероятности.

В девятой главе "Мягкая теория игр" аппарат мягких отображений используется для описания функций выбора игроков. Приводятся примеры построения различных разделов теории игр, используя вместо функций выигрыша игроков их мягкие функции выбора. Приводятся примеры постановок задач для ситуации выбора в условиях полной неопределенности, для игр двух лиц без обмена информацией, для игр с обменом информацией Штакельберга и Гермейера. Вводится понятие мягкого равновесия, являющееся аналогом равновесия по Нэшу и формулируются варианты мягкой коллективной оптимальности. Для случая, когда у игроков мягкие функции выбора основаны на мягком множестве Слейтера, приведено решение игры Гермейера. Исследована мягкая игра Штакельберга для случая, когда первый игрок неточно знает функцию выбора второго игрока. Эта игра рассмотрена в статическом случае, когда она повторяется только один раз, и в динамическом случае, когда игра повторяется многократно. Для динамического случая рассмотрены различные постановки задачи адаптации. Приведены условия разрешимости этих задач.

В десятой главе "Элементы мягкой математики в управлении портфелем" описан подход к активному управлению портфелем финансовых инструментов. Подход реализован в трех компьютерных программах, где были использованы мягкая интервальная оптимизация и мягкое восстановление зависимости эффективности финансовых инструментов от других факторов.

Автор заранее приносит извинения за все ошибки и недочеты в изложении и будет благодарен за любые замечания и комментарии, которые можно посылать по электронной почте по адресу mold@ccas.ru.

Москва, 2003--2004.

 Введение

"Где начало того конца, которым оканчивается начало?"
Козьма Прутков

История возникновения понятия, которое теперь называется мягким множеством, такова. Занимаясь методами решения игр двух лиц с непротивоположными интересами, я столкнулся с неустойчивостью решений при возмущении функций выигрыша игроков. Это обстоятельство существенно затрудняло не только решение таких задач, но и осмысленность исходных постановок задач. Точное знание игроками функций выигрыша других игроков является типичным предположением во многих задачах теории игр. В действительности точное знание функций выигрыша других игроков достигнуть практически невозможно, поэтому решение игры должно обладать определенной непрерывностью по отношению к функциям выигрыша и к тем элементам модели, которые нельзя точно измерить.

Справиться с этой проблемой удалось с помощью небольшого видоизменением постановки задачи, которое заключалось в том, что игроки максимизировали свои функции выигрыша неточно. Пришлось ввести один дополнительный параметр, регулирующий точность максимизации функции выигрыша второго игрока, и согласуя величину этого параметра с размером возмущений, удалось показать, что эта новая задача является в некотором смысле устойчивой и служит регуляризатором для исходной задачи.

Естественно возник вопрос об устойчивости других задач типичных для исследования операций, теории игр и теории принятия решений. Оказалось, что большинство из этих задач также являются неустойчивыми. Это и задачи математического программирования, включая линейное программирование, и задачи на максимин, включая кратный максимин со связанными ограничениями, и задачи многокритериальной оптимизации, и задачи лексикографической оптимизации и многие другие.

При построении регуляризаторов для этих задач приходилось вводить много различных вспомогательных параметров, согласованное стремление которых к нулю обеспечивало сходимость к исходной задаче. Естественно возникла необходимость как-то осмыслить большое число разнообразных конструкций и понять их место в исходной задаче. Размышления на эту тему привели меня к мысли, что все эти конструкции являются разнообразными реализациями одного понятия -- понятия "приближенное решение".

Понятие приближенного решения наиболее явно присутствует в вычислительной математике, хотя неявно встречается практически в любом приложении математики. В простых ситуациях, например, при вычислении элементарных функций, понятие приближенного решения очевидно и практически единственно. Мы хотим найти значение, которое отличалось бы от истинного значения не более чем на некоторую заданную величину.

В более сложных задачах, например в задаче линейного программирования, определение приближенного решения не столь очевидно и возможно многими способами. Можно определять приближенное решение, как решение близкое к точному решению в некоторой метрике, а можно определять приближенное решение, как приближенное нахождение экстремального значения задачи с допущением небольших нарушений ограничений. Второе понятие решения даже ближе к практике, где различные ограничения могут носить не столь жесткий характер.

Естественно возникает вопрос о соотношении приближенного решения и точного решения, а именно, что первично точное решение или приближенное?

Если обратиться к использованию математики на практике, то в любой области, будь то физика или экономика, исходным материалом для построения модели являются измерения, которые всегда носят приближенный характер. Любая практическая задача всегда ставится как задача поиска приближенного решения, а понятие точного решения является лишь идеализацией, которая должна помогать находить приближенное решение. Поэтому первичным или исходным понятием при построении модели реального явления является понятие приближенного решения, а понятие точного решения должно служить лишь вспомогательным понятием, облегчающим нахождение приближенного решения. Вообще говоря, введение понятия точного решения не является необходимым этапом решения задачи. Если можно решить задачу нахождения приближенных решений и исследования их свойств напрямую, без построения понятия точного решения, то нужда в точном решении не возникает. Поэтому построение теории приближенных решений должно вестись без предположения о существовании какого-то специального решения, называемого точным.

Следует отметить, что такие выводы во многом противоречат духу приложений современной математики. Например, в физике дифференциальные и интегральные уравнения, описывающие различные законы, часто воспринимаются как объективные, а задачей вычислительной математики является приближенное решение этих уравнений. С нашей же точки зрения исходной задачей являются приближенные конструкции, а дифференциальные и интегральные уравнения это методы решения исходных приближенных постановок.

Такая точка зрения может показаться весьма странной, но именно она, на наш взгляд, подтверждается практикой. Если проанализировать вывод любого дифференциального уравнения в физике, то в итоге мы увидим, что все они основаны на предположении о бесконечной делимости вещества и времени, причем без изменения свойств любых их частей. Математически это выражается в использовании действительных чисел и понятия предельного перехода. Квантовая механика показала, что эти предположения не имеют места. Таким образом, законы физики в форме дифференциальных и интегральных уравнений это лишь один из способов описания реальных опытных данных. В одних ситуациях эти описания работают великолепно, в других они неприемлемы. Поэтому вполне естественно пытаться строить и другие способы описания реальных опытных данных, не использующих предельные переходы и аналогичные конструкции.

Если посмотреть на историю науки, то последние три столетия внимание ученых было сосредоточено в основном на этих идеализированных дифференциальных и интегральных моделях. По-видимому, это связано с тем, что отсутствие мощных вычислительных средств в прошлом сделало методы дифференциального и интегрального исчисления основным математическим аппаратом для исследований. Постепенно исходная задача и метод ее решения (дифференциальные и интегральные уравнения) поменялись местами. Дифференциальные и интегральные уравнения стали исходной задачей, а переход к дискретизации превратился в метод решения. Для того, чтобы восстановить истинное положение дел в этом вопросе необходимо создать методологию работы с исходными приближенными описаниями или приближенными решениями. На современном этапе развития науки, когда мощные компьютеры достаточно дешевы и доступны, можно развивать другие методы обработки реальных измерений, не основанные на предельных переходах.

В первых публикациях по этим вопросам [1--3] для описания приближенных решений использовался термин "принцип оптимальности". Однако приближенные описания могут применяться не только для определения приближенных решений в некоторой задаче. Приближенные описания можно использовать для любых элементов модели, главное, чтобы это было удобно и полезно. Поэтому позднее [4--6] для названия приближенных описаний был введен другой термин "мягкое множество" (soft set). Формальное определение мягкого множества таково.

Пусть A -- это некоторое множество параметров, которое может иметь произвольную природу (числа, функции наборы слов и т.д.). Пусть X -- это некоторое универсальное множество, над которым определяется мягкое множество. Определение. Пару (S,A) будем называть мягким множеством над X, если S является отображением из множества A в множество подмножеств множества X, т.е. S:A --> 2X.

По сути, мягкое множество представляет собой параметризованное семейство подмножеств.

Отметим одно важное свойство мягких множеств. Поскольку мягкое множество понимается, как приближенное описание объекта, то оно неминуемо зависит от того, кто формулирует понимание приближенности, т.е. мягкое множество является субъективным понятием. Другими словами выбор того или иного способа приближенного описания объекта зависит от того, кто это описание делает, а выбор параметризации явным образом характеризует субъективизм мягкого множества.

Отсутствие в дифференциальном и интегральном исчислении подобных конструкций, описывающих приближенность понятия, вовсе не означает, что они свободны от субъективизма. Предельные переходы в дифференциальном и интегральном исчислении делаются способом, который не может быть проверен на практике, так как на практике отсутствует бесконечная делимость вещества и времени. Поэтому эти предельные переходы также субъективны. В этом нет ничего страшного. Прошли те времена, когда математику рассматривали как науку о реальных объектах. Математика предоставляет выбор языка для описания реальных законов, а выбор того или иного описания это вопрос удобства и традиций. Любая математическая модель или теория, по сути, субъективны. Это связано не только с тем, что модель только приближенно соответствует практике, но и с тем, что само понятие этой приближенности целиком определяется субъектом.

Суммируя все сказанное, можно сказать, что целью теории мягких множеств является разработка методологии и аппарата для работы с различными приближенными описаниями, не опирающиеся на предельные переходы и аналогичные конструкции.

Конечно, сразу избавиться от всех предельных конструкций довольно трудно, учитывая инерционность мышления и традиционное классическое обучение математике, но мы будем к этому стремиться.


 Об авторе

Молодцов Дмитрий Анатольевич
Математик, специалист в области исследования операций, теории мягких множеств, управления в условиях неопределенности. Доктор физико-математических наук. Окончил с отличием МГУ имени М. В. Ломоносова (1971), аспирантуру факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1974); защитил кандидатскую (1974) и докторскую (1990) диссертации. С 1974 г. по настоящее время научный сотрудник Вычислительного центра имени А. А. Дородницына Российской академии наук (ВЦ РАН). Преподавал в различных вузах Москвы: МГУ, МФТИ, МАТИ и др.; работал в компаниях High Technology Invest Inc., HUAWEI, а также по договору с компаниями "Солид менеджмент" и ВНИИГАЗ.

Основные научные результаты: создание теории мягких множеств (эта теория принадлежит к новому направлению в математике, в котором изучаются нечеткие, неточно определенные объекты); предложение новой теории вероятностей — теории мягких вероятностей и мягкой статистики; разработка общих методов решения неустойчивых задач; создание мягкого анализа; разработка методов решения игр Штакельберга; предложение мягкой модели для описания поведения человека в теории игр; доказательство аналога центральной предельной теоремы для мягкой вероятности; разработка оригинальной методологии управления портфелем акций и др. Основные прикладные направления исследований: разработка компьютерных систем поддержки принятия решений; управление в условиях неопределенности (природной и вероятностно-статистической) и конфликта; управление портфелем финансовых инструментов и др.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце