КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Постников М.М. Лекции по геометрии: Гладкие многообразия
Id: 220596
 
599 руб.

Лекции по геометрии: Гладкие многообразия. Семестр III. Изд.2

URSS. 2017. 480 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-3916-7.

Настоящая книга написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова. Она входит в фундаментальный курс автора "Лекции по геометрии", остальные части которого также выходят в нашем издательстве.

Книга посвящена гладким многообразиям. В нее включены также сведения из общей топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная геометрия --- теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей (вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны при изгибаниях).

Книга предназначена для студентов математических специальностей вузов. Она может служить учебным пособием по обязательному курсу геометрии и топологии в университетах и педагогических институтах.

Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз­мерность по покрытиям.— Компактные пространства.— Лемма Ле­бега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств прост­ранства Rn.— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам,— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.

ЛЕКЦИЯ 9

Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Тео­рема о перегородках в кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о пок­рытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.

ЛЕКЦИЯ Ю

Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах поряд­ковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топслогических пространств.— Фильт­ры,— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.

ЛЕКЦИЯ П

Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц дан­ного ранга — Многообразия Штифеля,— Ряды матриц.—Экспонен­циал матрицы,—Логарифм матрицы.—Ортогональные и ./-ортого­нальные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы У-ортогональ* ных матриц.— Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпа­дение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, не удовлетворяю­щие второй аксиоме счетности.

ЛЕКЦИЯ 12

Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производныеголоморфных функций.— Касательные векторы комплексно анали­тических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об эталь-ных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.

ЛЕКЦИЯ 13 ...............................................................................................................................................................

Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— По­гружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообра­зия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.— Локаль­ное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмно­гообразия.— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о про­образе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Груп­па SL(n) как подмногообразие.

ЛЕКЦИЯ 14 ...............................................................................................................................................................

Теорема вложения,— Еще о компактных множествах.— Функции Урысона.—Доказательство теоремы вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и то­щие множества.— Нуль-множества.

ЛЕКЦИЯ 15................................................................................................................................................................

Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий,—Многообразие каса­тельных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.

ЛЕКЦИЯ 16................................................................................................................................................................

Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцирова­ния,— Алгебра Ли векторных полей.

Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз­мерность по покрытиям.— Компактные пространства.— Лемма Ле­бега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств прост­ранства Rn.— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам,— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.

ЛЕКЦИЯ 9

Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Тео­рема о перегородках в кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о пок­рытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.

ЛЕКЦИЯ Ю

Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах поряд­ковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топслогических пространств.— Фильт­ры,— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.

ЛЕКЦИЯ П

Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц дан­ного ранга — Многообразия Штифеля,— Ряды матриц.—Экспонен­циал матрицы,—Логарифм матрицы.—Ортогональные и ./-ортого­нальные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы У-ортогональ* ных матриц.— Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпа­дение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, не удовлетворяю­щие второй аксиоме счетности.

ЛЕКЦИЯ 12

Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производныеголоморфных функций.— Касательные векторы комплексно анали­тических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об эталь-ных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.

ЛЕКЦИЯ 13 ...............................................................................................................................................................

Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— По­гружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообра­зия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.— Локаль­ное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмно­гообразия.— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о про­образе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Груп­па SL(n) как подмногообразие.

ЛЕКЦИЯ 14 ...............................................................................................................................................................

Теорема вложения,— Еще о компактных множествах.— Функции Урысона.—Доказательство теоремы вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и то­щие множества.— Нуль-множества.

ЛЕКЦИЯ 15................................................................................................................................................................

Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий,—Многообразие каса­тельных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.

ЛЕКЦИЯ 16................................................................................................................................................................

Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцирова­ния,— Алгебра Ли векторных полей.

с краем.— Внутренние и краевые точки.— Вложенные ^-подмного­образия.—Теорема Стокса для многообразии с краем и ^-подмного­образий.—Теорема Стокса для поверхностных интегралов.—Теорема Стокса для сингулярных подмногообразий.— Криволинейные интег­ралы второго рода.

ЛЕКЦИЯ 28

Операторы векторного анализа.—Следствия тождества d о </=0.— Следствия формулы дифференцирования произведения,— Операторы Лапласа и Бельтрами,— Поток векторного поля.— Формула Гаусса— Остроградского для расходимости и формулы Грина.— Расходи­мость как плотность источников,— Формула Стокса для циркуля­ции,—Формула Гаусса-Остроградского для вихря,—Обобщенная формула Гаусса-Остроградского.


ЛЕКЦИЯ 29


455


Периоды
дифференциальных форм.—Сингулярные симплексы, цепи, циклы и границы,—Теорема Стокса для интегралов по цепям.— Группы сингулярных гомологии.— Теорема де Рама.— Группы кого-мологий цепного комплекса.— Группы сингулярных когомологий.

Об авторе
Постников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.

Страницы