КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Обложка Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире
Id: 220541
 
999 руб. Бестселлер!

Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. Изд.3, испр. и доп.

URSS. 2018. 480 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-9710-4389-8.

Настоящая книга — необычное явление в отечественной и зарубежной научной литературе.

Основное внимание в ней уделяется графическому, наглядному изображению основных понятий и объектов современной геометрии и топологии.

Все иллюстрации в книге, а они занимают в книге приблизительно половину ее объема, выполнены автором — доктором физико-математических наук, академиком РАН, профессором МГУ А. Т. Фоменко. Графические листы А. Т. Фоменко уже давно привлекают к себе внимание своей необычностью, художественной выразительностью, математической точностью стоящих за ними образов.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся приложениями современной геометрии и топологии, а также на студентов естественно-научных специальностей (начиная с первого курса), аспирантов.


Оглавление
Предисловие7
Глава 1.Полиэдры. Симплициальные комплексы. Гомологии11
 § 1.Полиэдры11
 1.1.Вводные замечания11
  1.2.Понятие n-мерного симплекса. Барицентрические координаты15
  1.3.Полиэдры. Симплициальные подразделения полиэдров. Симплициальные комплексы18
  1.4.Примеры полиэдров20
  1.5.Барицентрическое подразделение25
  1.6.Комментарий к наглядному материалу27
 § 2.Группы симплициальных гомологий симплициальных комплексов (полиэдров)32
  2.1.Симплициальные цепи32
  2.2.Граница цепи34
  2.3.Простейшие свойства оператора границы. Циклы. Границы36
  2.4.Примеры вычисления оператора границы37
  2.5.Группы симплициальных гомологий39
  2.6.Примеры вычисления групп гомологий. Гомологии двумерных поверхностей41
  2.7.Комментарий к наглядному материалу54
 § 3.Общие свойства групп симплициальных гомологий. Некоторые методы вычисления групп гомологий58
  3.1.Матрицы инциденций58
  3.2.Метод вычисления групп гомологий при помощи матриц инциденций59
  3.3."Следы" клеточных гомологий внутри симплициальных64
  3.4.Цепная гомотопия. Независимость симплициальных гомологий полиэдра от выбора триангуляции67
  3.5.Комментарий к наглядному материалу73
Глава 2.Многообразия малой размерности75
 § 1.Некоторые основные понятия дифференциальной геометрии75
  1.1.Координаты в области. Преобразования криволинейных координат75
  1.2.Понятие многообразия. Гладкие многообразия и способы их задания. Многообразия с краем. Касательное пространство и касательное расслоение80
  1.3.Ориентируемость и неориентируемость. Дифференциал отображения. Регулярные и правильные точки. Вложения и погружения многообразий. Критические точки гладких функций на многообразиях. Индекс невырожденных критических точек и функции Морса86
  1.4.Векторные и ковекторные поля. Интегральные траектории. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей на многообразии92
  1.5.Комментарий к наглядному материалу94
 § 2.Наглядные свойства одномерных многообразий100
  2.1.Изотопии, оснащения100
  2.2.Комментарий к наглядному материалу104
 § 3.Наглядные свойства двумерных многообразий106
  3.1.Двумерные многообразия с краем106
  3.2.Примеры двумерных многообразий108
  3.3.Моделирование проективной плоскости в трехмерном пространстве112
  3.4.Две серии двумерных замкнутых многообразий119
  3.5.Классификация замкнутых 2-многообразий126
  3.6.Выворачивание двумерной сферы наизнанку130
  3.7.Комментарий к наглядному материалу131
 § 4.Чем отличаются друг от друга разные двумерные многообразия? Группы когомологий и дифференциальные формы136
  4.1.Дифференциальные 1-формы на гладком многообразии136
  4.2.Замкнутые и точные формы на двумерном многообразии137
  4.3.Важное свойство групп когомологий138
  4.4.Прямое вычисление групп одномерных когомологий одномерных многообразий140
  4.5.Прямое вычисление групп одномерных когомологий плоскости, двумерной сферы и тора142
  4.6.Прямое вычисление групп одномерных когомологий ориентированных поверхностей, т.е. сфер с ручками149
  4.7.Алгоритм распознавания двумерных многообразий. Элементы компьютерной двумерной геометрии152
  4.8.Вычисление эйлеровой характеристики поверхности при помощи триангуляции154
  4.9.Комментарий к наглядному материалу155
 § 5.Наглядные свойства трехмерных многообразий159
  5.1.Разбиение (или диаграмма) Хегора159
  5.2.Примеры трехмерных многообразий162
  5.3.Эквивалентность разбиений Хегора164
  5.4.Спайны165
  5.5.Специальные спайны169
  5.6.Фильтрация 3-многообразий по сложности172
  5.7.Упрощение специальных спайнов176
  5.8.Применение ЭВМ в трехмерной топологии. Перечисление многообразий в порядке возрастания сложности180
  5.9.Сложность 3-многообразий и склеивание симплексов191
  5.10.Комментарий к наглядному материалу194
Глава 3.Наглядная симплектическая топология и механика197
 § 1.Некоторые понятия гамильтоновой геометрии197
  1.1.Гамильтоновы системы на симплектических многообразиях197
  1.2.Инволютивные интегралы и торы Лиувилля200
  1.3.Отображение момента интегрируемой системы203
  1.4.Перестройка торов Лиувилля при критических значениях интеграла204
  1.5.Комментарий к наглядному материалу208
 § 2.Качественные вопросы геометрического интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Классификация простых перестроек торов Лиувилля интегрируемых систем с морс-боттовскими интегралами211
  2.1.Морс-боттовские интегралы211
  2.2.Классификация простых, невырожденных перестроек торов Лиувилля213
  2.3.Топологическая структура критических уровней219
  2.4.Примеры из механики. Уравнения движения твердого тела. Сфера Пуассона. Геометрическое истолкование механических систем221
  2.5.Пример исследования механической системы. Система Лиувилля на плоскости222
  2.6.Комментарий к наглядному материалу224
 § 3.Трехмерные многообразия и наглядная геометрия изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем226
  3.1.Одномерный граф как диаграмма изоэнергетической поверхности226
  3.2.Какие известные многообразия встречаются среди изоэнергетических поверхностей?229
  3.3.Простейшие изоэнергетические поверхности (с краем)237
  3.4.Любая изоэнергетическая поверхность интегрируемой морс-боттовской системы распадается в сумму элементарных кирпичей пяти (или двух) типов240
  3.5.Новые топологические свойства класса изоэнергетических поверхностей241
  3.6.Об одном применении компьютеров в симплектической топологии244
  3.7.Комментарий к наглядному материалу246
Глава 4.Наглядные образы в некоторых других областях геометрии и ее приложений249
 § 1.Наглядная геометрия мыльных пленок. Минимальные поверхности249
  1.1.Границы раздела физических сред и минимальные поверхности249
  1.2.Некоторые примеры минимальных поверхностей252
  1.3.Комментарий к наглядному материалу255
 § 2.Фрактальная геометрия и размерность258
  2.1.Различные понятия размерности258
  2.2.Фракталы261
  2.3.Комментарий к наглядному материалу262
 § 3.Наглядная компьютерная геометрия в теории чисел267
Список литературы276
Наглядный материал281
 Глава 1 § 1283
 Глава 1 § 2306
 Глава 1 § 3320
 Глава 2 § 1331
 Глава 2 § 2351
 Глава 2 § 3358
 Глава 2 § 4373
 Глава 2 § 5388
 Глава 3 § 1402
 Глава 3 § 2415
 Глава 3 § 3427
 Глава 4 § 1438
 Глава 4 § 2450

Об авторе
Фоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), АТН РФ (Академии технологических наук Российской Федерации). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей; создал теорию классификации интегрируемых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации (в области математики) за работы по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых систем. Лауреат премии Московского математического общества и премии Президиума АН СССР. Автор более 250 научных работ, 30 монографий и учебников. Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики.