Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология:
Математические образы в реальном мире. Изд. 3, испр. и доп.

URSS. 2018. 480 с. ISBN 978-5-9710-4389-8.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Увеличенный формат (170мм x 240мм).

Аннотация

Настоящая книга — необычное явление в отечественной и зарубежной научной литературе.

Основное внимание в ней уделяется графическому, наглядному изображению основных понятий и объектов современной геометрии и топологии.

Все иллюстрации в книге, а они занимают в книге приблизительно половину ее объема, выполнены автором — доктором физико-математических наук, академиком РАН, профессором МГУ А. Т. Фоменко. Графические листы А. Т.... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				7
Глава 1.	Полиэдры. Симплициальные комплексы. Гомологии			11
	§ 1.	Полиэдры		11
	1.1.	Вводные замечания		11
		1.2.	Понятие n-мерного симплекса. Барицентрические координаты	15
		1.3.	Полиэдры. Симплициальные подразделения полиэдров. Симплициальные комплексы	18
		1.4.	Примеры полиэдров	20
		1.5.	Барицентрическое подразделение	25
		1.6.	Комментарий к наглядному материалу	27
	§ 2.	Группы симплициальных гомологий симплициальных комплексов (полиэдров)		32
		2.1.	Симплициальные цепи	32
		2.2.	Граница цепи	34
		2.3.	Простейшие свойства оператора границы. Циклы. Границы	36
		2.4.	Примеры вычисления оператора границы	37
		2.5.	Группы симплициальных гомологий	39
		2.6.	Примеры вычисления групп гомологий. Гомологии двумерных поверхностей	41
		2.7.	Комментарий к наглядному материалу	54
	§ 3.	Общие свойства групп симплициальных гомологий. Некоторые методы вычисления групп гомологий		58
		3.1.	Матрицы инциденций	58
		3.2.	Метод вычисления групп гомологий при помощи матриц инциденций	59
		3.3.	"Следы" клеточных гомологий внутри симплициальных	64
		3.4.	Цепная гомотопия. Независимость симплициальных гомологий полиэдра от выбора триангуляции	67
		3.5.	Комментарий к наглядному материалу	73
Глава 2.	Многообразия малой размерности			75
	§ 1.	Некоторые основные понятия дифференциальной геометрии		75
		1.1.	Координаты в области. Преобразования криволинейных координат	75
		1.2.	Понятие многообразия. Гладкие многообразия и способы их задания. Многообразия с краем. Касательное пространство и касательное расслоение	80
		1.3.	Ориентируемость и неориентируемость. Дифференциал отображения. Регулярные и правильные точки. Вложения и погружения многообразий. Критические точки гладких функций на многообразиях. Индекс невырожденных критических точек и функции Морса	86
		1.4.	Векторные и ковекторные поля. Интегральные траектории. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей на многообразии	92
		1.5.	Комментарий к наглядному материалу	94
	§ 2.	Наглядные свойства одномерных многообразий		100
		2.1.	Изотопии, оснащения	100
		2.2.	Комментарий к наглядному материалу	104
	§ 3.	Наглядные свойства двумерных многообразий		106
		3.1.	Двумерные многообразия с краем	106
		3.2.	Примеры двумерных многообразий	108
		3.3.	Моделирование проективной плоскости в трехмерном пространстве	112
		3.4.	Две серии двумерных замкнутых многообразий	119
		3.5.	Классификация замкнутых 2-многообразий	126
		3.6.	Выворачивание двумерной сферы наизнанку	130
		3.7.	Комментарий к наглядному материалу	131
	§ 4.	Чем отличаются друг от друга разные двумерные многообразия? Группы когомологий и дифференциальные формы		136
		4.1.	Дифференциальные 1-формы на гладком многообразии	136
		4.2.	Замкнутые и точные формы на двумерном многообразии	137
		4.3.	Важное свойство групп когомологий	138
		4.4.	Прямое вычисление групп одномерных когомологий одномерных многообразий	140
		4.5.	Прямое вычисление групп одномерных когомологий плоскости, двумерной сферы и тора	142
		4.6.	Прямое вычисление групп одномерных когомологий ориентированных поверхностей, т.е. сфер с ручками	149
		4.7.	Алгоритм распознавания двумерных многообразий. Элементы компьютерной двумерной геометрии	152
		4.8.	Вычисление эйлеровой характеристики поверхности при помощи триангуляции	154
		4.9.	Комментарий к наглядному материалу	155
	§ 5.	Наглядные свойства трехмерных многообразий		159
		5.1.	Разбиение (или диаграмма) Хегора	159
		5.2.	Примеры трехмерных многообразий	162
		5.3.	Эквивалентность разбиений Хегора	164
		5.4.	Спайны	165
		5.5.	Специальные спайны	169
		5.6.	Фильтрация 3-многообразий по сложности	172
		5.7.	Упрощение специальных спайнов	176
		5.8.	Применение ЭВМ в трехмерной топологии. Перечисление многообразий в порядке возрастания сложности	180
		5.9.	Сложность 3-многообразий и склеивание симплексов	191
		5.10.	Комментарий к наглядному материалу	194
Глава 3.	Наглядная симплектическая топология и механика			197
	§ 1.	Некоторые понятия гамильтоновой геометрии		197
		1.1.	Гамильтоновы системы на симплектических многообразиях	197
		1.2.	Инволютивные интегралы и торы Лиувилля	200
		1.3.	Отображение момента интегрируемой системы	203
		1.4.	Перестройка торов Лиувилля при критических значениях интеграла	204
		1.5.	Комментарий к наглядному материалу	208
	§ 2.	Качественные вопросы геометрического интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Классификация простых перестроек торов Лиувилля интегрируемых систем с морс-боттовскими интегралами		211
		2.1.	Морс-боттовские интегралы	211
		2.2.	Классификация простых, невырожденных перестроек торов Лиувилля	213
		2.3.	Топологическая структура критических уровней	219
		2.4.	Примеры из механики. Уравнения движения твердого тела. Сфера Пуассона. Геометрическое истолкование механических систем	221
		2.5.	Пример исследования механической системы. Система Лиувилля на плоскости	222
		2.6.	Комментарий к наглядному материалу	224
	§ 3.	Трехмерные многообразия и наглядная геометрия изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем		226
		3.1.	Одномерный граф как диаграмма изоэнергетической поверхности	226
		3.2.	Какие известные многообразия встречаются среди изоэнергетических поверхностей?	229
		3.3.	Простейшие изоэнергетические поверхности (с краем)	237
		3.4.	Любая изоэнергетическая поверхность интегрируемой морс-боттовской системы распадается в сумму элементарных кирпичей пяти (или двух) типов	240
		3.5.	Новые топологические свойства класса изоэнергетических поверхностей	241
		3.6.	Об одном применении компьютеров в симплектической топологии	244
		3.7.	Комментарий к наглядному материалу	246
Глава 4.	Наглядные образы в некоторых других областях геометрии и ее приложений			249
	§ 1.	Наглядная геометрия мыльных пленок. Минимальные поверхности		249
		1.1.	Границы раздела физических сред и минимальные поверхности	249
		1.2.	Некоторые примеры минимальных поверхностей	252
		1.3.	Комментарий к наглядному материалу	255
	§ 2.	Фрактальная геометрия и размерность		258
		2.1.	Различные понятия размерности	258
		2.2.	Фракталы	261
		2.3.	Комментарий к наглядному материалу	262
	§ 3.	Наглядная компьютерная геометрия в теории чисел		267
Список литературы				276
Наглядный ма териал				281
	Глава 1 § 1			283
	Глава 1 § 2			306
	Глава 1 § 3			320
	Глава 2 § 1			331
	Глава 2 § 2			351
	Глава 2 § 3			358
	Глава 2 § 4			373
	Глава 2 § 5			388
	Глава 3 § 1			402
	Глава 3 § 2			415
	Глава 3 § 3			427
	Глава 4 § 1			438
	Глава 4 § 2			450

Об авторе

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.

Фоменко А.Т.Ак Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. Изд. 3, испр. и доп.

Аннотация

Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология:
Математические образы в реальном мире. Изд. 3, испр. и доп.