|
Оглавление
Предисловие
До недавнего времени школьники, да и не только они, были убеждены в существовании двух математик – элементарной и высшей. Элементарная изучалась в школе и заканчивалась логарифмами, биномом Ньютона и задачами на применение тригонометрии в стереометрии. Она приносила немало неприятностей старшеклассникам, многие из которых выходили из стен школы с убеждением, что это не для них. И отдельно существовала высшая математика, о которой школьник в лучшем случае знал, что она изучается в вузах, что там есть векторы, дифференциалы и интеграл. В соответствии с таким делением определялось и содержание популярной литературы для школьников. И из нее нередко можно было вынести мнение о математике, как о собрании головоломных задач, для решения которых необходимо обладать совершенно особенными способностями. В действительности же дело обстоит далеко не так. И хотя для овладения математикой, как и любой другой наукой, крайне желательно наличие определенных способностей и даже таланта, главное все же – напряженный труд, без которого никакое вдохновение не придет и никаких гениальных догадок не возникнет. Способен ли старшеклассник к такому труду в сфере математики? Наверное, ответить на этот вопрос может только он сам, испытав себя в работе над каким-либо ее разделом. Современная школьная программа позволяет избавиться от ненужного деления нашей науки на "младшую" и "старшую". Она знакомит семиклассника с векторами, девятиклассника – с производной, десятиклассника – с интегралом. Это дает возможность любому школьнику еще в школе познакомиться с тем, чем занимается математика-наука. Конечно, это можно сделать по вузовским учебникам, но гораздо разумнее обратиться к книгам, не связанным с учебной программой вуза и более доступным для самостоятельного изучения. К сожалению, в настоящее время таких книг немного. Естественно, знакомиться полезно с такими разделами науки, в которых используются понятия, уже знакомые из школьного курса математики, но не получившие в нем достаточного развития. Прекрасную возможность для самостоятельной творческой работы представляет дифференциальная геометрия – раздел математики, возникший как естественное обобщение и развитие одной из задач, рассматриваемых еще в школе, – задачи о проведении касательной. Именно при решении этой геометрической задачи возникли понятия дифференциала и дифференциального исчисления, а применение этого исчисления к исследованию линий и поверхностей и составляло в течение XVIII и XIX вв. содержание дифференциальной геометрии. Эту часть дифференциальной геометрии стали теперь называть классической или локальной, так как в XX в. дифференциальной геометрией называют более общую математическую дисциплину, базирующуюся на понятии дифференцируемого многообразия. Разумеется, на той базе, которой располагает учащийся средней школы, можно рассказать только о классической дифференциальной геометрии. Однако и по этому разделу математики почти нет популярной литературы, если не считать четвертой главы книги Д.Гильберта и С.Кон-Фоссена "Наглядная геометрия". Эта книга неоднократно издавалась на русском языке, она не предполагает знакомства читателя с дифференциальным исчислением. В предлагаемой вниманию читателя книге излагаются основные результаты классической дифференциальной геометрии, полученные в XVII–XIX вв.; но изложение отличается от классического тем, что широко используются векторное исчисление и метод подвижного репера. Эти методы характерны для начала XX в, и сыграли большую роль в дальнейшем развитии классической дифференциальной геометрии, а также в расширении содержания этой науки. Современному школьнику хорошо известны понятия вектора и функции. Поэтому он сможет усвоить и понятие вентор-функции скалярных аргументов. Значениями такой функции являются векторы, а своеобразным графиком – пространственные кривые и поверхности. Для изучения этих геометрических образов и применяется подвижной репер. Так называется система координат, начало которой находится в точке М кривой (или поверхности) и определяется ее радиус-вектором ОМ (О – начало неподвижной системы координат), а базисные векторы также зависят от положения точки, т.е. при движении по кривой (или поверхности) репер тоже движется. Репер можно так связать с кривой или поверхностью, что его деривационные формулы (в них первые производные векторов репера линейно выражаются через базис) становятся простыми, а изучение самих кривых и поверхностей – наглядным. Коэффициенты этих формул становятся инвариантами, т.е. величинами, характеризующими линию или поверхность независимо от того, каким образом последние задаются. Изучение этих инвариантов – кривизны и кручения линии, полной и средней кривизны поверхностей, – было главной задачей классической дифференциальной геометрии. Составленные из инвариантов уравнения (их называют натуральными) дают возможность подойти к систематическому изучению и классификации конкретных линий и поверхностей (винтовые линии, линии откоса, трактриса, торс, геликоид, псевдосфера и др.). Этим вопросам и посвящены первые десять глав книги. В главе XI рассмотрена так называемая внутренняя геометрия поверхности, послужившая основой для создания римановой геометрии и ее обобщений. А в двенадцатой читатель узнает, как дифференциальная геометрия применяется в практических дисциплинах – картографии и геодезии. Авторы стремились к такому изложению, которое было бы доступно учащимся IX и X классов, стараясь в то же время сохранить определенный минимум математической строгости. Следует, однако, сказать, что книга не является легким чтением. Изложение в ней становится постепенно все более трудным, так как требуется сознательное применение того, что было описано ранее. Впрочем, таково построение любой серьезной математической книги. Книга рассчитана прежде всего на учащихся старших классов, причем она обращена не столько к уже увлеченным математикой читателям, сколько к тем, кто хотел бы узнать, в чем ее прелесть и что составляет ее содержание. Мы полагаем, что книга будет интересна и другим категориям читателей. Хотя книга предполагает самостоятельное изучение, она может, по мнению авторов, служить основой для работы математического кружка или школьного факультатива. Об авторах
 Щербаков Роман Николаевич Доктор физико-математических наук, профессор. В 1940 г. окончил с отличием физико-математический факультет Томского университета. В 1945–1957 гг. работал в Бурят-Монгольском педагогическом институте; с 1957 г. являлся заведующим кафедрой геометрии Томского университета. Область научных интересов — линейчатая геометрия евклидова, аффинного и проективного пространств. Основатель нового направления в дифференциальной геометрии, глава Томской геометрической школы. Заслуженный деятель науки РСФСР. Награжден орденами Трудового Красного Знамени и Отечественной войны II степени, а также медалями.
 Пичурин Лев Федорович Кандидат педагогических наук, профессор. В 1956 г. окончил с отличием физико-математический факультет Томского педагогического института, в 1957–2003 гг. преподавал в этом вузе и основал там кафедру методики преподавания математики. В 1981–1984 гг. — советник Министерства просвещения Афганистана. С 2003 г. работает в Томском университете систем управления и радиоэлектроники. Публицист, автор нескольких книг (о писательнице Г. Николаевой, художнике Ф. Толстом, поэте Н. Клюеве, о работе в Афганистане и др.). Лауреат ряда журналистских премий; награжден несколькими медалями, в том числе медалью им. К. Д. Ушинского.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||