| От авторов |
| Вариационное исчисление. Необходимые условия |
| XLIX | Экстремумы функционалов |
| | § 1. | Некоторые сведения и понятия из функционального анализа |
| | | 1.1. | Функциональные пространства |
| | | 1.2. | Функционалы |
| | | 1.3. | Экстремумы функционалов |
| | § 2. | Необходимые условия экстремума |
| | | 2.1. | Вариации функционалов |
| | | 2.2. | Теорема Ферма |
| | | 2.3. | Старшие вариации и условия старших порядков |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| L | Простейшая задача классического вариационного исчисления |
| | § 1. | Лемма Лагранжа и уравнение Эйлера |
| | § 2. | Интегрирование уравнения Эйлера |
| | § 3. | Примеры |
| | § 4. | Задача Больца. Условия трансверсальности |
| | § 5. | Простейшая задача классического вариационного исчисления. Необходимое условие Лежандра |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| LI | Экстремальные задачи с ограничениями. Принцип Лагранжа |
| | § 1. | Принцип Лагранжа для задач с ограничениями-равенствами |
| | § 2. | Ограничения-равенства в задаче Больца. Классическая изопериметрическая задача |
| | § 3. | Необходимые условия экстремума в задаче со свободно скользящими концами |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| LII | Векторные экстремальные задачи |
| | § 1. | Простейшая векторная задача с закрепленными концами |
| | § 2. | Векторная задача с подвижными концами |
| | § 3. | Задача Лагранжа: дифференциальные и фазовые ограничения |
| | | .1. | Пример – задача Чаплыгина |
| | | .2. | Пример – задача о брахистохроне |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| LIII | Функционалы от функций нескольких переменных |
| | § 1. | Обозначения и допущения |
| | § 2. | Простейшая задача для функционалов от функций нескольких переменных |
| | § 3. | Условие трансверсальности для функционалов, зависящих от функций нескольких переменных |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| LIV | Необходимые условия сильного экстремума |
| | § 1. | Условие Вейерштрасса в простейшей задаче |
| | § 2. | Расширение простейшей задачи. Условия Вейерштрасса–Эрдмана |
| | Упражнения |
| | Ответы |
| Линейное программирование |
| LV | Элементы линейного программирования |
| | § 1. | Постановка задачи |
| | § 2. | Геометрия множества ограничений. Терминология |
| | § 3. | Симплекс-метод решения задачи линейного программирования |
| | | 3.1. | Процедура перебора крайних точек множества ограничений |
| | | 3.2. | Пересчет значений минимизируемой функции |
| | | 3.3. | Последовательность вычислений. Симплекс-таблицы |
| Вычислительная математика |
| LVI | Погрешности вычислений |
| | § 1. | Погрешности |
| | § 2. | Эволюция погрешностей в процессе вычислений |
| | § 3. | Законы больших чисел и вероятностная оценка суммарной погрешности |
| | § 4. | Источники погрешностей |
| LVII | Линейные уравнения |
| | § 1. | Линейные уравнения – основные сведения |
| | § 2. | Линейные уравнения – метод исключения |
| | | 2.1. | Трехдиагональные матрицы – метод прогонки |
| | § 3. | Линейные уравнения – итерационные методы |
| | | 3.1. | Метод простой итерации для линейных систем |
| | | 3.2. | Метод Зейделя для линейных систем |
| | § 4. | Точность численного решения систем линейных уравнений |
| | | 4.1. | Выбор главного элемента |
| | | 4.2. | Возмущения правой части. Обусловленность матрицы |
| LVIII | Нелинейные уравнения и системы |
| | § 1. | Нелинейные уравнения. Метод половинного деления |
| | § 2. | Нелинейные уравнения. Метод хорд |
| | § 3. | Нелинейные уравнения. Метод касательных (метод Ньютона) |
| | § 4. | Нелинейные уравнения. Метод простой итерации |
| | § 5. | Системы нелинейных уравнений |
| LIX | Вычисление значений функций |
| | § 1. | Интерполяция многочленами |
| | | 1.1. | Каноническое представление интерполяционного многочлена |
| | | 1.2. | Точность интерполяции |
| | § 2. | Интерполяция кусочно-полиномиальными функциями |
| | | 2.1. | Сплайны первого порядка дефекта 1 |
| | | 2.2. | Сплайны третьего порядка дефекта 2 |
| | | 2.3. | Сплайны третьего порядка дефекта 1 |
| | § 3. | Дробно-рациональная интерполяция |
| | § 4. | Сглаживание и метод наименьших квадратов |
| | | 4.1. | Линейное сглаживание |
| | | 4.2. | Линейное по параметрам сглаживание |
| | § 5. | Интерполяция функций двух переменных |
| | | 5.1. | Прямоугольная интерполяция. Четырехузловая схема |
| | | 5.2. | Прямоугольная интерполяция. Многоузловая схема |
| | | 5.3. | Треугольная интерполяция |
| | | 5.4. | Треугольная интерполяция. Частные случаи |
| | | 5.5. | Треугольная интерполяция – исключение среднего узла в десятиузловой схеме |
| | | 5.6. | Заключительные замечания |
| LX | Численное интегрирование |
| | § 1. | Квадратурные формулы |
| | § 2. | Квадратуры Ньютона–Котеса |
| | § 3. | Точность простейших квадратур Ньютона–Котеса |
| | § 4. | Квадратуры Гаусса |
| | § 5. | Квадратуры специального назначения |
| | § 6. | Кубатурные формулы для кратных интегралов |
| LXI | Численное дифференцирование |
| | § 1. | Постановка задачи |
| | § 2. | Метод неопределенных коэффициентов. Первая производная |
| | § 3. | Метод неопределенных коэффициентов. Старшие производные |
| | § 4. | Интерполяционные формулы численного дифференцирования |
| | § 5. | Неустойчивость процедур численного дифференцирования |
| LXII | Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши |
| | § 1. | Свойства решений задачи Коши |
| | § 2. | Дискретизация задачи Коши |
| | | 2.1. | Конечно-разностные схемы |
| | | 2.2. | Формулы Адамса |
| | | 2.3. | Формулы Рунге–Кутта |
| | § 3. | Сходимость |
| | § 4. | Аппроксимация. Устойчивость |
| | § 5. | Системы обыкновенных дифференциальных уравнений |
| | § 6. | Задача Коши для уравнений второго порядка |
| LXIII | Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краевые задачи |
| | § 1. | Краевая задача для уравнения второго порядка |
| | § 2. | Метод стрельбы |
| | § 3. | Линейные краевые задачи. Прогонка |
| | § 4. | Вариационные методы решения краевых задач |
| | | 4.1. | Сведение краевой задачи к вариационной |
| | | 4.2. | Метод Ритца |
| | | 4.3. | Реализация метода Ритца для линейных краевых задач |
| | | 4.4. | Система уравнений метода Ритца |
| | | 4.5. | Кусочно-линейные аппроксимации |
| LXIV | Уравнения математической физики |
| | § 1. | Основные уравнения |
| | | 1.1. | Классификация |
| | | 1.2. | Начально-граничная задача для волнового уравнения |
| | | 1.3. | Начально-граничная задача для уравнения теплопроводности |
| | | 1.4. | Задача Дирихле для уравнения Пуассона |
| | § 2. | Двумерные сетки и сеточные функции |
| | | 2.1. | Прямоугольные сетки |
| | | 2.2. | Треугольные сетки |
| | § 3. | Дискретизация задачи |
| | | 3.1. | Дискретизация уравнений. Шаблоны и расчетные соотношения |
| | | 3.2. | Дискретизация граничных условий |
| | § 4. | Устойчивость. Сходимость. Решение сеточных задач |
| Теория сплайнов |
| LXV | Сплайны |
| | § 1. | Сплайн-функции |
| | | 1.1. | Интерполяционные кубические сплайны |
| | | 1.2. | Сглаживающие кубические сплайны |
| | § 2. | Геометрические сплайны |
| | | 2.1. | Кривые Безье |
| | | 2.2. | B-сплайновые кривые |
| | | 2.3. | Параметрические уравнения бикубической поверхности Безье |
| Предметный указатель |
Этот том отличается от всех предыдущих тем, что
только один из его разделов – "Вариационное исчисление" –
включает наборы задач. Все остальные разделы
свободны от каких бы то ни было упражнений. Это объясняется тем, что
разделы, отведенные под численные методы, линейное программирование и сплайны,
представляют собой необходимое теоретическое и алгоритмическое
преддверие вычислительного практикума, который естественно опирается
на использование компьютеров, в том числе и персональных.
Отбор заданий для такого практикума, описание соответствующего программного
обеспечения, анализ полученных результатов и наиболее часто встречающихся
ошибок – задача, бесспорно важная, но заметно выходящая за рамки
данного издания как по объему, так и по специфике. Предлагать же задачи с громоздкими
вычислениями для счета "на руках" – вещь идеологически
неправильная, особенно при наличии значительного числа всевозможных программных средств
(пакетов).
Область научных интересов: геометрические методы исследования
дифференциальных уравнений, вычислительная геометрия, компьютерная графика.
Читал курсы лекций "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", "Теория
функций комплексного переменного", "Задача изометрического погружения и
уравнения Монжа-Ампера", "Геометрические сплайны", "Геометрические методы в
задачах поиска", "Компьютерная графика".
