Каган В.Ф. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТЕНЗОРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ.
Часть 1: Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности. Ч.1. Изд. 2

Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть 1: Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности

Kagan V.F.«Foundations of the theory of surfaces in tensor representation». (Two vols., in Russian).

URSS. 2021. 512 с. ISBN 978-5-9710-8099-2.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (дифференциальная геометрия)

Газетная пухлая бумага

Белая бумага.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классический фундаментальный труд выдающегося математика, основателя тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР В.Ф.Кагана (1869–1953). В книге дается наиболее существенный материал дифференциальной геометрии поверхностей в современном автору построении, делается обстоятельное и в то же время доступное изложение тензорного аппарата в его применении к дифференциальной геометрии,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к первому изданию				5
Оглавление				11
ГЛАВА ПЕРВАЯ МЁБИУСОВЫ ГРУППЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА				19
§ 1. Изометрические преобразования пространства				19
1. Изоморфизмы и автоморфизмы в геометрии				19
2. Отображение пространства самого в себя или преобразование пространства				21
3. Изо -метрическое преобразование пространства				22
4. Обозначение суммирования по Эйнштейну				23
5. Изометрия евклидова пространства как ортогональное преобразование				25
§ 2. Афинные преобразования пространства. Афиноры				27
1. Афинное преобразование пространства				27
2. Основные свойства афинных преобразований				29
3. Группа афинных преобразований				30
4. Афинные преобразования векторов. Афиноры				32
5. Основные свойства линейной вектор-функции				34
6. Алгебра афиноров				36
7. Симметрический афинор				38
8. Неизменяемые направления афинора				38
9. Неизменяемые направления симметрического афинора				39
10. Афинор деформации				41
11. Инварианты геометрических образов по отношению к афинору или афинному преобразованию				41
12. Инварианты афинора				42
13. Уравнения Гамильтона-Кэли				44
§3. Версоры. Движения и отражения				45
1. Действие афинного преобразования на триэдр				45
2. Версор				47
3. Неизменяемое направление версора				48
4. Движения				49
5. Отражения				50
6. Группа подобия				51
7. Афинные преобразования евклидова пространства и геометрия афинного пространства				51
§ 4. Изометрические и афинные преобразования плоскости				51
1,Афинные преобразования и движения в плоскости				51
2. Афиноры в Е2				53
3. Симметрические афиноры в Е2				53
4. Определение симметрического афинора по его главным направлениям и собственным значениям				54
б. Версоры в Е2				55
6. Инварианты афинора и уравнение Гамильтона-Кэли в плоскости				55
§5. Диференпированне и интегрирование линейных вектор-функций и афиноров				56
1. Диференцирование и интегрирование линейных вектор-функций				56
2. Система диференциальных уравнений триэдра				56
3. Диференцирование и интегрирование афинора				57
$ 6. Группа проективных преобразований				58
1. Проективные преобразования пространства				58
2. Коллинеации в евклидовой плоскости. Уравнения Шефферса				59
3. . 3. Уравнения Шварца				60
4. Интегрирование диференциальных уравнений Шефферса				61
5. Группа проективных преобразований плоскости				63
6. Проективные преобразования пространства				65
7. Группа автоморфизмов множества всех векторов				66
§ 7. Группа сферических преобразований				67
1. Преобразования подобия и инверсии				67
2. Пентасферические координаты в Ев				68
3. Сферические преобразования пространства и лоренцовы преобразования координат				69
4. Уравнения сферического преобразования в исходных пентасферических координатах				71
5. Разложение сферического преобразования				72
6. Конформность сферического преобразования				74
ГЛАВА ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ				76
§ 8. Инварианты пространственной кривей. Уравнения Френе-Серре				76
1. Кривая; касательная к ней; касательный и тангенциальный вектор				76
2. Главный нормальный вектор. Кривизна кривой в заданной её точке				78
3. Бинормальный вектор; основной триэдр кривой				80
4. Кручение кривой в данной её точке. Формулы Френе-Серре				81
5. Вектор Пуассона-Дарбу. Вторая форма уравнений Френе-Серре				84
6. Вхождение кривой в основной триэдр				85
§ 9. Интегрирование уравнений Френе-Серре и некоторые их применения				87
1. Интегрирование уравнений Френе-Серре				87
2. Афинор основного триэдра				89
3. Винтовые линии				91
4. Разложение радиуса-вектора точки кривой по степеням лонгального параметра				93
5. Соприкасающаяся сфера в данной точке кривой				94
6. Сферические кривые Натуральные уравнения сферической кривой				95
ГЛАВА ТРЕТЬЯ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ				97
§ 10. Криволинейные координаты на поверхности				97
1. Различные способы аналитического выражения поверхности				97
2. Условие независимости параметров				98
3. Поверхность; обыкновенные и особые её точки				99
4. Криволинейные координаты на поверхности				100
5. Чебышевская, получебышевская сеть и лонгальные координаты				102
6. Афинные координаты на евклидовой плоскости				103
7. Кривые на поверхности; векторы, принадлежащие поверхности, и нормальные к ней				103
8. Географические и эквидистантные координаты на сфере				104
9. Стереографические координаты на сфере				106
10. . Бельтрамиевы координаты на сфере				109
§ 11. Криволинейные координаты в пространстве				111
1. Криволинейные координаты в Е3				111
2. Стереографические координаты в пространстве				112
3. Эллиптические координаты в пространстве				113
4. Эллиптические координаты на центральной поверхности 2-го порядка				116
5. Координация пространства, нормально связанная с координацией поверхности				119
§ 12. Контравариантные и ко вариантные компоненты вектора в пространстве и на поверхности				120
1. Контравариантные компоненты вектора				120
2. Преобразование контравариантных компонент вектора при преобразовании координат				121
3. Символика Схоутена и Стройка				122
4. Ковариантные компоненты вектора				124
5. Другие выражения ковариантных и контравариантных компонент вектора				124
6. Ковариантные и контравариантные векторы				127
7. Преобразование контравариантных компонент вектора в ковариантные и обратно. Вертор				128
8. Дискриминант вертора				129
9. Векторы на поверхности				130
10. Сводка результатов, относящихся к координации точек и векторов на поверхности				132
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ НАЧАЛА ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ				134
§ 13. Линейная алгебра тензоров				134
1. Экстенсивы				134
2. Тензоры				135
3. Мультипликативные тензоры				137
4. Смешанные тензоры				137
5. Конструирование тензора				138
6. Тензор Кронекера				139
7. Линейная алгебра тензоров				140
8. Изомеры. Симметрические и кососимметрические тензоры				140
§ 14. Умножение и свёртывание тензоров				143
1. Перемножение тензоров				143
2. Свёртывание тензора				143
3. Свёртывание двух тензоров				145
4. Обращение основной теоремы о свёртывании тензоров				146
5. Тензоры 2-ой валентности				147
6. Верторы				148
7. Верторы g_ij и γ_ij				149
8. Различные типы компонент тензора				149
9. Смещение индексов в компонентах экстенсива				150
10. Перенесение диференциального множителя				151
11. Тензоры некоторой группы преобразований				152
§ 15. Инварианты тензоров				153
1. Инерция свёртывания				153
2. Инварианты двух тензоров				153
3. Скалярное произведение двух векторов				154
4. Выражение скалярного произведения двух тензоров 1-й валентности (векторов) в однотипных координатах				155
5. Диференциальные инварианты скалярных функций				155
6. Диференциалы				156
7. Относительные инварианты				157
8. Преобразование дискриминанта тензора 2-й валентности к новым переменным				158
9. Абсолютные инварианты, получаемые из относительных				159
10. Инвариантные диференциальные формы				160
§ 16. Бивекторы в бинарной области				161
1. Бивекторы				161
2. Дискриминантный тензор				162
3. Кососимметрические тензоры высшей валентности в бинарной области				163
4. Общее выражение бивектора в бинарной области				164
5. Двойные бивекторы				164
6. Дублированный бивектор				166
7. Выражение определителя и его миноров с помощью дискриминантного тензора				167
ГЛАВА ПЯТАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ				170
§ 17. Метрика в пространстве и на поверхности				170
1. Метрическая диференциальная форма пространства и поверхности				170
2. Метрическая форма сферы в стереографических координатах				172
3. Метрическая форма сферы в бельтрамиевых координатах				173
4. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в эллиптических координатах				173
5. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в лиувиллевых координатах. Поверхности Лиувилля				174
6. Метрика в пространстве				175
7. Метрика на поверхности				176
8. Поверхности, имеющие общую метрическую форму				180
§ 18. Редукция бинарной квадратичной диференциальной формы				181
1. Задача редукции квадратичной диференциальной формы				181
2. Приведение квадратичной диференциальной формы к ортогональному виду				181
3. Приведение квадратичной бинарной формы к каноническому виду				183
§ 19. Иммерсия положительной бинарной диференциальной формы				185
1. Первая задача иммерсии				185
2. Необходимое условие возможности иммерсии f2 в Е2				185
3. Достаточность установленного, условия				186
4. Классификация диференциальных квадратичных форм				187
5. Нормальная система диференциальных у равнений в частных производных				187
6. Вторая задача иммерсии				188
7. Отображение, деформация и изгибание поверхностей				191
8. Наложение (развёртывание) одной поверхности на другую				193
ГЛАВА ШЕСТАЯ ОБЩИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ				195
§ 20. Три основные формы поверхности и их инварианты				195
1. Метрическая форма пространства Е3 в координатах, нормально связанных с координацией поверхности				195
2. Три основные формы поверхности				196
3. Два тождества				198
4. Геометрическое истолкование второй и третьей основных форм				199
5. Основные формы плоскости и сферы				200
6. Инварианты диференциальных форм поверхности				201
7. Первый и второй инварианты всякого тензора				203
8. Формулы Beйнгартена				204
9. Зависимость между тремя основными формами				205
§ 21. Кривые на поверхности. Вектор Родрига				206
1. Основной триэдр кривой на поверхности				206
2. Деривационные уравнения				207
3. Три кривизны кривой на поверхности. Геодезические линии поверхности				208
4. Поверхностные полосы				210
5. Вектор Родрига				211
6. Кривизны ϭ и τ с поверхности в данном направлении				212
7. Другие выражения инвариантов ϭ и τ				213
8. Четвёртая основная форма поверхности				214
9. Развитие формул Beйнгартена				215
§ 22. Первый основной афинор поверхности и главные направления в каждой её точке				216
1. Афинор поверхности				216
2. Афинор Бурали-Форти и главные направления в данной точке поверхности				217
3. Уравнение Гамильтона-Кэли				218
4. Эйлерова разность				220
5. Основной афинор, отнесённый к главным направлениям поверхности				221
6. Формула Эйлера				224
7. Формула Менье				224
8. Выражение дискриминанта четвёртой основной формы				226
§ 23. Асимптотические направления в точке поверхности и второй основной афинор				226
1. Сопряжённые направления в данной точке поверхности				226
2. Асимптотические направления в данной точке поверхности				227
3. Другой геометрический признак асимптотических направлений				230
4. Второй афинор поверхности				231
5. Уравнение Гамильтона-Кэли для второго афинора				232
§ 24. Асимптотические линии и линии кривизны поверхности				233
1. Асимптотические линии поверхности				233
2. Основные свойства асимптотических линий				234
3. Линии кривизны поверхности				235
4. Теорема Дюпена				236
5. Некоторые общие соображения				237
$ 25. Якобиан двух тензоров				237
1. Структура 4-го основного тензора				237
2. Якобиев тензор, составленный из двух данных тензоров				239
3. Четвёртый основной тензор поверхности как якобиан первых двух тензоров				239
§ 26. Воздействие Мёбиусовых преобразований пространства на основные формы поверхности				242
1. Воздействие на основные формы поверхности преобразований подобия				242
2. Воздействие на основные формы поверхности конформного преобразования пространства				243
3. Группы автоморфизмов асимптотических линий и линий кривизны				246
§ 27. Соприкосновение поверхностей				246
1. Поверхность, приведённая в нормальное сопряжение с одной из своих касательных плоскостей				246
2. Порядок взаимного касания двух поверхностей				248
3. Соприкасающиеся поверхности				249
4. Приведение поверхностей в соприкосновение				250
5. Соприкасающаяся сфера				251
6. Инвариантность омбилических точек поверхности при конформном преобразовании пространства				251
ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ				252
§ 28. Поверхности вращения				252
1. Поверхность вращения				252
2. Метрическая форма поверхности вращения				253
3. Катеноид				256
4. Вторая и третья основные формы поверхности вращения				257
5. Кривизна катеноида				258
6. Тор				259
7. Омбилические точки поверхности вращения				260
8. Асимптотические линии поверхности вращения				261
9. Поверхности, имеющие больше одной оси вращения				262
10. Группа автоморфизмов совокупности поверхностей вращения				263
§ 29. Линейчатые поверхности				264
1. Линейчатая поверхность				264
2. Изменение направляющей				264
3. Касательная плоскость и нормаль линейчатой поверхности				265
4. Стрикционная линия линейчатой поверхности				267
5. Первая основная форма и особые точки линейчатой поверхности				269
6. Параметр распределения				270
§ 30. Торсы (линейчатые поверхности, развёртывающиеся на плоскость				272
1. Торс				272
2. Классификация торсов				273
3. Особые точки торса				274
4. Ребро возврата торса				275
5. Торс как огибающая движущейся плоскости				276
6. Линейчатые поверхности, образуемые рёбрами основного триэдра пространственной кривой				279
7. Торсы, огибающие грани основного триэдра кривой				280
8. Поверхности, развёртывающиеся на плоскость				281
9. Поверхность нормалей и линии кривизны поверхности				283
10. Минимальный торс				284
11. Линейчатая поверхность вращения				284
12. Средняя кривизна торса				285
13. Группа автоморфизмов линейчатых поверхностей				286
§ 31. Поверхности Каталана				287
1. Линейчатая поверхность с направляющей плоскостью				287
2. Коноид				289
3. Геликоид				291
4. Основные формы геликоида				292
5. Асимптотические линии и линии кривизны геликоида				293
6. Теорема Каталана				294
7. Обобщение понятия о винтовой поверхности				295
§ 32. Поверхности переноса				296
1. Преобразование С. Ли				296
2. Поверхность переноса				297
3. Основные формы поверхности переноса				298
4. Построение поверхностей переноса, указанное С. Ли				299
5. Автоморфизмы совокупности поверхностей переноса				301
6. Обобщение понятия о поверхности переноса				301
§ 33. Параллельные поверхности				302
1. Семейство параллельных поверхностей				302
2. Особые точки на параллельных поверхностях				303
3. Эволюта поверхности				303
4. Эволюта поверхности вращения				304
5. Соотношения между кривизнами параллельных поверхностей в соответствующих точках				305
6. Эволюта параллельных поверхностей				306
7. Средняя поверхность эволюты				307
8. Связь между четвёртыми основными тензорами на параллельных поверхностях				308
9. Векторы главных направлений поверхности				310
10. Эволюта как огибающая главных плоскостей поверхности				312
11. Поверхности Монжа				313
12. Построение монжевых поверхностей				314
13. Каналовые, трубчатые поверхности; циклиды				315
§ 34. Минимальные поверхности				316
1. Обзор уже рассмотренных минимальных поверхностей				316
2. Вариационные свойства минимальных поверхностей				317
3. Выражение площади части минимальной поверхности, ограниченной жордановой кривой				319
4. Интегральный признак минимальной поверхности				320
5. Диференциальное уравнение минимальной поверхности. Задача Плато				321
6. Элементы, определяющие минимальную поверхность				322
7. Гауссова кривизна минимальной поверхности				323
8. Асимптотические линии минимальной поверхности				323
9. Автоморфизмы диференциального уравнения или системы диференциальных уравнений				325
10. Автоморфизмы множества минимальных поверхностей				325
ГЛАВА ВОСЬМАЯ НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА				328
§ 35. Параллельное перенесение вектора в пространстве и в плоскости				328
1. Поле равных векторов				328
2. Диференциальные уравнения постоянного векторного поля в пространстве Е3				328
3. Христофели первого и второго рода; их выражения в компонентах основного тензора				329
4. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора в пространстве. Условия их интегрируемости				330
5. Бесконечно малое смещение вектора				332
6. Параллельное перенесение в плоскости				333
§ 36. Риманов тензор				334
1. Экстенсивы различных типов; девиация				334
2. Преобразование христофелей				335
3. Геометрический объект				336
4. Вспомогательные теоремы				337
5. Тензор Римана-Христофеля				338
6. Задача Ламе-Христофеля				340
7. Ковариантные компоненты риманова тензора				342
§ 37. Экстенсив Христофеля и основная теорема Гаусса				343
1. Христофели в бинарной области				343
2. Христофелев экстенсив сферы				345
3. Христофели поверхности Лиувилля				346
4. Риманов тензор поверхности				346
5. Основная теорема Гаусса				348
6. Формулы Бианки				348
7. Тензор Риччи				349
8. Формула Фосса-Вейля				349
9. Другие выражения гауссовой кривизны поверхности через компоненты его метрического тензора				350
§ 38. Ковариантное диференцирование вектора (тензора первой валентности)				351
1. Инвариантный признак постоянного векторного поля в Е3 ив Е2				351
2. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности)				352
3. Другое выражение условий, характеризующих постоянное векторное поле в Е3 или в Е2				355
4. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности), заданного своими контравариантными компонентами				356
5. Абсолютный диференциал вектора				357
6. Производная вектора в пространстве Е3 или на плоскости Е2, взятая в данном направлении				357
7. Ротация векторного поля				358
§ 39. Ковариантные производные тензоров				358
1. Ковариантная производная тензора 2-й валентности				358
2. Ковариантная производная метрического и дискриминантного тензоров				361
3. Ковариантная производная смешанного тензора 2-й валентности				362
4. Тождество Риччи				363
5. Ковариантные производные тензора любой валентности				365
§ 40. Тензоры с векторными компонентами				366
1. Экстенсивы с векторными компонентами				366
2. Тензоры с векторными компонентами				366
3. Перемножение тензоров с векторными компонентами				368
4. Дискриминантный тензор				369
5. Ротор вектора				370
6. Ковариантная производная тензора с векторными компонентами				370
7. Градиент векторного поля и связанные с ним соотношения				372
8. Деривационные формулы Гаусса				373
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ				375
§ 41. Параллельное перенесение вектора но поверхности (геометрическая теория				375
1. Определение параллельного перенесения вектора по поверхности в бесконечно близкую точку				375
2. Параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой				376
3. Отклонение вектора от репера при бесконечно малом перенесении				377
4. Параллельное перенесение по поверхности цилиндра				378
5. Параллельное перенесение по поверхности конуса				379
6. Абсолютный параллелизм				380
7. Параллельное перенесение на тангенциальном торсе				381
8. Параллельное перенесение вектора по сфере				382
§ 42. Параллельное перенесение вектора но поверхности (аналитическая теория				383
1. Приращения, которые получают компоненты вектора при параллельном его перенесении по поверхности в бесконечно близкую точку				383
2. Диференциальные уравнения, определяющие параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой				384
3. Абсолютный диференциал вектора, зависящего от одного параметра				386
4. Абсолютный или неабсолютный параллелизм векторов на поверхности				386
5. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора, заданного ковариантными компонентами				387
6. Инварианты параллельного перенесения				388
7. Внутренняя геометрия поверхности				389
§ 43. Теорема Леви-Чивита о гауссовой кривизне поверхности				389
1. Развитие основных формул параллельного перенесения				389
2. Приращение компонент вектора при обходе бесконечно малого контура				391
3. Отклонение вектора при обходе бесконечно малого контура				393
4. Основная теорема Леви-Чивита				394
5. Распространение формулы Леви-Чивита на конечный контур				395
§ 44. Геодезическая кривизна кривой на поверхности				397
1. Диференцирование вектора по поверхности				397
2. Вектор кривизны и геодезическая кривизна кривой на поверхности				399
3. Отклонение вектора при параллельном его перенесении по поверхности				401
4. Вычисление геодезической кривизны				402
5. Формулы Френе-Серре на поверхности				404
6. Интегрирование уравнений Френе-Серре на поверхности				404
7. Геодезическая кривизна параметрических линий				405
8. Теорема Оссиана Бонне				407
9. Вычисление геодезической кривизны не которых простейших кривых на поверхности				409
10. Полная кривизна замкнутой односвязной поверхности				410
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ				412
§ 45. Геодезические линии поверхности				412
1. Непосредственное разыскание геодезических линий поверхности				412
2. Диференциальные уравнения геодезических линий				413
3. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий				415
4. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий на сфере				419
5. Единое диференциальное уравнение второго порядка геодезических линий				421
6. Вариационное определение геодезических линий. Эйлеров вектор				422
7. Кратчайшие линии поверхности				424
8. Определение геодезических линий поверхности средствами, внешними относительно поверхности				426
§ 46. Задача о движении материальной точки по удерживающей гладкой поверхности				427
1. Уравнения Лагранжа				427
2.Уравнения Уиттекера				428
3. Движение материальной точки по удерживающей гладкой поверхности при отсутствии внешних сил				429
4. Принцип Гамильтона				430
§ 47. Геодезические и нормальные координаты на поверхности				431
1. Геодезические координаты				431
2. Геодезические координаты в данной точке поверхности				434
3. Нормальные координаты на поверхности				436
4. Преобразование любых координат в нормальные				437
5. Преобразование одних нормальных координат в другие				438
6. Геодезические линии через две точки поверхности				439
7. Нормальные координаты на плоскости и на сфере				440
8. Основные соотношения в нормальной координации				441
9. Римановы координаты на поверхности				442
§ 48. Полугеодезические (полярные, параллельные и декартовы) координаты на поверхности				445
1. Угол между радиусом-вектором кривой и её направлением				445
2. Геодезическая окружность				445
3. Полярные координаты на поверхности				446
4. Эквидистантное отображение поверхности на плоскость; общее выражение нормальных координат поверхности				447
5.Метрическая форма в римановых координатах				447
6. Геодезическая, как кратчайшая линия между двумя точками на поверхности				448
7. Параллельные и декартовы координаты на поверхности				449
§ 49. Геодезические линии на поверхностях вращения				451
1. Уравнение Гаусса				451
2. Уравнение Клеро				452
3. Геодезические линии на поверхностях вращения				454
4. Геодезические линии на круглом конусе				456
5. Геодезические линии на однополостном гиперболоиде вращения				457
6. Геодезические линии на эллипсоиде вращения				461
7..Геодезические линии на торе				463
§ 50. Дифференциальные инварианты Бельтрами и изотермические координаты на поверхности				466
1. Первый диференциальный инвариант Бельтрами				466
2. Выражение метрической формы поверхности через диференциальные инварианты координат; геометрический смысл первого диференциального инварианта				468
3. Бельтрамиев дифференциальный инвариант вектора				469
4. Второй бельтрамиев инвариант скалярной функции				470
5. Выражение геодезической кривизны кривой в бельтрамиевых инвариантах				471
6. Изотермические функции поверхности				472
7.Изотермическая сеть				474
8. Изотермическая сеть поверхности, развёртывающейся на поверхность вращения				475
9. Метрическая форма поверхности, отнесённойк изотермической координатной сети; изотермические координаты				476
10. Приведение метрической формыповерхности к изотермическому виду				477
11. Дивергенция вектора				479
§ 51. Геодезические линии на поверхностях Лиувилля				480
1. Уравнения геодезических линий на поверхностях Лиувилля				480
2. Применение к поверхностям вращения				482
3. Уравнение геодезических линий на трёхосном эллипсоиде				483
4. Типы геодезических линий на эллипсоиде				484
5. Геодезические линии на эллипсоиде, проходящие через его круговые (омбилические) точки				486
6. Выражение элемента длины на эллипсоиде в некоторых специальных случаях				487
7. Геодезические эллипсы и гиперболы на эллипсоиде				489
Содержание второй части				492
Литература				498
Именной указатель				506
Предметный указатель				507

Об авторе

Каган Вениамин Федорович

Доктор физико-математических наук, профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Основатель тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР.

Родился в г. Шяуляй, в Литве, в 1869 г. Окончил Киевский университет в 1892 г. С 1923 г. — профессор МГУ. В 1935 г. — доктор физико-математических наук. В 1929 г. получил звание заслуженного деятеля науки. В 1940 г. награжден орденом Трудового Красного Знамени, а в 1943 г. — Сталинской премией.

Основная область научных интересов В. Ф. Кагана — основания геометрии и дифференциальная геометрия. Он исследовал и популяризовал идеи Н. И. Лобачевского, а также создал теорию субпроективных пространств, представляющих собой обобщения пространства Лобачевского. Был редактором журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики», редактором математического отдела первого издания Большой советской энциклопедии и автором ее статей. Основал издательство «Матезис», выпускавшее научную и научно-популярную физико-математическую литературу.

Каган В.Ф. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТЕНЗОРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ. Часть 1: Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности. Ч.1. Изд. 2

Аннотация

Каган В.Ф. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТЕНЗОРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ.
Часть 1: Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности. Ч.1. Изд. 2