| Предисловие к русскому изданию |
| Предисловие автора |
| Введение |
| Глава 1. | Элементы теории групп |
| | § 1. Соответствия и преобразования |
| | § 2. Группы. Определения и примеры |
| | § 3. Подгруппы. Теорема Кэли |
| | § 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа |
| | § 5. Классы сопряженных элементов |
| | § 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм |
| | § 7. Прямые произведения |
| Глава 2. | Группы симметрии |
| | § 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры |
| | § 2. Эквивалентное оси и плоскости. Двусторонние оси |
| | § 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы поворотов вокруг оси, группы диэдров |
| | § 4. Закон рациональных индексов |
| | § 5. Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные многогранники |
| | § 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. Присоединение отражений к группе Cn |
| | § 7. Присоединение отражений к группам Dn |
| | § 8. Полные группы симметрии правильных многогранников |
| | § 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений |
| | § 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы) |
| Глава 3. | Представления групп |
| | § 1. Линейные векторные пространства |
| | § 2. Линейная зависимость; размерность |
| | § 3. Базисные векторы (оси координат); координаты |
| | § 4. Отображения; линейные операторы; матричные представления; эквивалентность |
| | § 5. Представления групп |
| | § 6. Эквивалентные представления; характеры |
| | § 7. Построение представлений. Сложение представлений |
| | § 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных функций |
| | § 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; эрмитовы матрицы |
| | § 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный |
| | § 11. Унитарные представления |
| | § 12. Гильбертово пространство |
| | § 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые представления |
| | § 14. Леммы Шура |
| | § 15. Соотношения ортогональности |
| | § 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений |
| | § 17. Общие теоремы; групповая алгебра |
| | § 18. Разложение функций по базисным функциям неприводимых представлений |
| | § 19. Представления прямых произведений |
| Глава 4. | Неприводимые представления точечных групп симметрии |
| | § 1. Абелевы группы |
| | § 2. Неабелевы группы |
| | § 3. Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп |
| Глава 5. | Различные операции с представлениями групп |
| | § 1. Произведение представлений (кронекеровское произведение) |
| | § 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения |
| | § 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное представление |
| | § 4. Условия существования инвариантов |
| | § 5. Вещественные представления |
| | § 6. Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клебша–Горлана |
| | § 7. Коэффициенты Клебша - Гордана |
| | § 8. Просто приводимые группы |
| | § 9. 3j-символы |
| Глава 6. | Физические приложения |
| | § 1. Классификация уровней энергии |
| | § 2. Теория возмущений |
| | § 3. Правила отбора |
| | § 4. Связанные системы |
| Глава 7. | Симметрическая группа |
| | § 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы |
| | § 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической группы |
| | § 3. Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы Юнга. Таблицы Юнга |
| | § 4. Графический метод нахождения характеров |
| | § 5. Рекуррентные формулы дли характеров. Правила ветвления |
| | § 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса |
| | § 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn. Символы Яманучи |
| | § 8. Метод Хунда |
| | § 9. Групповая алгебра |
| | § 10. Операторы Юнга |
| | § 11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. Условия циклической симметрии Фока |
| | § 12. Внешние произведения представлений симметрической группы |
| | § 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша–Гордана для симметрической группы |
| | § 14. Коэффициенты Клебша–Гордана для симметрической группы. Свойства симметрии. Рекуррентные формулы |
| Глава 8. | Непрерывные группы |
| | § 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп |
| | § 2. Бесконечные дискретные группы |
| | § 3. Непрерывные группы. Группы Ли |
| | § 4. Примеры групп Ли |
| | § 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы |
| | § 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования |
| | § 7. Структурные константы |
| | § 8. Алгебры Ли |
| | § 9. Структура алгебр Ли |
| | § 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр |
| | § 11. Линейные представления групп Ли |
| | § 12. Инвариантное интегрирование |
| | § 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор Казимира |
| | § 14. Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа |
| Глава 9. | Аксиальная и сферическая симметрия |
| | § 1. Группа вращений в двумерном пространстве |
| | § 2. Трехмерная группа вращений |
| | § 3. Непрерывные однозначные представления трехмерной группы вращений |
| | § 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов (однозначные представления) |
| | § 5. Построение собственных функций для кристаллов с различной симметрией |
| | § 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная унимодулярная группа |
| | § 7. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов. Двузначные представления кристаллографических точечных групп |
| | § 8, Связанные системы. Сложение моментов количества движения. Коэффициенты Клебша–Гордана |
| Глава 10. | Линейные группы в я-мерном пространстве; неприводимые тензоры |
| | § 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n) |
| | § 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе GL(n) |
| | § 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) |
| | § 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL(n), SL(n), U(n), SU(n) |
| | § 5. Ортогональная группа в n-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым следом |
| | § 6. Неприводимые представления группы О(n) |
| | § 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n) на представления группы О+(n) |
| | § 8. Симплектическая группа Sp(n). Свертка. Тензоры с нулевым следом |
| | § 9. Неприводимые представления группы Sp(n). Разложение неприводимых представлений группы if(n) на представления ее симплектической подгруппы |
| Глава 11. | Применение теории групп к задачам атомной и ядерной физики |
| | § 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU(n) |
| | § 2. Разложение момента количества движения. Разложение представлений группы SU(n) на представления группы О+(3) |
| | § 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела–Саундерса |
| | § 4. Старшинство в атомных спектрах |
| | § 5. Атомные спектры в схеме jj-связи |
| | § 6. Структура ядра. Изотопический спин |
| | § 7. Ядерные спектры в схеме L–S-связи. Супермультиплеты |
| | § 8. Модель оболочек в схеме L–S-связи. Старшинство |
| | § 9. Модель оболочек в схеме jj-связи. Старшинство в схеме jj-связи |
| Глава 12. | Проективные представления. Малые группы |
| | § 1. Проективные представления конечных групп |
| | § 2. Примеры проективных представлений конечных групп |
| | § 3. Проективные представления групп Ли |
| | § 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп |
| | § 5. Проективные представления галилеевой группы |
| | § 6. Неприводимые представления группы параллельных переносов |
| | § 7. Малые группы |
| Литература |
Хотя физическим применениям теории групп посвящена обширная
литература (довольно полный список монографий и основных обзорных и оригинальных
статей как иностранных, так и советских авторов дан в конце
книги.), она далеко не исчерпала все те вопросы, которые привлекают
физиков и математиков. В последние годы методы этой теории
стали "обычным вооружением" физиков-теоретиков, а число работ,
Основанных на применениях теории групп, и число физиков, владеющих
этими методами, неуклонно возрастает. Разные физики, однако,
'по-разному оценивают важность и трудность разделов теории групп,
и ни одна книга не может удовлетворить всех заинтересованных
лиц. Среди книг, выпущенных в последние годы за рубежом, одной
из наиболее оригинальных по выбору материала и наиболее удачных
по изложению является книга известного американского физика
Мортона Хамермеша. Эта книга пользуется большой популярностью;
сейчас она становится доступной и в русском переводе.
В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда
лет читал для сотрудников одного из крупнейших физических научных
центров США – Аргоннской национальной лаборатории.
Книга написана физиком и предназначена в первую очередь для
физиков. Поэтому в ней не надо искать математической строгости,
зато в ней ясно изложены основы теории и описаны многие ее приложения.
Так как методы теории групп стали весьма эффективным
и удобным средством решения широкого круга различных физических
задач, связанных с теми или иными проявлениями симметрии, то
книга будет полезна физикам почти всех направлений.
Круг рассмотренных вопросов весьма обширен: сюда входят
основные понятия теории, ее элементарные теоремы, их приложения
к точечным группам симметрии, теория представлений групп, особенно
подробно изложена симметрическая группа (группа перестановок),
основные результаты теории непрерывных групп, тензорные
представления, понятия о проективных представлениях и многочисленные
физические приложения (симметрия кристаллов и молекул, магнитная
симметрия кристаллов, классификация уровней энергии квантовомеханических
систем, правила отбора, расщепление атомных уровней
в полях внутри кристалла, классификация состояний системы тождественных
частиц в атомной физике, некоторые вопросы ядерной
спектроскопии).
Читателю-физику не приходится преодолевать длинную цепь
определений и теорем, оставаясь в неведении относительно того, где
и каким образом можно будет воспользоваться приобретенным богатством.
Каждое вводимое автором понятие и каждый получаемый или
формулируемый им результат, как правило, подкрепляются многочисленными
примерами. Нередко, для того чтобы подчеркнуть
достоинства того или иного метода, одна и та же проблема решается
разными способами. Активному усвоению излагаемого материала
немало способствуют также и многочисленные задачи и упражнения.
Читателю-математику доставит удовольствие увидеть, "как работает
" теория групп, и узнать в аппарате, использованном физиками
для решения различного рода задач, знакомые ему теоретико-групповые
методы.
В последнее время теория групп стала еще более популярной
в связи с успехами в области систематизации элементарных частиц,
поскольку полученные важные результаты основывались на применениях
теории групп Ли. Соответствующие разделы книги Хамермеша
могут служить хорошим введением для тех, кто интересуется
этими вопросами.
В книге, конечно, охвачено далеко не все (именно это и делает
ее удобочитаемой). В ней нет группы Лоренца, в ней нет специальных
функций, придирчивый читатель найдет и другие пропуски.
Некоторые из них можно восполнить по списку литературы, добавленному
переводчиком.
Читатель, внимательно изучивший то, что содержится в книге
Хамермеша, будет вполне подготовлен как к пониманию^ того, каким
образом используются методы теории групп в современной физике,
так и к их применению в собственных изысканиях.
Эта книга представляет собой попытку показать, что теоретико-групповые методы могут служить не только предметом рассмотрении,
доступных немногим посвященным, но и удобным средством исследования.
Я пытался излагать содержание статей и книг так, чтобы
сделать материал как можно более доступным. Для понимания большей части текста не требуется никаких предварительных знаний
теории групп, но предполагается, что читатель знает квантовую
механику.
В основу этой книги положены лекции, которые в разное время
читались в Аргоннской национальной лаборатории. Основная часть
материала о кристаллографических группах и полях в кристаллах
излагалась в курсе лекций, прочитанном в 1953 г. Некоторые
из вопросов, относящиеся к ядерной физике, разбирались на лекциях
в 1955 г. В лекциях 1957 г. рассматривалась группа Лоренца.
В настоящей книге содержится лишь введение в круг вопросов, связанных
с группой Лоренца, поскольку я почувствовал, что этот
предмет нельзя излагать должным образом без подробного рассмотрения
квантовой теории поля.
Большая часть окончательного варианта рукописи была написана
в Цюрихе в 1958–1959 гг. Я весьма благодарен руководителям
Аргоннской национальной лаборатории, предоставившим мне возможность
сосредоточить все усилия на завершении работы над этой
книгой. Я выражаю также свою благодарность совету Лондонского
королевского общества за разрешение воспроизвести таблицы
(в гл.10 и 11), первоначально опубликованные, в Proceedings of
the Royal Society.
Эту книгу я посвящаю моей жене Маделине, которая перепечатала
всю рукопись и исправила много стилистических и технических
ошибок.
