|
Оглавление
Предисловие......................................... Введение........................................... Глава 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах......................................... 1.1. Типичные постановки задач на сетях.................. 1.1.1. Модели физического происхождения (15). 1.1.2. Модели математического происхождения (17). 1.1.3. Различные расширения постановок (18). 1.2. Математическая формализация...................... 1.2.1. Скалярный подход (20). 1.2.2. Векторный подход (21). 1.2.3. Синтетический подход (22). 1.2.4. Интегральный подход (23). 1.3. Основные понятия............................... 1.4. Краткий обзор результатов......................... Глава 2. Странности задач на графах................. 2.1. Задача Штурма-Лиувилля......................... 2.2. «Струнный крест»............................... 2.3. Пучок из трех струн.............................. 2.4. «Тканая мембрана».............................. 2.5. Банальная стыковка.............................. 2.6. Комментарии................................... Глава 3. Общая теория уравнений второго порядка на геометрических графах.............................. 3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение на пространст- венной сети................................... 3.1.1. Функции на сетях (49). 3.1.2. Вариационная мотивация (52). 3.1.3. Естественные условия (55). 3.1.4. Замечание о «физической границе» (57). 3.1.5. Однородное уравнение на сети (58). 3.2. Краевая задача на сети............................ 3.2.1. Разные версии задачи (3.16)-(3.18) (62). 3.2.2. Некоторые общие факты (64). 3.2.3. Функция Грина (68). 3.2.4. s-расши-рение задачи на сети (71). Глава 4. Теория неосцилляции для уравнений и неравенств второго порядка на сети...........................
4.1. Неосцилляция уравнений второго порядка...............
4.2. Дифференциальные неравенства.....................
4.3. Неравенство Харнака. Шатры на сетях.................
4.4. О локализации носителя...........................
4.5. Критическая неосцилляция.........................
Глава 5. Спектральная теория Штурма—Лиувилля на геометрических графах..............................
5.1. Спектр задачи на графе...........................
5.1.1. Неосцилляция пучка L — \pl (89). 5.1.2. Корневая простота (92). 5.1.3. Локальная вырожденность (96). 5.1.4. Осцилляция на дереве (98). 5.1.5. Спектральная задача в общем положении (101).
5.2. Осцилляционная спектральная теория.................
5.2.1. Осцилляционная теорема (103). 5.2.2. Метод «накачки нулей» (104). 5.2.3. Доказательство пункта (а) теоремы 5.11 (106). 5.2.4. Свойства нулей функции w\ (107). 5.2.5. Предельные положения нулей (112). 5.2.6. Доказательство пункта (б) теоремы 5.11 (114). 5.2.7. Доказательство теоремы 5.10 (117). 5.2.8. Перемежаемость спектров (118).
Глава 6. Функция Грина и функция влияния...........
6.1. Функция Грина задачи на отрезке....................
6.1.1. Аксиоматический подход (120). 6.1.2. Аксиомы или интеграл? (122). 6.1.3. Скалярная задача: классические факты в неклассическом изложении (128). 6.1.4. Комментарий (133). 6.1.5. Предельные срезки функции Грина (135).
6.2. Функция Грина векторной, разрывной и многоточечной задачи 6.2.1. Векторные задачи (139). 6.2.2. Функция Грина разрывной задачи (141). 6.2.3. Функция Грина общей задачи на [о, Ь] с дискретной компонентой (145).
6.3. Функция Грина задачи на графе.....................
6.3.1. Общая схема (147). 6.3.2. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля на сети (152). 6.3.3. Функция Грина как функция влияния (154).
Глава 7. К теории Штурма-Лиувилля для уравнений с обобщенными коэффициентами.....................
7.1. Общая теория..................................
7.1.1. Вариационная мотивация (160). 7.1.2. Уравнение с дифференцированием по мере (162). 7.1.3. Определитель Вронского (165). 7.1.4. Непрерывная зависимость от параметра (167).
7.2. Качественная теория задачи Штурма-Лиувилля..........
7.2.1. Теоремы сравнения (169). 7.2.2. Неосцилляция (171).
7.2.3. Дифференциальные неравенства (172).
7.3. Краевые задачи и функция Грина....................
7.4. Осцилляционные свойства спектра....................
Глава 8. Уравнения четвертого порядка................
8.1. Основные понятия и постановки задач.................
8.2. Разрешимость краевой задачи и функция Грина..........
8.3. Принцип максимума..............................
8.4. Метод редукции.................................
8.5. Факторизация дифференциального оператора, неосцилляция и
знакорегулярность..............................
Глава 9. Эллиптические уравнения второго порядка на стратифицированном множестве.....................
9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом.........
9.1.1. Предварительные определения и комментарии (216).
9.1.2. Дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами на стратифицированном множестве (220). 9.1.3. Формулы Грина (224).
9.1.4. Лемма Бохнера и несовместные неравенства (227).
9.1.5. Неравенство Пуанкаре на стратифицированном множестве (230). 9.1.6. Слабая разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве (237). 9.1.7. Самосопряженное расширение оператора L (238). 9.1.8. Слабый принцип максимума (241). 9.1.9. Сильный принцип максимума (244).
9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом..........
9.2.1. Определения (250). 9.2.2. Теорема о среднем и некоторые ее следствия (252). 9.2.3. Формула Пуассона для стратифицированного шара (254). 9.2.4. Метод Перрона для уравнения на стратифицированном множестве (256).
Список литературы
|